쌍 입방 보간

여기 꽤 좋은 설명입니다.

1D 경우 (설명하기 쉽기 때문에)를 고려한 다음 2D 사례로 넘어가겠습니다.

3 차 보간의 기본 개념은 1 차 도함수 $ f “(x) $와 함께 3 차 함수 $ f (x) $로 두 점 사이의 값을 추정하는 것입니다.

$$ f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d $$ $$ f “(x) = 3ax ^ 2 + 2bx + c $$

그러면 왼쪽과 오른쪽의 인접한 3 차 스플라인에 스플 라이스 할 때 보간 함수 ( “0 차 미분”)와 1 차 미분은 연속적입니다. 즉, 특정 스플라인의 왼쪽 경계에서 0 차 미분과 1 차 미분은 다음과 같습니다. 바로 왼쪽에 인접한 스플라인의 오른쪽 경계와 동일합니다.

일반성을 잃지 않고 $ x = 0 $과 $ x = 1 $ 사이를 보간한다고 가정 할 수 있습니다. . 왼쪽과 오른쪽 경계에서

$$ f (0) = d $$ $$ f (1) = a + b + c + d $$ $$ f “(0) = c $$ $$ f “(1) = 3a + 2b + c $$

다항식 계수 풀기

$$ a = 2f (0)-2f (1 ) + f “(0) + f”(1) $$ $$ b = -3f (0) + 3f (1)-2f “(0)-f”(1) $$ $$ c = f “( 0) $$ $$ d = f (0) $$

이제 추정되는 지역 주변의 4 개 지점 인 $ (-1, y _ {-1}) $, $ (0 , y_0) $, $ (1, y_1) $, $ (2, y_2) $ 및

$$ f (0) = y_0 $$ $$ f (1) = y_1 $$

두 경계 미분을 다음과 같이 정의합니다.

$$ f “(0) = \ frac {y_1-y _ {-1}} {2} $$ $$ f “(1) = \ frac {y_2-y_0} {2} $$

인접 스플라인에 대해 정의되는 방법과 일치합니다.

그런 다음

$$ a =-\ frac {y _ {-1}} {2} + \ frac {3y_0} {2}-\ frac {3y_1} {2} + \ frac {y_2} {2} $$ $$ b = y _ {-1}-\ frac {5y_0} {2} + 2y_1-\ frac {y_2} {2} $$ $$ c =-\ frac {y _ {-1}} {2} + \ frac {y_1} {2} $$ $$ d = y_0 $$

계수를 알고 나면 중앙 두 점 사이의 모든 점에 대해 $ f (x) $를 보간 할 수 있습니다. $ (0 , y_0) $ 및 $ (1, y_1) $.

쌍 입방 보간의 경우 원리는 거의 동일하지만 곡선이 아닌 16 점 (4×4 그리드)을 사용하여 표면을 추정합니다. 이를 수행하는 한 가지 간단한 방법은 먼저 열을 보간 한 다음 결과 행을 보간하는 것입니다.

주석

• 이것들은 Hermite라고도하는 BTW입니다. 다항식.
• 이 답변을 읽기 전에 큐빅 헤르 마이트 스플라인에 대한 모든 소란이 무엇인지 이해하지 못했습니다. 정말 대단합니다. 정말 감사합니다!
• 쌍 선형 보간을 할 때 한 변수에 대해 선형 보간을 한 다음 다른 변수에 대해 선형 보간을합니다. 따라서 쌍 입방 보간은 동일합니다. 한 변수에 대해 3 차 보간을 수행 한 다음 다른 변수에 대해 3 차 보간을 수행합니까?