まず、有限次元の演算子を想定します。それ以外の場合は、演算子の特定の有界条件を確認する必要があります。ここでは、CBH級数が消失する二重交換子によって切り捨てられるため、 eg $ \ mathbf {L} ^ 2（\ mathbb {R}）$の線形演算子の条件は穏やかになります。
$ \ mathrm {Ad} $で操作を練習する必要があります。以下を調べてください。リー群$ \ mathfrak {G} $と代数$ \ mathfrak {g} $では、パスへの接線ベクトル：
$$ \ sigma：\ mathbb {R} \ to \ mathfrak {G }; \; \ sigma（\ tau）= e ^ A \、e ^ {\ tau \、B} \、e ^ {-A}; \; A、\、B \ in \ mathfrak {g} \ tag {1} $$
IDは$ \ mathrm {Ad}（e ^ A）\、B = \ exp（\ mathrm {ad}（A））\、B $です。ここで、$ \ mathrm {Ad}：\ mathfrak {G} \ to GL（\ mathfrak {g}）$は随伴表現です。これは、一般的なリー群$ \ mathfrak {G} $から行列のリー群$ GL（\ mathfrak {g}）$へのリー群準同型です。そのカーネルは$ \ mathfrak {G} $の中心です。準同型であるため、$ \ mathrm {Ad}（\ gamma \、\ zeta）= \ mathrm {Ad}（\ gamma）\、\ mathrm {Ad}（\ zeta）; \、\ forall \ gamma 、\、\ zeta \ in \ mathfrak {G} $。もう1つの便利なIDは次のとおりです。
$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {Ad}（e ^ A）\、B & = & \ exp（\ mathrm {ad}（A））\、B \\ & = & B + \ mathrm {ad}（A）B + \ frac {\ mathrm {ad}（A）^ 2} {2！} \、B + \ cdots \\ & = & B + [A、\、B] + \ frac {1} {2！} \、[A、\、[A、\、B]] + \ cdots \ end {array} \ tag {2} $$
演算子$ B \ mapsto [A、\、B] $が適切である場合、このシリーズは普遍的に収束します有界（例 $ \ left \ | [A、\、B] \ right \ | \ leq K（A）\、\ left \ | B \ right \ | $ for some $ K（A ）\ in \ mathbb {R} $-これは有限次元では確かに当てはまります。
ここで、（1）と準同型プロパティ（$ \ mathrm {Ad}（e ^ {\ lambda \ 、A} \、e ^ {\ lambda \、B}）= \ mathrm {Ad}（e ^ {\ lambda \、A}）\、\ mathrm {Ad}（e ^ {\ lambda \、B}） $）、次のことがわかります：
$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {d} _ \ lambda f & = & A \、e ^ {\ lambda \、A} \、e ^ {\ lambda \、B} \、e ^ {-\ lambda \、（A + B）} + e ^ {\ lambda \、A} \、B \、e ^ {\ lambda \、B} \、e ^ {-\ lambda \、（A + B）}-e ^ {\ lambda \、A} \、e ^ {\ lambda \、B} \、（A + B）\、e ^ {-\ lambda \、A + B）} \\ & = & \ left（A + e ^ {\ lambda \、A} \、B \、e ^ {-\ lambda \、A} -e ^ {\ lambda \、A} \、e ^ {\ lambda \、B} \、（A + B）\、e ^ {-\ lambda \、B} \、e ^ {-\ lambda \、A} \ right）\、e ^ {\ lambda \、 A} \、e ^ {\ lambda \、B} \、e ^ {-\ lambda \、（A + B）} \\ & = & \ left（A + \ mathrm {Ad}（e ^ {\ lambda \、A}）\ left（B- \ mathrm {Ad}（e ^ {\ lambda \、B}）\、（ A + B）\ right）\ right）\、f \ end {array} \ tag {3} $$
上記はすべて完全に一般的です。あなたはそれをあなたの切り捨てられたケースに特化する必要があります。したがって、普遍的に収束する（ここでは2つの項に切り捨てられる）シリーズ（2）を使用して、$ A + \ mathrm {Ad}（e ^ {\ lambda \、A}）\ left（B- \ mathrm {Ad}（e ^ {\ lambda \、B}）\、（A + B）\ right）$特別な場合のために切り捨ててください。少し前進する必要があると思います。
ペダンティックピーブ：名前の両方の順序は非常に一般的ですが、歴史的な優先順位を正確に反映する順序は「キャンベル-ベイカー-ハウスドルフ」です。各著者は1897/1898（キャンベル）、1905（ベイカー）、1906（ハウスドルフ）に貢献しました。 ）、それぞれ。それぞれが彼らの先駆者の仕事に気づいていましたが、ブルバキのファシクル16 Ch 1（1960）で述べられているように、「それぞれが彼の先駆者のデモンストレーションに納得がいかないことに気づきました（！）」。 「技術文献を読むのに約5％の理解率を持っているのはそれだけではありません（私はそれを「得る」ために平均して約20回論文を読む必要があると思います）。面白い事実は、これら3つのどれもが実際にシリーズを解決しなかったことです。代わりに、彼らは、シリーズがリー代数の$ \ mathbf {0} $のある近傍内で収束し、線形演算とリーブラケット演算のみで構成されるという定理を確立しました。公式自体はDynkinによるもので、1947年に完全に完成しました！
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