1976 년 Black Model과 Bachelier 모델에 대한 질문이 있습니다.
P 측정 값에서 기하학적 인 브라운 운동이 $ dS_ {t} = \ mu S_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t} ^ {P} $ 주가 $ S_ {t} $은 (측정 변경 후) Black- 호출을위한 스콜 공식 :
$$ C = S_ {0} N (d_ {1}) − Ke ^ {− rT} N (d_ {2}) $$.
$ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {S_ {0}} {K}) + (r + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2}) T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ 및 $ d_ {2} = d_ {1}-\ sigma \ sqrt {T} $
실제로 유명한 검정 공식을 얻을 수있는 방법을 모릅니다. 선도 계약 :
$$ C = e ^ {− rT} (FN (d_ {1}) − KN (d_ {2})) $$.
지금 $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {F} {K}) + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2} T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ 및 $ d_ {2} = d_ {1}-\ sigma \ sqrt {T} $
첫 번째 BS에 $ F (0, T) = S_ {0} e ^ {rT} $를 삽입해야합니까? 두 번째 수식을 구하기위한 수식?
나는 $ dS_ {t} = \ mu dt + \ sigma dW_ {t}와 같은 산술 브라운 운동을 사용하여 BS 수식을 유도하려고했기 때문에 이것을 묻습니다. ^ {P} $, a 결과 :
$$ C = S_ {0} N (d) + e ^ {− rT} [v n (d) -K N (d)] $$.
여기서 $ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rT} -K} {v} $ 및 $ v = e ^ {rT} \ sigma \ sqrt {\ frac {1-e ^ {− 2rT}} {2r}} $ 그리고 $ N (d) $ 및 $ n (d) $가 CDF 및 PDF라는 것을 기억합니다.
그러나 이전 대체 $ F (0, T ) = S_ {0} e ^ {rT} $는 알려진 결과로 이어지지 않는 것 같습니다. $ C = e ^ {− rT} [(FK) N (d)-\ sigma \ sqrt {T} n (d )] $
여기서 $ d = \ frac {FK} {\ sigma \ sqrt {T}} $
기하학적으로 둘 다 앞으로 방정식에 도달 할 수있을 것 같습니다. 방정식을 사용한 브라우니 안 모션 및 산술 브라우니 안 모션
$ dF = F \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ and $ dF = \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ but I don ” 사용을 정당화하는 방법을 알고 있어야합니다.
댓글
- @Macro Quant에 오신 것을 환영합니다. S.E.! 선물 계약이나 선물 옵션에 대한 가격을 책정 하시겠습니까?
- 안녕하세요 Neeraj, 답변 해 주셔서 감사합니다. ' 선도 계약 옵션의 가격을 책정하고 싶습니다!
- 원래 BS 공식에서 $ S_0 $를 $ F e ^ {-rT} $로 바꾸면됩니다. 또는 위험 중립적 인 접근 방식을 사용할 수 있습니다. 둘 다 동일한 평가 공식으로 이어집니다.
- 알겠습니다. 감사합니다. 하지만 ABM에 대해서도 똑같이 할 수 있습니까? 이 대체 작업을 수행해도 ' 결과를 얻을 수 없기 때문입니다.
답변
미래에 대한 유럽 옵션
미래에 대한 유럽 옵션의 가격을 책정하려면 $ S_0 $ 를 $ Fe ^ {-rT} $ 를 입력하거나 위험 중립적 인 접근 방식을 사용할 수 있습니다. 둘 다 동일한 밸류에이션 공식으로 이어질 것입니다.
미래에 대한 미국 옵션
위의 절차는 선물에 대한 미국 옵션의 가격을 책정하는 데 사용할 수 없습니다. Ramaswamy의 향후 계약 옵션 평가 에서
미래 계약에서 미국 옵션의 평가에 대한 알려진 분석 솔루션이 없습니다.
저자는 암시 적 유한 차분 법을 사용하여 선물 계약에서 미국 옵션의 가격을 책정했습니다.
편집 : 선물 계약에서 유럽 옵션 가격 유도
위험 중립 측정, 선물 가격, $ F_t $ 다음 SDE를 충족합니다. $$ dF_t = \ sigma F_t dW_t $$ 여기서, $ W_t $ 는 Wiener 프로세스입니다. 다음과 같이 쉽게 표시 될 수 있습니다. $$ F_T | F_t = F_t e ^ {-\ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt) + \ sigma (W_T- W_t )} $$ $$ F_T | F_t \ sim logN \ left (ln (F_t)-\ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt), \ sigma ^ 2 (Tt) \ right) $$
선물 계약 옵션 가격 $ (C_t) $ 이하 위험 중립 측정 : $$ C_t = e ^ {-r (Tt)} E_ \ mathbb {Q} [(F_T-K) ^ +] $$
위의 식을 쉽게 풀면 선물 옵션의 가격을 알 수 있습니다. $ F_T $ 의 분포는 $ S_T $ (이 답변 참조) . $$ ln (F_t) = ln (S_t) + r (Tt) $$ 를 바꾸면 $ S_T $ 은 (는) 위험 중립 조치하에 있습니다. 이것이 향후 옵션 가격을 얻기 위해 $ S_t $ 를 $ F_t e ^ {-로 대체하는 이유입니다. r (Tt)} $ 유럽 콜 옵션 가격의 BS 모델입니다.
댓글
- 안녕 Neeraj, 실제로 저는 ' ABM에서 시작하는 유럽 옵션의 가격을 책정하려고합니다.
- @Marco 수정 답변을 확인하십시오.
답변
다음은 위험 중립 가격을 사용하여 선도 가격에 대한 콜 옵션 가격을 얻는 간단한 방법입니다.
$ t = T $ , $ (For ( T, T ^ *)-K) ^ + $ , 여기서 $ T ^ * \ geq T $ . 또한 이자율이 일정하고 “ $ r $ “로 표시된다고 가정합니다. $ c ^ {For} (t, s) $ 를 $ S (t) = s $ .
주식이 배당금을 지급하지 않는 경우 :
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb { E}} [e ^ {-r (Tt)} (For (T, T ^ *)-K) ^ + | S (t) = s] $ , 복제하여 표시 할 수 있습니다. $ For (T, T ^ *) = S (T) e ^ {r (T *-T)} $ 및
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {-r (Tt)} (S (T) e ^ {r (T *-T)} -K) ^ + | S (t) = s] $
금리는 일정하고 따라서 결정론 적이므로 “ $ e ^ {r (T ^ *-T)} $ “기간 :
$ c ^ { For} (t, s) = e ^ {r (T *-T)} \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {-r (Tt)} (S (T)-e ^ {-r ( T *-T)} K) ^ + | S (t) = s] $
따라서 이것은 이제 행사가가있는 Black Scholes 콜 가격에 비례합니다. $ X = e ^ {-r (T *-T)} K $
$ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T *-T)} c ^ {BS} (t, s | X = e ^ {r (T *-T) K} $ ) $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ *-T)} [SN (d_ +)-e ^ {-r (Tt)} e ^ {-r (T *-T)} KN (d _-)] $ $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ *-T )} [SN (d_ +)-e ^ {-r (T *-t)} KN (d _-)] $
$ c ^ {For } (t, s) = e ^ {-r (T-t)} (FN (d_ +)-KN (d _-)) $ , 여기서 $ F = Se ^ {r (T ^ *-t)} $
또한 :
$ d _ {\ pm} = \ frac { 1} {\ sigma \ sqrt {Tt}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r \ pm \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2) (Tt)] $
이것은 “선도 계약에서 유명한 검은 공식”입니다. 도움이 되었기를 바랍니다.
선도 가격과 선도 계약의 가격이 동일하지 않습니다. 0 번 시점의 선물환 가격은 0이지만 변경 될 수 있습니다. 선물환 가격은 배송시 지불하기로 동의 한 가격입니다.
호출 인 경우 어떻게 될지 궁금하다면 선물 가격은 선물 가격에 대한 콜 대신 자산 가격이 이자율과 상관 관계가없는 경우 동일하다고 주장합니다. 그렇지 않으면 차익 거래가있을 것입니다 (상대방 위험이 없다는 가정하에). 나는 당신이 이것을 시도하고 보여줄 것을 권장합니다.
(PS 선물 가격에 대한 미국식 옵션에 대한 공식이 없다는 이전 논평자들의 반응에, 이것은 우리가 몬테카를로를 사용하는 것을 막지는 않습니다!)