배경 : 내 친구는 하키 플레이 오프 결과를 예측하는 취미를 가지고 있습니다. 그는 각 경기에서 승리하는 팀을 추측하고 승리하는 데 필요한 게임 수를 추측합니다 (NHL 하키에 익숙하지 않은 사람은 시리즈가 7 점 만점으로 결정됩니다). 올해 3 라운드 경기 (8 + 4 + 2 = 14 베스트 오브 7 매치업) 이후 그의 기록은 승리 팀에 대해 7 정답 / 7 부정확, 게임 수에 대해 4 정답 / 10 오답입니다 (그는 게임 수만 정답이라고 간주합니다. 그가 승리 한 팀을 선택한 경우).
우리는 그가 팀 질문에 대해 맹목적으로 추측하는 것보다 낫지 않지만 확률이 있다고 가정하면 확률을 상당히 꺾고 있다는 농담을했습니다. 4, 5, 6 또는 7 게임 시리즈의 경우 동일합니다 (12.5 % 성공률을 예상 할 수 있으며 28.5 %입니다).
이로 인해 각 가능한 숫자에 대한 확률이 실제로 무엇인지 궁금해졌습니다. 나는 그것을 해결했다고 생각하지만, 내 접근 방식의 일부가 큰 종이에 무차별 대입으로 낙서하는 것이기 때문에 약간의 느슨한 끝을 묶고 싶습니다. 내 기본 가정은 모든 게임의 결과가 각 팀이 이길 확률이 $ \ frac {1} {2} $ 인 무작위라는 것입니다.
내 결론은 다음과 같습니다.
$$ \ rm P (4 \; 게임) = \ frac {2} {2 ^ 4} = 12.5 \ % \\ P (5 \; 게임) = \ frac {8} {2 ^ 5} = 25 \ % \\ P (6 \; 게임) = \ frac {20} {2 ^ 6} = 31.25 \ % \\ P (7 \; 게임) = \ frac {40} {2 ^ 7} = 31.25 \ % $$
나는 4 개의 게임 시리즈가 $ \ frac {2} {2 ^ 4} $의 확률을 가져야한다는 개념을 바탕으로 분석을 진행했습니다. 이는 4 개의 동전을 뒤집고 4 개의 동전을 얻을 확률과 유사합니다. 머리 또는 4 개의 꼬리. 분모는 거기에서 알아 내기에 충분히 쉬웠습니다. 주어진 게임 수에 대한 결과의 “합법적 인”조합 (WWLWWLL은 시리즈가 5 게임 후에 결정되기 때문에 불법입니다. 마지막 2 게임은 플레이되지 않음)의 수를 세어 분자를 얻었습니다.
Possible 4 game series (2): WWWW LLLL Possible 5 game series (8): LWWWW WLLLL WLWWW LWLLL WWLWW LLWLL WWWLW LLLWL Possible 6 game series (20): LLWWWW WWLLLL LWLWWW WLWLLL LWWLWW WLLWLL LWWWLW WLLLWL WLLWWW LWWLLL WLWLWW LWLWLL WLWWLW LWLLWL WWLLWW LLWWLL WWLWLW LLWLWL WWWLLW LLLWWL Possible 7 game series (40): LLLWWWW WWWLLLL LLWLWWW WWLWLLL LLWWLWW WWLLWLL LLWWWLW WWLLLWL LWLLWWW WLWWLLL LWLWLWW WLWLWLL LWLWWLW WLWLLWL LWWLLWW WLLWWLL LWWLWLW WLLWLWL LWWWLLW WLLLWWL WLLLWWW LWWWLLL WLLWLWW LWWLWLL WLLWWLW LWWLLWL WLWLLWW LWLWWLL WLWLWLW LWLWLWL WLWWLLW LWLLWWL WWLLLWW LLWWWLL WWLLWLW LLWWLWL WWLWLLW LLWLWWL WWWLLLW LLLWWWL 분자를 유도하기위한 무력한 방법은 무엇입니까? 재귀 적 정의가있을 수 있으므로 $ \ rm P (5 \; games) $를 $ \ rm P (4 \; games) $ 등으로 정의 할 수 있습니다. 또는 $ \ rm (probability \; of \; at \; least \; 4/7 \; W) \ times (probability \; of \; legal \; combination \; of \; 7 \과 같은 조합을 포함 할 수 있습니다. ; outcomes) $,하지만 조금 멈췄습니다. 처음에는 $ \ left (^ n_k \ right) $와 관련된 몇 가지 아이디어를 생각했지만 결과의 순서가 중요하지 않은 경우에만 작동하는 것 같습니다.
흥미롭게도 다른 친구가 7 개의 게임 시리즈 (NHL, NBA, MLB 1905-2013, 1220 시리즈)에 대한 통계를 가져와 다음과 같은 결과를 얻었습니다.
4 Game Series - 202 times - 16.5% 5 Game Series - 320 times - 26.23% 6 Game Series - 384 times - 31.47% 7 Game Series - 314 times - 25.73% 그게 (적어도 내 천문학 자의 관점에서 볼 때!) 불일치는 각 게임의 결과가 한 팀 또는 다른 팀의 승리로 편향된 결과라고 생각합니다 (실제로 팀은 일반적으로 첫 번째 라운드에서 시드가 지정되므로 주요 예선 팀이 거의 자격이없는 팀을 플레이합니다. 2 위는 마지막으로 2 위를하므로 대부분의 게임이 1 라운드에 있습니다.
댓글
- 특히 그렇지는 않습니다. CV.SE에서 활성화되므로 약간의 태그를 다시 추가해야 할 수 있습니다.
답변
팀이 게임 N에서 [시리즈]를이기려면 첫 번째 N-1 게임 중 정확히 3 번 이겼을 것입니다. 7 게임의 경우 $ \ binom {6} {3} = 20 $ 방법이 있습니다. 7 번 게임에 대해 2 개의 가능한 결과 및 이길 수있는 각 팀에 대해 20 개의 가능한 승리 조합이 가능하므로 40 개의 가능한 결과가 있습니다. N-game 시리즈 의 경우 7 개 중 최고 시리즈가 종료됩니다. N 게임, 가능성의 수는 $ 2 \ binom {N-1} {3} $입니다.
실제로 순서는 중요하지 않습니다. f 당신은 이미 플레이 한 게임의 수를 받았습니다. 마지막 게임 만 중요하며 승자는 순서에 상관없이 이전에 3 번 승리해야합니다.
댓글
- N 게임 시리즈의 경우 ' $ 2 (^ {N-1} _ {{\ rm floor} (N / 2)}) $ 또는 그와 비슷한 것입니까? 홀수 게임이 있다고 가정하는 것은 합리적 일뿐입니다.
- 나는 7 경기에서 플레이 한 게임의 수로 N을 사용했습니다. 예 : N = 4 인 경우 $ 2 \ binom {3} {3} = 2 $는 시리즈가 4 개의 게임으로 끝날 수있는 방법의 수를 제공합니다. 즉. 각 팀에 대해 3 개의 게임 중 3 개의 승리를 선택하는 방법의 수입니다.
- 예, N 게임에서 결정되는 M 게임 시리즈의 가능성은 $ 2 \ binom {N-1} {입니다. \ mathrm {floor} (M / 2)} $. 동점 시리즈가 결정되지 않은 경우 ' 게임 수가 짝수 인 경우에도 여전히 작동합니다.
- 현실적인 경우 각 게임에서 각 팀의 승리가 0.5가되어서는 안됩니다. 한 예로 홈 아이스 이점이있을 수 있습니다.
- @MichaelChernick 사실입니다. 질문의 마지막 단락에서이 부분에 대해 약간 언급하지만 나중에 조정할 수있는 시작점으로 0.5가 합리적입니다. .
답변
이항 분포를 보는 다른 방법은 x = 3 (정확히 3 successes) in n = 6 (trails)이므로 게임에서 이길 확률이 .5 (두 팀 모두 똑같이 likley)이면 이항식은 P (x = 3) = 6C3 * (.5) ^ 3 * (.6 ) ^ 3 = .3125 이것은 7 게임 시리즈에 갈 확률이 31.25 %임을 의미합니다. 그리고 당신이 7 번째 게임에서 이길 확률은 음의 이항식을 따를 것입니다. 4 개의 성공에 대한 트레일 수 = 7, 7-1 C 4-1 * (.5) ^ 3 * (.5) ^ 4