2 체 시스템은 기본적으로 단일체로 문제가 줄어들 기 때문에 감소 된 질량을 사용하여보다 간단하게 분석 할 수 있습니다. 무게 중심이 m1과 일치하기 때문에 별을 공전하는 행성과 같은 m1 >> m2를 가정하여 첫 번째 근사값을 얻을 수 있습니다. 따라서 무거운 몸은 쉬고 있고 가벼운 몸은 그 주위를 이동한다고 가정 할 수 있습니다.
유도 : $$ \ text {Let} \, m_1, \ vec r_1 \ text {무거운 몸체의 질량과 위치 및} \, m_2, \ vec r_2 \, \ text {더 가벼운 것} $$
$$ \ text {추정} \, m_1 > > m_2 \, \ text {질량 (중력) 사이의 힘은 위치 벡터의 차이에 따라 달라집니다} : \ vec F_ {12} = \ vec F (\ vec r_ {12}), \ text {where} : $$
$$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \\ \ vec F_ {12} \, \ text {is force on body 1 due to body 2} $$ 우리의 근사치에서 우리는 무거운 질량이 원점에서 쉬십시오. 따라서 : $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 $$ 그리고 운동 방정식은 다음과 같습니다. $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} $ $ 는 위치를 구하기 위해 풀 수 있습니다.
“진정한”운동을 얻으려면 질량 중심 (CM)을 고려하여 근사치를 정확하게 만들 수 있습니다. 이 경우 두 질량의 위치에 대한 가중 평균) $$ \ vec R_ {CM} = \ frac {m_1 \ vec r_1 + m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} = \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_1 + m_2} + \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} $$ $$ \ text { 통화량} \ frac {m_2m_1} {m_1 + m_2} = \ mu \, \ text {질량 감소} $$ $$ \ text {Thus} : \ vec R_ {CM} = \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} + \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} $$ 시스템의 순 외력이 다음과 같다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 총 질량 곱하기 질량 중심 가속도. 확신하지 못한다면, 나는 외부 힘이 존재하지 않는다고 가정하기 때문에이 POST
에 그러한 유도 전에 썼습니다. 질량 사이의 중력이 “내부로 계산”), 질량 중심은 일정한 속도로 움직입니다. $$ \ frac {d ^ 2 \ vec r} {dt ^ 2} = 0 \ implies \ frac {d \ vec r} {dt} = const. $$ CM을 관성 좌표계의 원점으로 간주합니다. 따라서 두 질량의 위치는 다음과 같이 주어집니다. $$ \ vec R_ {CM} = 0 \ implies \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} =-\ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} \ implies \ vec r_1 =-\ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1}; \, \ vec r_2 =-\ frac {m_1 \ vec r_1} {m_2} $$ $$ \ text {이후} : \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \, \ text {우리는 다음을 얻습니다 :} $$ $$ \ vec r_ {21} =-\ frac {m_1} {m_2} \ vec r_1- \ vec r_1 =-\ vec r_1 (\ frac {m_1 + m_2} {m_2}) \ implies \ vec r_1 =-\ frac {\ mu} {m_1} \ vec r_ {21} $$ $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 + \ frac {m_2} {m_1} \ vec r_2 = \ vec r_2 (\ frac {m_1 + m_2} {m_1}) \는 \ vec r_2 = \ frac {\ mu} {m_2} \ vec r_ {21} $$를 의미합니다. $$ \ text {따라서 운동 방정식은} : $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} = \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {12}) = \ vec F (-\ vec r_ {21}) = m_1 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ { 1}} {dt ^ 2} =-\ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ W hich는 이전에 질량이 감소 된 근사치에서 얻은 방정식입니다. m1 >> m2 감소 된 질량이 m2와 거의 같다는 점에 유의하십시오.
이 두 신체 시스템의 움직임은 CM과 그 주위의 움직임으로 구성됩니다. 그 주위의 움직임은 고정 된 중심을 중심으로 움직이는 하나의 감소 된 질량으로 설명 할 수 있습니다.