반 강자성체 Heisenberg 모델에서 2 차 항을 대각 화하기 위해 Bogoliubov 변환을 도입 할 수 있습니다. $ a_k = u_k \ alpha_k + v_k \ beta_k ^ \ dagger $, $ b_k ^ \ dagger = v_k \ alpha_k + u_k \ beta_k ^ \ dagger $. 이 변환은 Hamiltonian에서 2 차 항을 대각선으로 만들 수 있습니다.
\ begin {align} H & = \ sum_k (a ^ \ dagger_ka_k + b ^ \ dagger_kb_k + \ gamma_ka ^ \ dagger_kb ^ \ dagger_k + \ gamma_ka_kb_k) \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k }} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{ k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma_ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pm atrix} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end { pmatrix} \ begin {pmatrix} \ epsilon_k & 0 \\ 0 & \ epsilon_k \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \ end {align}
with $ \ epsilon_k = \ sqrt {1- \ gamma_k ^ 2}, u_k = \ sqrt {\ frac {1+ \ epsilon_k} {2 \ epsilon_k}}, v_k =-\ frac {\ gamma_k} {\ sqrt {2 \ epsilon_k (1+ \ epsilon_k)}} $ . 하지만 변환 U : $ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ { k} \ end {pmatrix} $는 단일이 아닙니다. $ u_k, v_k $는 실수이므로 $ U ^ \ dagger \ neq U ^ {-1} $.
보존되지 않은 boson의 수입니다. , 그래서 변환은 단일하지 않을 수 있습니까? boson 변환에 제한이 있습니까?
코멘트
- 문제는 변환 후에도 표준 정류 관계가 여전히 유지된다는 것입니다.
- 관련 : physics.stackexchange.com/q/53158
답변
맞습니다. Bogoliubov 변환은 일반적으로 단일성이 아닙니다 . 정의에 따라
Bogoliubov 변환은 대수적 관계를 유지 em하는 생성 / 소멸 연산자의 선형 변환 입니다. >.
대수적 관계는 주로 보소닉 / 페르미 오닉 연산자를 정의하는 정류 / 반전 류 관계 입니다. 정의의 어느 곳에서도 변환이 단일화되어야한다고 명시하지 않았습니다. 실제로 Bogoliubov 변환 (가장 일반적인 형식)은 symplectic bosons 및 iv id = “a1b5a27fa1 fermions 에 대한 “>
직교 . 두 경우 모두 Bogoliubov 변환 단일입니다. bosons의 Bogoliubov 변환은 고전 역학에서 발진기의 선형 표준 변환에 해당하며 (boson은 발진기의 양자이기 때문에) 선형 표준 변환은 고전적인 위상 공간의 대칭 구조로 인해 대칭 적이라는 것을 알고 있습니다.
좀 더 구체적으로 말하면 Bogoliubov 변환에 대한 제한은 무엇입니까? bosons $ b_i $ 또는 fermions $ f_i $의 $ n $ 단일 입자 모드 (여기서 $ i = 1,2, \ cdots, n $는 운동량 고유 상태와 같은 단일 입자 상태를 표시 함)의 경우를 고려해 보겠습니다. $ b_i $와 $ f_i $는 둘 다 Hermitian 연산자가 아니므로 일반적인 치료에 매우 편리하지 않습니다 (왜냐하면 $ b_i $ 및 $ b_i ^ \ dagger $는 여전히 다음과 관련되어 있기 때문에 단순히 독립적 인 기준으로 취급 할 수 없기 때문입니다. 따라서 우리는 연산자를 다음 선형 조합으로 다시 작성하기로 선택합니다 (복소수를 $ z = x + \ mathrm {i} y $와 같은 두 개의 실수로 분해하려는 아이디어에 동기) : $$ \ 시작 {split} b_i & = a_i + \ mathrm {i} a_ {n + i} \\ b_i ^ \ dagger & = a_i -\ mathrm {i} a_ {n + i} \ end {split} \ qquad \ begin {split} f_i & = c_i + \ mathrm {i} c_ {n + i} \\ f_i ^ \ dagger & = c_i- \ mathrm {i} c_ {n + i} \ end {split} $$ 여기서 $ a_i = a_i ^ \ dagger $ 및 $ c_i = c_i ^ \ dagger $ ($ i = 1,2, \ cdots, 2n $의 경우)는 Hermitian 연산자 (실수에 대한 아날로그)입니다.”복잡한”bosons $ b_i $ 및 fermions $ f_i $ : $$ \ begin {split} [b_i, b_j ^ \ dagger] = \ delta_ {ij}, [b_i, b_j]에서 정류 또는 반 정류 관계를 상속해야합니다. = [b_i ^ \ dagger, b_j ^ \ dagger] = 0 & \ Rightarrow [a_i, a_j] = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ a \\ \ {f_i, f_j ^ \ dagger \} = \ delta_ {ij}, \ {f_i, f_j \} = \ {f_i ^ \ dagger, f_j ^ \ dagger \} = 0 & \ Rightarrow \ {c_i, c_j \} = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ c \ end {split} $$ 여기서 $ g_ {ij} ^ a $ 및 $ g_ {ij} ^ c $는 보손과 페르미온에 대해 각각 양자 측정 항목 이라고도합니다. 행렬 형식에서는 $$ g ^ a = \ mathrm {i} \ left [\ begin {matrix} 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times로 제공됩니다. n} \\-\ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \ end {matrix} \ right] \ qquad g ^ c = \ left [\ begin { matrix} \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \\ 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \ end {matrix} \ right], $$ with $ \ mathbb {1} _ {n \ times n} $는 $ n \ times n $ 단위 행렬입니다. 따라서 생성 / 소멸 연산자 간의 대수적 관계를 보존하려면 양자 메트릭을 보존 해야합니다. 연산자 $ a_i $ 및 $ c_i $의 일반 선형 변환은 $$ a_i \ to \ sum_ {j} W_ {ij} ^ a a_j \ qquad c_i \ to \ sum_ {j} W_ {ij} ^ c 형식을 취합니다. c_j, $$ 여기서 $ a_i $ 및 $ c_i $ 연산자를 유지하려면 변환 행렬 요소 $ W_ {ij} ^ a, W_ {ij} ^ c \ in \ mathbb {R} $가 실수 여야합니다. 변형 후 Hermitian. 그런 다음 퀀텀 메트릭을 보존하려면 $$ W ^ ag ^ a W ^ {a \ intercal} = g ^ a \ qquad W ^ cg ^ c W ^ {c \ intercal} = g ^ c. $$ 위의 조건을 만족하는 실제 선형 변환은 가장 일반적인 의미에서 Bogoliubov 변환입니다. 그런 다음 양자 메트릭의 속성에 따라 Bogoliubov 변환은 symplectic 또는 orthogonal입니다. 보소닉 양자 메트릭의 경우 $ g ^ a = -g ^ {a \ intercal} $은 비대칭 이므로 $ W ^ a $ 변환은 symplectic 입니다. fermionic quantum metric의 경우 $ g ^ c = g ^ {c \ intercal} $은 대칭 이므로 $ W ^ c $ 변환은 직교 입니다.
코멘트
- 누구나이 형식주의에 대해 자세히 알아보기 위해 리소스를 추천 할 수 있습니까? 즉, 생성 / 소멸 연산자를 복잡한 숫자 ” 및 양자 측정 항목의 보존?
답변
양자 역학적 변환의 단일성은 생성 및 소멸 연산자를 혼합하는 방식에 의해 결정되지 않습니다. (어떤 종류의 행렬 — 직교, 대칭 또는 단일 —이 믹싱에 관여하는지는 중요하지 않습니다!) 변환이 힐베르트 공간에서 작동하는 단일 연산자와 연관되어 있는지 조사해야합니다.
인용 된 Bogoliubov 변환 OP는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다 ($ \ textbf {k} $-종속성이 억제됨). $$ \ hat {a} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {a} ^ {\ prime} = \, \ cosh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ sinh \ lambda \, \ hat {b } ^ {\ dagger}, \\ \ hat {b} ^ {\ dagger} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = \, \ sinh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ cosh \ lambda \, \ hat {b} ^ {\ dagger}, $$ 여기서 $ \ lambda $는 실수입니다.이 변환은 단일 연산자가있는 경우에만 단일입니다. $ U $ : $$ \ hat {a} ^ {\ prime} = U \ hat {a} U ^ {-1}, \\ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = U \ hat {b} ^ {\ dagger} U ^ {-1}. $$ 실제로 이러한 관계는 다음 선택으로 충족됩니다. $$ U = \ exp \ Big [\ lambda (\ hat {a} \ hat {b }-\ hat {b} ^ {\ dagger} \ hat {a} ^ {\ dagger}) \ Big], $$이므로 변환은 단일입니다.
답변
행렬 방정식의이 부분에 대해 작업하겠습니다 $$ H = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin { pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k }} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v_ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix } \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} $$ 중요한 부분은 트랜스와 마찬가지로 필드의 변형을 볼 수 있다는 것입니다. 행렬의 형성 $$ \ Gamma ~ = ~ \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} ~ \ rightarrow ~ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k } & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \ \\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} ~ = ~ M ^ \ dagger \ Gamma M, $$ 여기서 $ M ^ \ dagger ~ = ~ M $. 이것의 행렬식은 $ det (M \ Gamma M) ~ = ~ det (M) det (\ Gamma) det (M) $ $ = ~ det (\ Gamma) $ $ M $의 행렬식은 $ u_k ^를줍니다. 2 ~-~ v_k ^ 2 ~ = ~ 1 $. 그런 다음 $ u_k ~ = ~ sinh (k) $ 및 $ v_k ~ = ~ cosh (k) $로 나타낼 수 있습니다.
이제 정류자 $ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] $를 평가합니다. $$ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ + ~ v_k ^ 2 [\ beta ^ \ dagger_k, ~ \ beta_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~-~ v_k ^ 2 [\ beta_k, ~ \ beta ^ \ dagger_k]. $$ 커뮤 레이터의 경우 $ [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ = ~ [\ beta_k, ~ \ beta_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ 그러면 $ [a_k, ~ a_k ^ \ dagger]가 표시됩니다. ~ = ~ 1 $. $ [b_k, ~ b_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ 이것은 $ N \ hbar $ 행동 단위를 가진 모든 시스템이 일정하다는 것을 의미합니다. 시스템의 위상 공간 볼륨에는 변화가 없습니다. 이는 Bogoliubov 변환이 사실상 단일화임을 의미합니다.
댓글
- 일반적인 단일 변환 ‘ 정의는 더 길다 $ U ^ {\ dagger} = U ^ {-1} $ 우리는 교과서에서 배웠습니까? 나는 ‘ 이해할 수 없습니다. ‘ 이는 Nℏ 단위의 행동이있는 모든 시스템이 일정하다는 것을 의미합니다. 시스템의 위상 공간 볼륨에 변화가 없습니다 ‘, 설명 하시겠습니까?
- 그런데 변환에 제한이 있습니까? Boson 시스템 (Hamiltonian)의?
- @ZJX Lawrence가 Bosonic Bogoliubov 변환이 “이라고 말한 이유를 이해하지 못합니다. ‘ div> 효과적으로 단일 “. 일반적으로 상징적이어야한다고 생각합니다. 제한은 bosonic 연산자의 정의를 보존하는 데서 발생합니다 (예 : bosonic 연산자는 변환시 bosonic으로 유지됨). 보소닉 시스템 (Hamiltonian)에서 오는 제한은 없습니다. Hamiltonian이 Hermitian 인 한 합법적 인 Hamiltonian입니다. Hamiltonian에 적용된 모든 symplectic 변환은 합법적 인 Bogoliubov 변환입니다.
답변
아니요, 단일입니다. 하지만 Hamiltonian의 전자 & 구멍을 함께 고려할 때만 가능합니다.
댓글
- 하지만 여기서 모델은 스핀에 관한 것입니다. ‘는 페르미온이 아닙니다. 맞죠?