볼츠만의 엔트로피 정의의 의미는 무엇입니까?

이 정의의 두 가지 명백한 바람직한 기능은 다음과 같습니다.

• 두 시스템을 하나의 시스템으로 간주하여 나란히 배치 할 때 가능한 총 마이크로 스테이트 수 $ \ Omega_t $는 두 시스템 $ \ Omega_t = \ Omega_1 \ times \ Omega_2 $의 $ \ Omega $ s의 곱과 같습니다. 그러나 t의 경우 그의 시스템 엔트로피는 지수 정의의 필요성을 나타내는 엔트로피의 합입니다.
• $ \ ln $ 함수는 하나의 미시 상태를 갖는 시스템의 엔트로피 $ (\ Omega = 1 ) $는 0이며 이는 바람직합니다.

이 관계는 선험적 확률과 같음 이라는 가정을 통해 얻을 수 있습니다 , 즉 평형은 최대 미시 상태 수를 갖는 거시 상태에 해당합니다.

각각 매크로 상태가 $ E_i ^ {(0)}, V_i, N_i $ (에너지, 부피, 입자 수). 그들 각각은 $ \ Omega_i (N_i, V_i, E_i ^ {(0)}) $ 가능한 마이크로 스테이트의 총 수를 가지고 있습니다.

이제 에너지를 교환 할 수 있도록 열 접촉을합니다. 이 시점 이후에는 $ E_t = E_1 “+ E_2″= \ text {constant} $를 갖게됩니다. 각 시스템에 대한 $ N $ 및 $ V $는 변경되지 않습니다. 각 시스템에 대해 가능한 총 마이크로 스테이트 수는 $ \입니다. Omega_i (N_i, V_i, E_i “) $ 및 복합 시스템 : $$ \ Omega = \ Omega_1 (N_1, V_1, E_1”) \ times \ Omega_2 (N_2, V_2, E_2 “) = \ Omega_1 (E_1”) \ Omega_2 (E_2 “) = $$ $$ \ Omega (E_t, E_1) $$

최대 $ \ Omega $를 갖는 지점에서 평형이 일어난다는 가정하에 , $ \ Omega (E_t, E_1) $ : $$ d \ Omega = 0 \ to \ left (\ frac {\ partial \)를 최대화하는 $ E_1 ^ * $ (따라서 $ E_2 ^ * $)의 값을 찾습니다. Omega_1 (E_1)} {\ partial E_1} \ right) _ {E_1 = E_1 ^ *} \ Omega_2 (E_2 ^ *) + \ Omega_1 (E_1 ^ *) \ left (\ frac {\ partial \ Omega_2 (E_2)} {\ partial E_2} \ right) _ {E_2 = E_2 ^ *} \ frac {\ partial E_2} {\ partial E_1} = 0 \ tag {1} $$ $$ \ frac {\ partial E_2} {\ partial E_1 } =-1 \ to $$ $$ \ beta_1 = \ left (\ frac {\ partial \ ln \ Omega_1 (E_1)} {\ partial E_1} \ right) _ {E_1 = E_1 ^ *} = \ left (\ frac {\ partial \ ln \ Omega_2 (E_2)} {\ partial E_2} \ right) _ {E_2 = E_2 ^ *} = \ beta_2 \ tag {2} $$

당연히 예상됩니다. 이 수량 $ \ beta_1 $ 및 $ \ beta_2 $는 시스템 온도와 관련이 있습니다. 열역학에서 우리는 $$ \ left (\ frac {\ partial S} {\ partial E} \ right) _ {N, V} = \ frac {1} {T} \ tag {3} $$ 비교 $ ( 2) $ 및 $ (3) $, $$ \ frac {\ partial S} {\ partial (\ ln \ Omega)} = k $$ 또는 $$ \ Delta S = k \ ln \ Omega $$ 여기서 $ k $는 상수입니다.

댓글

• 그러면 $ \ ln $는 임의적입니다.
• @jinawee 왜 임의적인가? ' t $ (1) $ 결과 $ \ ln $가 발생합니까?
• 잊으세요. Shannon에 대해 생각하고있었습니다. '의 엔트로피 : stats.stackexchange.com/a/87210/31711 .

Mustafa의 답변 은 로그 의존성에 대한 한 가지 중요한 이유를 제공합니다. 마이크로 스테이트는 곱하지만 “시스템의 외적 속성이 더해지기를 원합니다. 그래서 우리는 단순히 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 동형이 필요합니다. 유일한 연속적인 것은 “슬라이드 규칙 동형”일명 로그입니다. 기본 $ e $는 Mustafa의 답변 에서 볼 수 있듯이 임의적입니다. 임의의 긍정적 인 기본 (1을 제외하고)을 사용할 수 있습니다. 기수를 이동하려면 Boltzmann 상수 $ k_B $를 조정하여 곱셈 기저 변화 인자를 흡수해야합니다.

하지만 가능한 미시 상태의 수에 대한 정보 이론적 관점은 다음과 같은 다른 깊은 이유를 보여줍니다. Shannon Noiseless Coding Theorem의 증거 는 정보 엔트로피 (또는 로그)에 작업 의미를 제공합니다. 이는 최소 비트 수입니다. 특정 미시 상태를 고유하게 식별하기 위해 답변해야하는 “예-아니오”답변의 수는 모두 동일하다고 가정합니다. 가능한 모든 미시 상태가 사전 순으로 정렬되어 있다고 가정하고이를 데이터베이스에 “파일에”보관한다고 상상해보십시오. 이진 트리. 특정 미시 상태를 찾기 위해 이진 트리 아래로 작업하고 도중에 만들어야하는 분기 수 (p 검색 및 검색 시간에 비례 함)은 $ \ log_2 \ Omega $입니다.또는 직관적으로 엔트로피는 시스템의 거시적 속성이 주어진 특정 미시 상태를 설명하기 위해 작성해야하는 가장 짧은 책의 길이입니다. 그게 몇 가지 책입니다. 만약 우리가 1도 켈빈 (심 우주에서 우주 배경 마이크로파 복사보다 더 차가움)으로 시스템에 단 1 줄의 열을 추가한다면 a가 필요합니다. 2013 년 말에 전체 World Wide Web보다 더 큰 책 을 사용하여 시스템의 미시 상태를 설명합니다!

내가 말했듯이 $ \ log_2 $ 대신 $ \ log_e $를 다음과 같이 사용할 수 있습니다. 물리적 상수 ($ k_B $ 및 $ T $의 정의)에서 기본 요소의 곱셈 변화를 추적하는 한.

섹션 2 (주의 깊게 읽으십시오) 및이 문서의 부록 :

E. T. Jaynes, “Information Theory and Statistical Mechanics”.

또한 로그와 엔트로피 공식에 대한 확실한 동기를 부여합니다. 이는 모든 요소에 대한 고유 한 의존성입니다. 다음 속성 :

1. 미시 상태의 확률 $ p_i $의 연속 함수입니다.
2. 모든 미시 상태가 동일 할 가능성이 똑같 으면 다음과 같은 단조 증가 함수입니다. $ \ Omega $;
3. 미시 상태 집합을 임의의 하위 집합으로 임의로 분할 한 다음 이러한 하위 집합을 새로운 “상태 공간”의 단일 이벤트로 생각하면 새로운 이벤트 자체가 원래 상태 공간에서 계산 된 엔트로피 $ H_i $와 확률 $ p_i $를 갖고있는 경우 전체 상태 공간에 대한 엔트로피를 $ \ sum p_j \, H_j $로 계산하면 동일한 답을 얻을 수 있습니다. 엔트로피의 경우 미시 상태를 어떻게 분할해도 상관 없습니다.

생각해 보면 마지막 요점 (3)은 강력한 일반화입니다. e Mustafa s answer 에 표현 된 “곱셈이 덧셈이된다”아이디어.

엔트로피 는 고전 열역학에서 처음 충족되었으며

$$ \ mathrm dS = \ frac { \ delta Q} {T} $$, 여기서 $ Q $는 열역학 제 1 법칙

$$ \ Delta U = Q- W $$

및 $ T $는 온도입니다. $ W $ 시스템에서 수행 한 작업.

미시적 수준의 물질이 이산 적이라는 것이 실험적으로 확립되면, 즉 분자로 구성되어 물질의 통계적 거동이 고전적인 열역학이 나타나는 기본 틀이되었습니다.

첫 번째 법칙은 에너지 보존이며, 이는 마이크로 시스템의 앙상블에서도 엄격한 법입니다.

통계 역학에서 확립 입자의 평균 운동 에너지는 온도와 관련이 있습니다.

고전적인 엔트로피가 나타나고 통계 역학에서 파생 된 엔트로피로 식별되는 방식은 간단하지 않습니다.

통계적 정의는 시스템의 미세한 구성 요소의 통계적 거동을 분석하여 1870 년대 Ludwig Boltzmann에 의해 개발되었습니다. 볼츠만은 이러한 엔트로피 정의가 볼츠만 상수로 알려진 상수 내에서 열역학적 엔트로피와 동일하다는 것을 보여주었습니다. 요약하면 엔트로피의 열역학적 정의는 엔트로피의 실험적 정의를 제공하는 반면 엔트로피의 통계적 정의는 개념을 확장하여 그 성격에 대한 설명과 더 깊은 이해를 제공합니다.

이 문서 (예 : 증명 (방정식 42)은 통계 역학 엔트로피가 고전적인 열역학의 엔트로피로 식별된다는 것을 증명합니다. 로그 의존성은 등가 증명의 수학에서 비롯됩니다.