친구로부터 수학 교육에 대한 파워 포인트 슬라이드를 받았는데 그의 슬라이드 중 하나는 “7 가지 벤치 마크 수치”에 대해 이야기했습니다. 그는 다음과 같이 말했습니다.
“완전한”숫자 감각을 개발하기위한 7 가지 벤치 마크 수치는 $ 0, \ frac {1} {10}, \ frac입니다. {1} {2}, 1, 10, 12, $ 및 $ 100. 이 숫자는 초등 및 중등 교육에서 수학 커리큘럼의 기초를 형성합니다.
불행히도 그렇게하도록 눌렀을 때 제 친구는 왜 이런 이유를 설명 할 수 없었습니다. 숫자는 “벤치 마크”였습니다. 그가 무엇을 언급하고 있는지 아는 사람이 있습니까? 아니면이 정보를 어디서 얻었는지 아는 사람이 있습니까?
댓글
- 왜 ' 출처를 물어 보지 않습니까? 이상하게도 그는 ' 자료를 발표하면서 ' 설명 할 수 없습니다.
- 나에게 (그리고 기타 ) 벤치 마크 수치는 추정치를 기반으로하는 유용한 수치입니다. 예를 들어, 1/2은 좋은 벤치 마크이며 1/2에 비해 3/8이 숫자 선에서 어디에 있는지 이해하는 데 도움이됩니다. 하지만 ' 12가 그곳에서 무엇을하고 있는지 잘 모르겠습니다. 그리고이 특정 목록은 임의적 인 것 같습니다.
- 대부분은 동기를 추측하기가 매우 간단하지만 숫자만으로는 어떤 종류의 "를 개발하기에 충분하지 않습니다. 완전한 " 숫자 감지. @ncr 겉보기에 임의의 숫자 인 12는 비 메트릭 시스템으로 인한 것일 수 있습니다. 예를 들어, 1 개는 12 개 또는 얼마 전에는 총 (144 개)입니다. 더하기 1 피트는 12 인치, 하루의 절반은 12 시간이며 미국의 많은 학생들은 12×12 곱셈표를 배웁니다. '이 " 벤치 마크 번호, " 목록에 대해 다른 명확한 설명을 할 수 없습니다. 공식적으로 논의 된 컬렉션을 본 적이 없다는 점만 빼고요.
- 그는 저에게 출처를 제공 할 수 없었습니다 (이에 더 많은 관심을 갖게했습니다).
- 이것은 저를 매우 자의적으로 생각합니다. 수학자로서 저는이 숫자들에 특별한 의미를주지 않을 것입니다. 특히 $ 12 $는 미터법이 사용되는 세계의 많은 지역에서 중요하지 않습니다. $ 100 $를 포함하는 것은 다소 임의적이지만 $ 1000 $는 포함하지 않습니다. 또한 $ 1 / 2 $는 포함하지만 $ 2 $는 포함하지 않는 이유는 무엇입니까?
답변
초등 수학에 대한 적절한 볼륨 초등학교 교사를위한 수학 입니다 (Beckmann, 2010). 이 책은 초등 교과 과정 (특히 교과 과정 개혁)의 아이디어이면에있는 수학에 대한 교사의 지식을 강화하는 데 도움을주기위한 것입니다. 따라서 종종 이와 같은 것을 확인하기에 좋은 장소입니다.
벤치 마크 ( “랜드 마크”라고도 함)는 분수 비교의 맥락에서 도입됩니다. 학생들이 어떤 분수가 어떤 것인지 확인하려고 할 때 더 큰 $ \ frac {4} {9} $ 또는 $ \ frac {3} {5} $, 제안 된 전략 중 하나는 학생들이 분수 $ \ frac와 같은 다른 숫자와의 관계에 대해 추론하는 것입니다. {1} { 2} $ :
$ \ frac {4} {9} $와 $ \ frac {3} {5} $를 둘 다 비교하여 비교했을 때 $ \ frac {1} {2} $가있는 분수, $ \ frac {1} {2} $를 벤치 마크 (또는 랜드 마크) . 분수 $ \ frac {1} {2} $, $ \ frac {1} {4} $, $ \ frac {3} {4} $, $ \ frac {1} {3 } $ 및 $ 1 $는 벤치 마크로 사용하기에 좋습니다. (p. 73)
이 텍스트에서 숫자가 다소 임의적이라는 것이 분명합니다. ; 벤치 마크 수치의 최종 목록이 아닙니다. 학생들은 비교에 도움이되는 분수 벤치 마크를 선택할 것입니다.
다른 사람들이 벤치 마크를 동일한 방식으로 사용하는지 여부를 말할 수 없습니다 (일부 내가 손에 넣은 다른 책은 용어가 표시되지 않습니다.) 그러나 여기 의 사용은 분명합니다. 벤치 마크 숫자는 문제를 추론하는 데 유용한 숫자입니다.이 경우 벤치 마크는 분수 비교를위한 기준점으로 사용됩니다.
의도는 절차보다는 추론을 장려하는 것입니다. 일부 학생들은 알고리즘이 있습니다. 수학적 추론을 암기 된 몇 단계와 약간의 산술로 대체 할 수있는 분수 비교에 사용하도록 배웁니다. 그러나 추론을 통해 추측을 연습하고 답에 대한 정당성을 제시하며 결국에는 “이것이 절차가 만들어 낸 것”이외의 다른 답변을 변호하십시오.
추론에 사용되는 유용한 숫자는 벤치 마크라고 할 수 있습니다. 예를 들어, 다른 질문 (여기에 표시됨) 에 대한 답변에서 저는 감수를 $ 2000 $로 변환하는 학생 추론에 대해 썼습니다. 이 경우 $ 2000 $가 유용합니다.
벤치 마크에서 도움이 될 수있는 또 다른 유형의 수학적 추론은 추정입니다. 목표가 답을 제시하는 것이라면 (많은 실제 응용 프로그램에서 종종 매우 유용한 전략) 더 빠른 계산을위한 가까운 벤치 마크로 숫자를 대체 할 수 있습니다.
요약하면 정확한 벤치 마크 목록에 대한 지원이 없다고 생각합니다 . Beckmann 박사가 제공하는 것은 제안 ( “사용하기 좋음”)이지만 실제 테스트는 수학적 추론에서 사상가에게 유용한 지 여부입니다.
인용 된 작품 :
Beckmann, S. (2010). 초등 교사를위한 수학. 뉴욕 : Pearson Addison-Wesley.
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- 아마도 ' 저는 게으르지 만 어렸을 때는 소수 확장을 계산하여 두 분수를 비교하려고합니다. I ' 이 감정을 반영하는 물리학의 역사를 읽었습니다. 십진수 체계는 Newton '의 생각의 근사 측면에서 매우 중요했습니다 …하지만 저는 ' m 전문가가 아닙니다.
- @ JamesS.Cook It '은 다음과 같은 표현을 사용하는 것이 게으르지 않습니다. t는 귀하의 기술과 현재 응용 프로그램에 적합합니다. 물론 교실 작업에는 추가적인 학습 목표가 있습니다. 이 경우 비교 추론으로 전환합니다 (즉, 다른 " 트릭 " 방법과 대조됩니다). 호기심 때문에 어린 시절에 분수와 소수를 비교할 때 분수와 소수 표현을 연결 한 추론은 무엇입니까? 즉, 십진수 표현이 진정으로 같은 숫자라는 것을 어떻게 비공식적으로 증명 했습니까?
- 내가 회상하고 그것이 논쟁의 여지가 있다면 그것이 표준 의미라고 믿습니다. 예를 들어 $ 1 / 4 = 0.2 + 0.05 $이므로 $ 10,1,1 / 10, 1/100 $ …의 정수 배수를 함께 더하여 소수를 만듭니다. 시리즈에 대한 필요성은 훨씬 나중에 감사하게되었고 어렸을 때의 목적에는 근사치가 충분했습니다. 저는 ' 놀이터에서 수렴을 생각했던 기억이 없습니다.
- @JamesS .Cook 여기에서 " 원자 " 지식의 종류는 $ \ frac {1} {10} = 0.1 $입니다. 10의 거듭 제곱을 포함하는 다른 분수에 대해서는 켜짐). 또한 $ \ frac {2} {10} + \ frac {5} {100} = \ frac {1} {4} $를 정당화해야합니다. 겉보기에는 벤치 마크를 기반으로 두 분수를 비교하는 것보다 더 정교 해 보입니다 (즉, '이 시점에서 해당 벤치 마크 전략이 필요하지 않습니다). 분모 분수는 자리 값이 분수 값에 적용되는 방식을 이해하는 데 매우 중요한 부분입니다.
답변
이 사실을 뒷받침 할 수는 없지만 여기에는 수학자이자 취학 연령 아동의 아버지로서의 생각이 있습니다 (기준이 생기기 위해) :
1 : 전체 아이디어를 나타냅니다. 숫자가 무엇인지. 1을 받으면 2, 3, …, 9를 외워야합니다.
0 : 수량 / 숫자도 아님을 이해함을 나타냅니다.
10 : 처음에 “10”은 “7”과 같은 숫자를 나타내는 또 다른 기호입니다. 하지만 실제로 “1과 0″이라는 것을 알게되면 11, …, 99 기호를 즉시 이해할 수있게됩니다.
100 : “10”을 이해하는 것은 한 가지입니다. 다음 단계는 이해입니다. 10 개의 새로운 이름이 있어야합니다. “백”이되면 “천”, “만”, “백만”등이 암기가됩니다.
1/2 : 능력 1/2을 진정으로 이해한다는 것은 분수가 무엇인지 알게된다는 것을 의미합니다. 학생들이 실제로 분수로 어려움을 겪는다는 것을 알고 있지만 모든 것은 1/2로 시작됩니다.
1/10 : 분수를 얻으면 소수의 문제 그래서 저는 1/10이 0.1을 이해하는 것을 의미한다고 생각합니다.
12 : 목록에 약간의 이상한 공이 있습니다. 내 추측은 두 가지 가능성 중 하나입니다. 대부분의 학생들이 곱셈표를 12x12로 암기하기 때문에 중요합니다. 또는 영어에서 “twelve”는 이름이 십진수 표현에 대해 아무 것도 알려주지 않는 마지막 숫자이기 때문에 중요합니다. “seconteen”이라고합니다.
댓글
- 자세히 살펴보면 " 12 개 "에 최소한 " 2 개의 형식이 포함되어 있습니다. " etymonline.com/index.php?term=twelve .
- 12는 첫 번째 풍부한 숫자이며 일부 교사가 분수에 사용하는 시계 모델의 핵심이기도합니다. ' 그것이 목록에있는 이유인지 '는 모르겠지만, 확실히 그 이유가 4 학년과 5 학년의 중요한 숫자 목록입니다.
- 정수 " 1 "는 Universal Multiplicative Identity입니다. ." 2 "는 ' 정수의 기초로 필요하지 않지만 anything 에 정수 2를 곱하는 것은 그 자체에 더하는 것과 동일하다는 사실을 고려하십시오. " 4 " 중요하다고 생각합니다. 무언가를 4로 곱하는 것은 자신에 무언가를 더하고 결과를 자체 , " 3 "는 중요합니다. 3을 곱하려면 자체에 무언가를 더한 다음 결과를 추가해야하기 때문입니다. 원래로 .