숙제 문제로 시작하려면 상당히 긴 시간입니다.
전자 질량의 208 배에 해당하는 질량 입자가 전하 핵 $ + 3e $ 주위를 원형 궤도로 이동합니다. 원자의 Bohr 모델이이 시스템에 적용 가능하다고 가정하면
- $ n $ th Bohr 궤도 반경에 대한 표현식을 도출합니다.
- $ n $ 값 찾기 반지름은 수소의 첫 번째 궤도의 반지름과 같습니다.
- 회전 입자가 세 번째 궤도에서 첫 번째 궤도로 점프 할 때 방출되는 방사선의 파장을 찾습니다.
이제 첫 번째 부분을 수행하고 정답을 얻었습니다. 내가 한 일은 다음과 같습니다.
회전하는 입자의 질량이 $ M $이고 속도가 $ v $이고 $ M = 208m_ {e} $라고 가정합니다. 정전기력은 구심력입니다. . 따라서
$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {align} $$
Bohr 모델에서
$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$
여기서 $ h $는 플랑크 상수입니다. 따라서
$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$
제곱
$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$
$ v ^ 2 $가 포함 된 두 방정식을 동일시합니다. ,
$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$
$ r $를 풀면 다음과 같은 결과가 나타납니다.
$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$
위의 모든 것이 맞습니다. 문제는 두 번째와 세 번째 부분에 있습니다. $ r = \ pu {0.53 * 10 ^ {-10} m} $를 입력했을 때 필요한 답을 얻지 못했습니다. 세 번째 부분에 접근하기 위해 표준 Rydberg 방정식으로 시작했습니다.
$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2}-\ frac {1} {n_i ^ 2} \ right) $$
각 값을 연결했습니다. $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; 그러나 다시 “정답을 얻지 못했습니다.
두 번째 부분에 대한 답은 25 $ (n = 25) $이고 세 번째 부분은 55.2 피코 미터.
답변
두 번째 부분에 답하려면
p>
우리는 $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .
1 부에는 실수가 있습니다.
$$ \ begin {align} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ implies & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {align} $$
우리는 보어 반경도 알고 있습니다.
$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ 약 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$
그러므로 다음을 작성하고 취소 할 수 있습니다.
$$ \ begin {align} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ therefore & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ therefore & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} \ approx25 \ end {align} $$
세 번째 부분 :
Ridberg 공식은 다음과 같이 주어집니다.
$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} {n_1 ^ 2}-\ frac {1} {n_2 ^ 2} \ right) $$
Rydberg $ \ mathcal {R} $ 상수는 전자가 방출하는 광자에 대해 정의됩니다. 우리는 핵의 질량이 7 개의 원자 단위 (양성자 3 개 + 중성자 4 개)라고 가정합니다. $ m_p \ approx 1836m_e $ 를 고려하면
$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$
이제 Rydberg 상수는 다음을 포함하도록 수정되어야합니다. 입자의 질량 :
$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$
$ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1.097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {-1}} $ ( wikipedia ), $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55.6 ~ \ mathrm {pm} $ .
감소 된 질량을 고려하지 않고, 즉 $ \ mathcal {R} \ approx \ mathcal {R} _ \ infty $ $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54.8 ~ \ mathrm {pm} $ .
두 값 모두 주어진 솔루션에 상당히 가깝습니다.
(진짜 뮤온에 관한 질문이라면 더 정확한 중량비는 206.77이고 해당 파장은 오후 55.1 ~ 56.0입니다.)