Bloch 구체는 아름답게 미니멀합니다.

일반적으로 큐 비트에는 4 개의 실제 매개 변수가 있습니다. $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ {i \ phi} | 1 \ rangle. $ 그러나 몇 가지 빠른 통찰력을 통해 $ a $ -vs- $ b $ 트레이드 오프는 정규화로 인해 자유도가 1입니다. $ a ^ 2 + b ^ 2 = 1 $ 그리고 좀 더 신중한 통찰에 따르면 QM에서 기대 값을 구성하는 방식에서 $ \ chi $ 또는 $ \ phi $ 자체이지만 차이점은 $ \ chi-\ phi $ , $ 2 \ pi $ -주기적입니다. (이 내용은 아래 주석에서 자세히 설명하지만 간략하게 설명합니다. QM은 평균 $ \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle $ 만 예측하고 전체 단계를 이동합니다. 따라서 일부 $ | \ psi \ rangle \ mapsto e ^ {i \ theta} | \ psi \ rangle $ 에 의한 파동 함수는 모든 예측에서 자동으로 취소됩니다.)

따라서 필요한 것에 대해 가장 추상적으로 생각한다면 $ a $ -vs를 나타내는 0에서 1까지의 선을 그립니다. – $ b $ 트레이드 오프 :이 두 주 중 하나에서 얼마입니까? 그런 다음 그 주위에 원을 그립니다. 위상차는 얼마입니까? 실린더가되는 것을 막는 것은 위상차가 $ a = 1 $ 또는 $ b = 1 일 때 문제가되지 않는다는 것입니다. $ , 따라서 원은 점으로 축소되어야합니다. Et voila , 당신은 구와 위상 적으로 동등한 무언가를 가지고 있습니다. 구에는 실험에 필요한 모든 정보가 포함되어 있습니다.

물리적이며 3D 공간에서 실제 구입니다.

이것이 더 충격적인 사실입니다. 위의 간단한 그림 만 주어지면 이것이 모두 무해한 수학이라고 생각하는 것을 용서받을 수 있습니다. 아니요! 사실 전형적인 큐비 트는 spin- $ \ frac 12 $ 시스템이며, Pauli 행렬은 시스템이 $ x $ , $ y $ 또는 $ z $ 축. 이것은 $ | \ uparrow \ rangle $ 로 $ | 0 \ rangle $ 을 식별하는 시스템입니다. $ | 1 \ rangle $ 와 $ | \ downarrow \ rangle $ , 위상차는 $ | {+ x} \ rangle = \ sqrt {\ frac 12}를 통해 $ + x $ -축 선택 | 0 \ rangle + \ sqrt {\ frac 12} | 1 \ rangle. $

QM 처리에서 공간의 직교 방향은 힐베르트 직교가 아닙니다. 이 시스템의 작동합니다. 힐베르트 직교 상태는 불일치합니다.이 상태에 있다면 확실히 그 상태가 아닙니다.하지만이 시스템은 총 크기가 $ \ sqrt {\ langle L ^ 2 \ rangle} = \ sqrt {3/4} \ hbar $ 인 스핀을 가지고 있습니다. 그러나 그 중 $ \ hbar / 2 $ 만이 “가장 뾰족한”방향을 가리 킵니다. 즉, 일종의 “링”에 분산되어야합니다. 그 방향으로. 따라서 $ + z $ -방향으로 측정하면 $ + x $ , $-x $ 방향의 절반. (여기에서 “sort-of”는 $ x $ -측정으로 후속 조치를 취하는 경우입니다.)

그러니 ” 스핀- $ \ frac12 $ 가 가장 많이 회전하는 방향은 무엇입니까? ” 이를 위해서는 Observable을 생성해야합니다. 예를 들어, $ + z $ -방향이 $ | \ uparrow 주에서 가장 많이 사용되는 경우 \ rangle $ 그러면 $ z $ -spin에 대한 관찰 가능 항목은 Pauli 행렬입니다. $ \ sigma_z = | \ 위쪽 화살표 \ rangle \ langle \ uparrow | -해당 주에서 | \ downarrow \ rangle \ langle \ downarrow |, $ $ + 1 $ , $ 힐베르트 수직 상태에서 -1 $ $ \ langle \ downarrow | \ uparrow \ rangle = 0. $ 마찬가지로 $ \ sigma_x = | \ uparrow \ rangle \ langle \ downarrow | + | \ downarrow \ rangle \ langle \ uparrow | $ 위에 정의 된 $ | {+ x} \ rangle $ 상태가 고유 벡터임을 알 수 있습니다. 고유 값이 +1이고 유사하게 $ | {-x} \ rangle \ propto | \ uparrow \ rangle-| \ downarrow \ rangle $ 이 있어야 $ \ langle {+ x} | {-x} \ rangle = 0, $ 및 $ \ sigma_x = | {+ x} \ rangle \ langle {+ x} | -| {-x} \ rangle \ langle {-x} |. $

그런 다음 $ | \ psi \ rangle =에 직교하는 상태 \ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle $ 은 $ | \ bar \ psi \ rangle = \ beta ^ * | 0 \ rangle-\ alpha ^입니다. * | 1 \ rangle, $ 따라서 해당 상태에서 +1 또는 반대 상태에서 -1 인 관찰 가능 항목은 다음과 같습니다. $$ \ begin {align} | \ psi \ rangle \ langle \ psi | -| \ bar \ psi \ rangle \ langle \ bar \ psi | & = \ begin {bmatrix} \ alpha \\\ beta \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ alpha ^ * & \ beta ^ * \ end {bmatrix}-\ begin {bmatrix} \ beta ^ * \\-\ alpha ^ * \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ beta & -\ alpha \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} | \ alpha | ^ 2-| \ beta | ^ 2 & 2 \ alpha \ beta ^ * \\ 2 \ alpha ^ * \ beta & | \ beta | ^ 2-| \ alpha | ^ 2 \ end {bmatrix} \ end {align} $$ $ v_i \ sigma_i $ 로 작성합니다. 여기서 $ \ sigma_i $ 은 다음과 같은 Pauli 행렬입니다. $$ v_z = | \ alpha | ^ 2-| \ beta | ^ 2, \\ v_x + i v_y = 2 \ alpha ^ * \ beta. $$ 이제 $ \ alpha = \ cos (\ theta / 2) $ 및 $ \ beta = \ sin (\ theta / 2) e ^ {i \ phi} $ 우리는 다음과 같은 것을 알아 냈습니다 : $$ \ begin {align} v_z & = \ cos ^ 2 (\ theta / 2 )-\ sin ^ 2 (\ theta / 2) & = & ~ \ cos \ theta, \\ v_x & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ cos (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi, \\ v_y & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ sin (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi. \ end {align} $$ 따라서 Bloch 처방은 단순히 점의 구면 좌표 인 $ (\ theta, \ phi) $ 를 사용합니다. 이러한 $ | \ psi \ rangle $ 이 “가장 많이 회전하는 방향”인 구체입니다.

순전히 이론적 인 것이 아니라 시각화에서 우리는 원형 큐비 트인 spin- $ \ frac 12 $ 시스템이 실제로 Bloch 구 좌표에 의해 주어진 방향으로 회전한다고 말할 수 있습니다! (적어도, 스핀 업 시스템이 회전하는 한.) 그것은 무자비한 물리적 입니다. 당신은 그것을 수학적 구석으로 흔들고 싶을 때“아니요, 실제 시스템에서는 실제 3D 공간 에서이 방향을 가리키며 저에게주의를 기울여야합니다.”

이 질문에 대한 답변

1. 예, N과 S는 공간적으로 평행하지만 Hilbert 공간에서는 직교합니다. 이 힐베르트 직교성은 시스템이 스핀 업 및 스핀 다운이 될 수 없음을 의미합니다.반대로 $ z $ 와 $ x $ 방향 사이에 힐베르트 직교성이 없다는 것은 $ z $ -스핀을 측정 할 때 $ x $ span에서 스핀의 0이 아닌 측정 값을 계속 가질 수 있습니다. > -direction은 이러한 시스템의 핵심 기능입니다. “직교”라는 두 가지 개념, 즉 물리적 공간과 힐베르트 공간에 대한 개념을 갖는 것은 실제로 약간 혼란 스럽지만보고있는 두 개의 다른 공간에서 비롯됩니다.

2. 각도가 물리적으로 매우 유용한 이유를 확인하는 한 가지 방법이 위에 나와 있습니다. 그러나 첫 번째 섹션에서 언급했듯이 구로 구성 공간을 설명하려는 순전히 수학적 연습으로 볼 수도 있습니다. 그러면 당연히 위상차로 극각을 갖게됩니다. $ 2 \ pi $ -주기적이므로 자연스러운 방위좌표입니다. 따라서 좌표가 0/1을 따라 놓이는 방식은 $ 0 $ 가 $ | 0에 매핑되는 극좌표여야합니다. \ rangle $ 및 $ \ pi $ 는 $ | 1 \ rangle $ 에 매핑됩니다. 이를 수행하는 확실한 방법은이 범위를 따라 1에서 0으로 매핑되는 $ \ cos (\ theta / 2) $ 를 $ | 0 \ rangle $ 주; $ \ cos ^ 2 + \ sin ^ 2 = 1 $ 이라는 사실은 $ | 1 \ rangle $ 상태는 일치시키기 위해 $ \ sin (\ theta / 2) $ 진폭을 선택해야합니다.

코멘트

• Bloch 구체에 대해 OP와 비슷한 혼란이 있습니다. “가 의미하는 바를 조금 설명해 주시겠습니까? 좀 더 세심한 통찰을 통해 QM에서 기대 값을 구성하는 방식에서 $ \ chi $ 및 $ \를 관찰 할 수 없음을 알 수 있습니다. phi $ 자체이지만 $ \ chi-\ phi $ 차이 만 있습니다. $ 2 \ pi $ -periodic “?
• @Moses : 물론입니다. QM의 모든 예측은 $ \ langle A \ rangle = \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle 형식의 기대 값입니다. $ $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^에 대해 계산 $ \ langle을 찾으려면 {i \ phi} | 1 \ rangle $ with $ A_ {ij} = \ langle i | \ hat A | j \ rangle $ (따라서 $ A_ {ij} = A_ {ji} ^ * $) A \ rangle = a ^ 2A_ {00} + b ^ 2A_ {11} + 2ab ~ \ text {Re} \ Big (A_ {10} e ^ {i (\ chi- \ phi)} \ Big). $ 아니요 따라서 기대 값은 $ \ phi $ 또는 $ \ chi $ 자체에 대한 모든 것을 드러내지 만 $ e ^ {i \ delta} $ 용어를 통해 잠재적으로 $ \ delta = \ phi- \ chi $ 만 나타냅니다. $ 2 \ pi $- $ x $에서 주기적입니다.
• 보다 일반적으로 파동 함수의 전역 단계는 관찰 할 수 없습니다. 이러한 기대 대괄호는 $ | \ psi ‘ \ rangle = e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle $ 상태의 기대치는 $$ \ langle A \ rangle_이어야 함을 나타냅니다. {\ psi ‘} = \ langle \ psi | e ^ {-i \ varphi} \ hat A e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle = e ^ {- i \ varphi} e ^ {i \ varphi} \ cdot \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle = 1 \ cdot \ langle A \ rangle _ {\ psi}. $$
• OP가 $ \ frac {\ theta} {2} $의 자연 스러움을 내면화하는 데 도움이 될 수 있습니다. 그것은 우리가 spin-$ \ frac {1} {2} $ 입자를 다루고 있다는 사실과 일치한다는 것을 지적합니다. 하프 스핀은 회전 생성기가 $ \ sigma $가 아니라 $ \ frac {\ sigma} {2} $가되도록합니다 (고유 값을 $ \ pm \ frac {\ hbar} {2} $로 유지하기 위해). 따라서 $ \ theta $의 물리적 회전에 대해 상태에 작용하는 변환은 $ e ^ {-i \ hbar \ frac {\ theta} {2} \ sigma} $가되어 $ \ frac의 회전으로 이어집니다. {\ theta} {2} $ for the state.
• 평면의 원이 아닌 3D 구가 필요한 이유는 무엇입니까? 큐 비트를 원자 또는 그 중첩의 가능한 두 값으로 상상한다면 … 방위각 ϕ의 물리적 의미는 ‘ 무엇입니까?

다음과 같은 간단한 방법으로 단위 구체의 표면에있는 점을 순수한 스핀 상태와 연결할 수 있습니다.

구의 점 $ (n_x, n_y, n_z) $는 연산자 $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $의 고유 벡터와 양의 고유 값을 가지며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 여기에는 모든 스핀 1/2 단일 입자 스핀 상태가 포함됩니다.

그리고 이것은 무작위 또는 시각화 또는 수학이 아닙니다. $ (n_x, n_y, n_z) $ 방향을 가리키는 자기장 비균질성을 가진 Stern-Gerlach 장치가있는 경우 $ n_x \ sigma_x에 고유 한 상태를 가질 때 특정 방향으로 해당 빔을 일관되게 편향시킵니다. + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $

하지만 이것은 매우 헷갈 리지 않습니까? 북극과 남극을 선택하면 두 주 모두 더 이상 직각이 아닌 동일한 선에 표시됩니다.

아무리 혼란 스럽지도 않습니다. 형상은 상태가 신뢰할 수있는 결과를 제공하는 실험실의 물리적 장치 방향과 관련이 있습니다.반대 방향의 장치도 신뢰할 수있는 결과를 제공합니다. 이것은 teonorthgonal 상태가 동일한 연산자에 고유 할 수있는 직교 상태에서 일반적입니다.

따라서 Bloch 구체의 다른 점은 다른 상태에 대해 “위”결과를 제공하는 다른 방향을 식별합니다. 3D 공간에서 측정 장치의 방향을 스핀 공간의 상태 형상과 혼동하지 마십시오.

어떻게 임의의 점을 선택할 수 있습니까? $ a $와 $ b $를 찾기 위해 구의 표면에 p $를 추가하고 $ 0,1 $ 상태로 분해 할 수 있습니까?

그 반대입니다. 어떤 상태 0과 다른 1을 어떻게 부르기로 결정 했습니까? 당신은 임의의 방향을 선택하고 그것을 z라고 부르고 자기장 비균질성이 그런 식으로 가리 키도록 장치의 방향을 정했습니다. 그것은 당신에게 위아래를주었습니다.

그러나 이제 우리는 모든 스핀 상태를 지정할 수 있습니다. 당신은 임의의 점 $ (n_x, n_y, n_z) $를 가지고 $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $의 고유 벡터를 양의 고유 값으로 찾습니다. $ \ left | s \ right \ rangle, $ 다음 $$ \ left | s \ right \ rangle = \ langle 0 \ left | s \ right \ rangle \ left | 0 \ right \ rangle + \ langle 1 \ left | s \ right \ rangle \ left | 1 \ right \ rangle $$ $ a $ 및 $ b $가 있습니다. 단, 전체 위상과 크기는 모르지만 단일 입자 스핀 상태에는 이러한 것 중 하나가 없습니다. .

이것은 Bloch 구를 시스템의 유효한 기반으로 간주해서는 안되며 단지 시각화 보조 도구 일뿐임을 의미합니까?

아니요, 실험실의 기하학을 힐베르트 공간의 기하학과 혼동해서는 안된다는 의미입니다. 물리학은 실험 과학이므로 가장 확실합니다. 관련이 있지만 동일하지 않습니다.

벡터를 고유 공간에 투영하려는 경우 레이블을 서로 투영하지 않습니다. 스핀 상태와 다른 스핀 상태를 가질 수 있으며 하나를 다른쪽으로 향한 Stern-Gerlach 장치를 통해 배치하면 공간 자유도가 분할되어 해당 방향에서 위로있는 하나와 그에서 공간적으로 아래에있는 하나로 분리됩니다. 방향과 스핀 상태는 문자 그대로 공간적으로 올라간 광선에서 위로 향하고 내려간 광선에서 아래로 향하도록 변경됩니다. 따라서 한 입자의 스핀은 자체 위치와 얽혀 있습니다.

힐베르트 투영의 크기는 편향되고 분할 된 공간 부분의 크기를 알려줍니다. 그러나 문자 그대로 필요하지는 않습니다. 그런 규칙을 기억해야합니다. Stern-Gerlach 장치에 대한 Schrödinger 방정식을 적어두면 빔이 분할되고 올바른 크기 부분으로 분리되고 스핀은 두 개의 편광으로 정렬되며 사용자가 지시하지 않아도 발생합니다.

그래서 그러면 스핀 상태가 명확 해집니다. 기회를 주면 안정적으로 갈 방향을 알려줍니다. 그리고 다른 방향의 Stern-Gerlach에 넣으면 해당 방향에서 허용하는 두 방향 중 하나로 강제로 이동하고 분할되어 둘 다로 이동합니다. 각 부분의 크기를 얻으려면 Schrödinger 방정식을 발전 시키거나 연산자 $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $의 고유 벡터를 계산하고 다른 벡터에 직교하는 양의 고유 값의 고유 벡터로 점을 찍을 수 있습니다.

예, 더 쉬운 방법이 있으며 더 많은 것을 얻을 수 있습니다. 하지만 다른 지오메트리가 보이길 바랍니다.

$ cos \ theta / 2 $ 및 $ e ^ {i \ phi를 얻는 방법을 보여줄 수 있습니까? } $ 용어?

저는 Pauli 스핀 연산자를 사용했습니다. 기준을 선택하려면 행렬로 작성할 수 있습니다 (연산자는 벡터 공간의 함수입니다. 에서 행렬은 기준을 선택한 후 연산자를 나타냅니다. 연산자는 존재하며 나중에 선택할 기준에 관계없이 동일합니다. $$ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z = \ left (\ begin {matrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x + in_y & -n_z \ end {matrix} \ right). $$

그리고 양의 고유 값을 갖는 고유 벡터는 $ \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right), $ $ n_z = 1 $이 아니면 $ \ left (\ begin {matrix} 1 \\ 0 \ end {matrix} \ right). $ 다음의 경우를 다루겠습니다. 먼저 $ n_z = 1 $,이 경우 $ a = 1 $ 및 $ b = 0 $ 및 $ \ theta = 0 $이므로 $ a = \ cos (\ theta / 2) $, $ b = e ^ {i \ phi} \ sin (\ theta / 2) $ all work out.

고유 벡터를 단위 벡터로 작성하려면 $ \ frac {1} {\ sqrt {2-2n_z}} \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right). $ 첫 번째 좌표가 실수이고 양수가되도록 위상을 조정하려면 $ \ frac { 1} {\ sqrt {2-2n_z} \ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} \ left (\ begin {matrix} n_x ^ 2 + n_y ^ 2 \\ (n_x + in_y) (1-n_z) \ end {matrix} \ right). $

나머지는 삼각법입니다. 예 : $ \ frac {n_x + in_y} {\ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} = e ^ {i \ phi }. $ 따라서 $ \ cos ( \ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} $ 및 $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1-n_z} { 2}}.$ 후자는 삼각 ID $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {2}}. $

전자는 $$입니다. \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2 + n_z ^ 2-n_z ^ 2} {2-2n_z}} $ $ $$ = \ sqrt {\ frac {1-n_z ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {(1-n_z) (1 + n_z)} {2-2n_z}} $$ $$ = \ sqrt {\ frac {1 + n_z} {2}} = \ sqrt {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {2}} = \ cos (\ theta / 2). $$

댓글

• 평면의 원이 아닌 3D 구가 필요한 이유는 무엇입니까? 큐 비트를 원자 또는 그 중첩의 가능한 두 값으로 상상한다면 … 방위각 ϕ의 물리적 의미는 ‘ 무엇입니까?

A. 2 개 상태 시스템

상태가 시공간 좌표와 독립적 인 2 개 상태 시스템을 사용합니다. 이 경우 시스템은 새로운 자유도 를 갖습니다. 고전적인 예는 회전 각운동량이 $ \ : \ frac12 \ hbar \ : $ 인 입자입니다.

두 상태가 기본 상태 \ begin {equation} \ vert u \ rangle = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {up state} \ ,, \ quad \ vert d \ rangle = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {down state} \ tag {01} \ label {01} \ end {equation} up 및 down 상태.

시스템 상태는 상태 벡터 \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi \ vert u \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta \ vert d \ rangle \ quad \ text {where} \ : \ : \ : \ xi, \ eta \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {and} \ : \ : \ : \ vert \ xi \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta \ vert ^ {2} = 1 \ tag {02} \ label {02} \ end {equation} 복소수 $ \ : \ xi, \ eta \ : $ 는 확률 진폭과 음이 아닌 실수입니다. $ \ : \ vert \ xi \ vert ^ { 2}, \ vert \ eta \ vert ^ {2} \ : $ $ \ : \ vert u \ rangle, \ vert d 상태의 시스템이 될 확률 \ rangle \ : $ .

시스템 상태의 힐베르트 공간은 여러면에서 복잡한 공간 (의 단위 구)과 동일합니다. $ \ : \ mathbb {C} ^ {2} $ .

시스템의 관찰 가능 항목은 $ \ : 2 \로 표시됩니다. times2 \ : $ hermitian 행렬 \ begin {equation} A = \ begin {bmatrix} a_3 a_1 \! \ boldsymbol {-} \! ia_2 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ a_1 \! \ boldsymbol {+} \! ia_2 & a_4 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad \ text {with} \ : \ : \ : \ left (a_1, a_2, a_3, a_4 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {4} \ tag {03} \ label {03} \ end {equation} 따라서 $ \ : 2 \ times2의 선형 공간 \ : $ Hermitian 행렬은 여러면에서 $ \ : \ mathbb {R} ^ {4} $ . $ \ : \ mathbb {R} ^ {4} \ : $ 의 일반적인 기저에서 우리는이 행렬 공간의 기저를 구성합니다. \ begin {equation} E_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \ : \ : \ : E_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b} } \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \ : \ : \ : E_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b }} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad , \ : \ : \ : E_4 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} { b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ v 팬텀 {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {04} \ label {04} \ end {equation}

이제 기본 상태가 $ \ : \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \ : $ 방정식 \ eqref {01}의 고유 값 $ \ : \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \ : $ 관찰 가능 항목의 경우이 관찰 가능 항목은 행렬로 표현됩니다
\ begin {equation} \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b} } \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {05} \ label {05} \ end {equation} \ eqref {04}에 포함되지 않습니다. 그러나 기본 \ eqref {04} 대신 다음과 같은 선형 조합을 사용할 수 있습니다. \ begin {align} E “_1 \! = \! E_1 \! = \! & \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac { a} {b}} \\ 1 & \! \!\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad \ qquad \ quad \, E “_2 \! = \! E_2 \! = \! \ 시작 {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ nonumber \\ E “_3 \! = \! \ left ( E_3 \!-\! E_4 \ right) \! = \! & \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad E “_4 \! = \! \ left (E_3 + E_4 \ right) \! = \! \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {06} \ label {06} \ end {align} 및 기호 변경 및 배열

\ begin {equation} I = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom { \ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \ : \ : \ : \ sigma_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \ : \ : \ : \ sigma_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \ : \ : \ : \ sigma_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {07} \ label {07} \ end {equation} 여기서 $ \ : \ boldsymbol {\ sigma } = \ left (\ sigma_1, \ sigma_2, \ sigma_3 \ right) \ : $ Pauli 행렬 .

이제 방정식 \ eqref {01}의 기본 상태 $ \ : \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \ : $ $ \ : \ sigma_3 \ : $ 의 고유 상태이므로 아래 첨자 $ \ : “로 표현해야합니다. 3 “\ : $ \ begin {equation} \ vert u_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \ : \ : 1 \ : \ : \ vphantom {\ dfrac { a} {b}} \\ \ : \ : 0 \ : \ : \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ ,, \ quad \ vert d_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \ : \ : 0 \ : \ : \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \ : \ : 1 \ : \ : \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {08} \ label {08} \ end {equation} 확률 진폭에 대해 수행해야합니다. $ \ : \ xi, \ eta \ : $ 또한 \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ quad \ text {where} \ : \ : \ : \ xi_3, \ eta_3 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {and} \ : \ : \ : \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {09} \ label { 09} \ end {equation} 그 이유는 힐베르트 공간의 기본 상태로 고유 상태 $ \ : \ vert u_1 \ rangle, $ \ : \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \ : $ 고유 값의 \ vert d_1 \ rangle \ : $ span class = “math-container”> $ \ : \ sigma_1 \ : $ \ begin {equation} \ vert u_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ begin {bmatrix} \ : \ : 1 \ : \ : \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \ : \ : 1 \ : \ : \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \ : \ : 1 \ : \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -1 \ : \, \ vphantom { \ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {10} \ label {10} \ end {equation} 그래서 \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ ve rt d_1 \ rangle \ quad \ text {where} \ : \ : \ : \ xi_1, \ eta_1 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {and} \ : \ : \ : \ vert \ xi_1 \ vert ^ { 2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {11} \ label {11} \ end {equation} 또는 관련 $ \ : \ sigma_2 \ : $ \ begin {equation} \ vert u_2 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin { bmatrix} \ : \ : 1 \ : \ : \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \ : \ : i \ : \ : \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix } = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_2 \ rangle = \ frac { \ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \ : \ : 1 \ : \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -i \ : \, \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {12} \ label {12} \ end {equation} 그래서 \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle \ quad \ text {where} \ : \ : \ : \ xi_2, \ eta_2 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {and} \ : \ : \ : \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {13} \ label {13} \ end {equation} 고유 상태 $ \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle, \ vert u_2 \ rangle, \ vert d_2 \ rangle $ 은 그림 -04에 개략적으로 표시됩니다.

이제 \ begin {align} \ xi_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ right) \ tag {14a} \ label {14a} \\ \ eta_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} \ eta_3 \ right) \ tag {14b} \ label {14b} \ end {align} 그래서 \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag { 15a} \ label {15a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {15b} \ label {15b} \ end {align} 또한 \ begin {align} \ xi_2 & = \ tfrac {\ sqr t {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} i \ eta_3 \ right) \ tag {16a} \ label {16a} \\ \ eta_2 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} i \ eta_3 \ right) \ tag {16b} \ label {16b} \ end {align} 그래서 \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17a} \ label {17a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17b} \ label {17b} \ end {align} 방정식에서 \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} by $ \ : z ^ {\ boldsymbol {*} } \ : $ 우리는 복소수 $ \ : z \ : $ 와 의 켤레 복소수를 나타냅니다. $ \ : \ mathrm {Re} \ left (z \ right), \ mathrm {Im} \ left (z \ right) \ : $ $ \ : z $ .

$ \ : \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \ 이후 : $ 설정 (그림 -01 참조) \ begin {align} \ xi_3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ alpha_3} \ : \ :, \ qquad 0 \ le \ omega_3 \ le \ frac {\ pi} {2} \ tag {18a} \ label {18a} \\ \ eta_3 & = \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ beta_3} \ tag {18b} \ label {18b} \\ \ theta_3 & = 2 \ omega_3 = \ text {$ x_3- $ 축에 대한 극각} \ : \ :, \ qquad 0 \ le \ theta_3 \ le \ pi \ tag {18c} \ label {18c} \ end {align} 그래서 \ begin {align} \ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ { i \ alpha_3} \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ beta_3} = \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ cdot \ sin \ left (\ dfrac { \ theta_3} {2} \ right) \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ left (\ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 \ right)} = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ tag {19a} \ label {19a} \\ \ phi_3 & = \ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 = \ text {$ x_3- $ axis에 대한 방위각} \ : \ :, \ qquad 0 \ le \ phi_3 \ le 2 \ pi \ tag { 19b} \ label {19b} \ end {align} 이러한 정의에 따라 \ begin {align} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Re} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {- } i \ phi_3} \ right) = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 = \ rho_3 \ cos \ phi_3 \ tag {20a} \ label {20a} \\ \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Im} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ right) = \ boldsymbol {-} \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 = \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 \ tag {20b} \ label {20b} \\ \ rho_3 & = \ vert \ xi_3 \ vert \ cdot \ vert \ eta_3 \ vert = \ cos \ omega_3 \ sin \ omega_3 = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ tag {20c} \ label {20c} \ end {align} 및 방정식 \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b}는 다음과 같은 확률을 산출합니다. \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21a} \ label {21a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re } \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21b} \ label {21b} \ end {align} \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2 } & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22a} \ label {22a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ le ft (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22b} \ label {22b} \ end {align}

상태 $ \ vert \ psi \ rangle $ 은 \ begin {equation} \ vert \로 표현 될 수 있습니다. psi \ rangle \ boldsymbol {=} e ^ {i \ alpha_3} \ left [\ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert d_3 \ rangle \ right] \ tag {23} \ label {23} \ end {equation} 또는 단계 무시 인수 $ e ^ {i \ alpha_3} $ \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right ) \ vert d_3 \ rangle \ tag {24} \ label {24} \ end {equation}

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B. On Sphere-In Ball

그림 -01에서 \ eqref {18a}, \ eqref {18b} 및 \ eqref {18c} 정의의 세부 사항을 볼 수 있습니다. 이것은 그림 -03의 $ \ : \ rm {K_3} \ Xi $ 원 평면의 한 지점에서 본 평면도입니다. 이 그림 -01은 모든 첨자가 $ \ : “3”\ : $ 가 $ \로 대체되는 경우 유효합니다. : “1”\ : $ 또는 $ \ : “2”$ . 다양한 포인트의 정의와 의미는 다음과 같습니다.

그림 -02에서 방정식 \ eqref {21a}, \ eqref {21b} 및 \ eqref {22a}, \ eqref {22b}의 기하학을 볼 수 있습니다. $ \ : x_3-$ 축의 긍정 점에서 본 평면도입니다.

여기에서 Figure-03의 3d보기를보십시오.

Figure-03에서는 3 차원 공간에 지름이 1 인 구가 있습니다. $ \ : \ mathbb {R} ^ {3} \ : $ 물리적 공간과 동일하지 않습니다. 구에서 $ \ : \ Xi \ : $ 점은 \ begin {equation} \ psi 시스템의 상태를 나타냅니다. = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ vert d_1 \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ tag {25} \ label {25} \ end {equation} 이제 $ \ : \ jmath = 1,2 용 , 3 \ : $ \ begin {align} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = 포인트 \ : \ : on \ : \ : + 1/2 \ : \ : of \ : \ : x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \!-\! axis \ : \ : representing \ : \ : the \ : \ : \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \ : \ : 고유 상태 \ tag {26.01} \ label {26.01} \\ \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = point \ : \ : on \ : \ :-1/2 \ : \ : of \ : \ : x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \!-\! axis \ : \ : representing \ : \ : the \ : \ : \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \ : \ : 고유 상태 \ tag {26.02} \ label {26.02} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = 프로젝트 \ : \ : of \ : \ : the \ : \ : state \ : \ : point \ : \ : \ Xi \ : \ : on \ : \ : x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \!-\! 축 \ tag {26.03} \ label {26.03} \\ \ Xi \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = magnitude \ : \ : of \ : \ : 확률 \ : \ : 진폭 \ : \ : of \ : \ : \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \ : \ : 고유 상태 \ tag { 26.04} \ label {26.04} \\ \ Xi \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert = 크기 \ : \ : of \ : \ : 확률 \ : \ : 진폭 \ : \ : of \ : \ : \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \ : \ : 고유 상태 \ tag {26.05} \ label {26.05} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath }} \ vert ^ {2} = 확률 \ : \ : / \ : \ : \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \ : \ : 고유 상태 \ tag {26.06} \ label {26.06} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert ^ { 2} = 확률 \ : \ : of \ : \ : \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \ : \ : 고유 상태 \ tag {26.07} \ label {26.07} \\ \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = 극좌표 \ : 각도 \ : with \ : respect \ : to \ : the \ : x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \!-\ ! axis \ tag {26.08} \ label {26.08} \\ \ phi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = 방위각 \ : 각도 \ : with \ : respect \ : to \ : the \ : x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \!-\! axis \ 태그 {26.09} \ label {26.09} \\ \ omega _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = half \ : the \ : polar \ : angle \ : \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ tag {26.10} \ label {26.10} \\ \ rm K_ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ Xi & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert \ cdot \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = \ rho _ {\ boldsymbol {\ jmath}} = 반경 \ : of \ : the \ : circle, \ : intersection \ : of \ : the \ : sphere \ nonumber \\ & \ hphantom {=} \ : \ : with \ : the \ : plane \ : through \ : point \ : \ Xi \ : normal \ : to \ : the \ : x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \!-\ ! axis \ tag {26.11} \ label {26.11} \ end {align}

댓글

• 언제나 멋진 모습입니다.
• 나는 ‘ (05)가 ‘ (04)에 포함되지 않고 ‘라고 말할 때 이해하지 못합니다. $ E_3 $? 또한 ‘ $ E_3-E_4 $가 어떻게 ‘ 모두 0과 -2가 없는지 이해하지 못합니다.
• @ gary69 : PSE에 오신 것을 환영합니다. 관심을 가져 주셔서 감사합니다. 방정식 $ \ eqref {04} $의 오타였습니다. 제가 올바른 것을 수정했습니다. 나중에 평판을 얻으면 내 답변의 편집 기록을 볼 수있을 때이 오타가 2020 년 8 월 25 일의 7 번째 편집에서 만들어 졌다는 것을 알 수 있습니다.

@Timaeus의 훌륭한 답변을 더 기억에 남는 형식으로 간소화하는 단순한 확장 주석입니다.

상태 벡터
$$ | \ psi \ rangle = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta / 2 \\ e ^ {i \ phi} \ sin \ theta / 2 \ end {pmatrix} $$ 은 투영 연산자 $$ \ bbox [yellow] {| \ psi \ rangle \ langle \ psi | = \ begin {pmatrix} \ cos ^ 2 \ theta / 2 & \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {-i \ phi} \\ \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {i \ phi} & \ sin ^ 2 \ theta / 2 \ end {pmatrix} = \ rho} ~.$$ $ | \ psi \ rangle $ 의 전반적인 재위상에서 매니페스트 불변성을 확인합니다.

이 멱 등성 헤르 미 테인 밀도 행렬의 일반 원칙 “표현 도 분명히 $입니다. $ \ rho = \ frac {1} {2} (1 \! \! 1 + \ hat n \ cdot \ vec \ sigma), $$ with $ \ 모자 n = (\ sin \ theta \ cos \ phi, \; \ sin \ theta \ sin \ phi, \; \ cos \ theta) ^ T. $

즉, $ \ hat z $ 축은 전체 (인접) 회전 각도만큼 $ \ hat n $ 축으로 회전합니다. , 반각 (스파이 너, 기본) 연산자 표현식을 지정합니다.

광자 스핀에 대해 생각해보세요.

이보다 구체적인 케이스에 대해 생각하는 것은 제 머릿속에 유용한 사진을 얻는 데 도움이되었습니다. 명심할 가치가있는 광학 지향 아날로그 : Poincaré Sphere .

광자 스핀은 Frobenius가 언급 한 2 상태 양자 시스템 은 Bloch 구형 모델입니다.

광자 스핀도 쉽습니다. 실험적으로 이해 / 시각화 / 조작합니다.

물리적 편광기 필터

먼저 가능한 가장 구체적인 것은 편광판 필터입니다.

생각할 수있는 편광판 필터에는 두 가지 유형이 있습니다.

• 선형 편광판, -90에서 90 사이의 모든 각도에서.

  예 : 다음은 90도 각도입니다.

  

  45도 각도 :

  

  0도에 하나 :

  

  소스

  Wikipedia는 이러한 필터를 만드는 몇 가지 방법을 설명하고 있으며 위의 사진은 폴라 리오 드 필터 로, 태양 안경과 사진에 사용되므로 쉽게 사용할 수 있습니다. .

  양자 역학 관점에서 90도 및 0도 방향은 동일한 측정을 수행합니다. 유일한 차이점은 하나는 광자를 통과시키고 다른 하나는이를 차단한다는 것입니다. 광자의 선형 수직 편광 수준을 결정합니다. ue.

  모든 측정 값이 Hermitian 행렬 에 해당하므로 단일 행렬로 0과 90을 모두 나타낼 수 있습니다.

  $$ M_0 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \ end {bmatrix} $$

  45도에 대한 행렬은 다음과 같습니다.

  $ $ M_ + = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

• 원형 편광판, Wikipedia가 설명하는대로 일반적으로 1/4 파장 판 + 선형 편광판 :

  

  출처 .

  해당 매트릭스는 다음과 같습니다.

  $$ M_i = \ 시작 {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

위의 행렬은 소위 Pauli 행렬 입니다.

흥미로운 상태 벡터

이제 Bloch 구에서 가능한 6 개의 흥미로운 광자 상태를 나타내는 6 개의 극에 이름을 지정하겠습니다. , 필터와 어떻게 상호 작용하는지 이해해보세요.

출처 .

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ vert 0 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear 90 °} \\ & \ vert 1 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text { 선형 0 °} \\ & \ vert + \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear 45 °} \\ & \ vert-\ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\-1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear -45 °} \\ & \ vert i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix } 1 \\ i \ end {bmatrix} & & = \ text {circular clockwise} \\ & \ vert -i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\-i \ end {bmatrix} & & = \ text {circular counter-clockwise} \\ \ end {alignat *} $$

가장 먼저 주목할 점은 다음과 같습니다. 쌍은 모두 염기입니다.

• $ \ vert 0 \ rangle $ 및 $ \ vert 1 \ rangle $
• $ \ v ert + \ rangle $ 및 $ \ vert-\ rangle $
• $ \ vert i \ rangle $ 및 $ \ vert -i \ rangle $

예를 들어 다음을 나타낼 수 있습니다.

$$ \ begin {alignat *} {3} & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & + \ vert-\ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & &-\ vert-\ rangle) \\ & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert i \ rangle & & -i \ vert -i \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (-i \ vert i \ rangle & & + i \ vert -i \ rangle) \ end {alignat *} $$

그리고 다음 사항도 관찰합니다.

• $ \ vert 0 \ rangle $ 및 $ \ vert 1 \ rangle $ 은 $ M_0 $
• $ \ vert + \ rangle $ 및 $ \ vert-\ rangle $ 은 $ M _ + $

의 고유 벡터입니다.

• $ \ vert i \ rangle $ 및 $ \ vert -i \ rangle $ 는 $의 고유 벡터입니다. M_i $

양자 역학의 측정 결과가 예측에 비례하는 확률을 가진 고유 값의 고유 벡터라는 것을 기억하면 다음과 같은 샘플 확률을 얻습니다. 이 실험 :

• $ \ vert 0 \ rangle $ 상태 :

  • 선형 편광자 90 ° : 100 % 통과

  • 선형 편광판 0 ° : 0 % 통과

  • 선형 편광판 45 ° : 45 % 통과, 이유 :

    $$ \ vert 0 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle + \ vert-\ rangle) $$

  • 선형 편광판 -45 ° : 45 % 통과

  • 원형 편광판 : 45 % 통과.이는 선형 상태 0이 두 개의 원형 편광으로 분해 될 수 있기 때문입니다.

    $$ \ vert 1 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2 }} (-i \ vert i \ rangle + i \ vert -i \ rangle) $$

• $ \ vert 1 \ rangle $ :
  • 선형 90 ° : 0 % 통과
  • 선형 0 ° : 100 % 통과
  • 선형 45 ° : 45 % 통과
  • 선형 -45 ° : 45 % 통과
  • 원형 : 45 % 통과
• $ \ vert + \ rangle $ :
  • 선형 90 ° : 45 % 통과
  • 선형 0 ° : 45 % 통과
  • 선형 45 ° : 100 % 통과
  • 선형 -45 ° : 0 % 통과
  • 원형 편광판 : 45 % 통과
• $ \ vert i \ rangle $ :
  • 선형 90 ° : 45 % 통과
  • 선형 0 ° : 45 % 통과
  • 선형 45 ° : 45 % 통과
  • 선형 -45 ° : 45 % 통과
  • 원형 시계 방향 : 100 % 통과
  • 시계 반대 방향 원형 : 0 % 통과

상대 단계

기억해야 할 중요한 준 고전적 직관은 다음과 같습니다.

순환 편광 == 2 개의 직교 선형 편광 90도 위상차 :

소스 .

예를 들어 :

$$ \ vert i \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end { bmatrix} + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $$

$ i로 인해 90도 상대적 위상이 있습니다. $ $ \ vert 0 \ rangle $ 및 $ \ frac {i} {\ sqrt 간의 상대적 위상차 {2}} \ vert 1 \ rangle $ .

그러나 대각선에서는 $ \ vert 0 \ rangle $ 및 $ \ vert 1 \ rangle $ :

$$ \ vert + \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} + \ frac {i} { \ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {1} {\ sqrt {2} } \ vert 1 \ rangle $$

상대 위상은 0입니다.

둘러보기 구

Bloch 구에서 상태를 나타내는 일반적인 방법 중 하나는 $ \ theta $ 및 $ \ phi $ 각도 :

출처 .

구는 유클리드가 아니므로이를 시각화하는 좋은 방법은 주변을 이해하기 쉬운 경로를 걷는 것입니다. 다음 이미지에서 두 가지 경로를 수행합니다.

• 0에서 시작, +, 1,-통과, 0으로 돌아 가기
• 0에서 시작, i 통과 , 1, -i, 0으로 돌아 가기

출처 .

+에서 i,-, -i까지 걷기, +로 돌아 가기 연습으로 남겨집니다. 원은 비스듬한 일식이되고 점점 더 얇아져 45도 선이됩니다.

이는 각도를 명확하게 해석합니다.

• $ \ theta $ : 크기가 클수록 $ \ vert 1 \ rangle $ 는 $ \ vert 0 \ rangle $
• $ \ phi $ 와 (과) 비교됩니다. : $ \ vert 0 \ rangle $ 과 $ \ vert 1 \ rangle $ 사이의 상대적 단계. 이 상대 위상은 수직 또는 수평 편광판으로 감지 할 수 없습니다.

주에서 실수 4 개에서 2 개로 어떻게 줄일 수 있습니까? ?

Bloch 구체에서는 두 개의 실제 매개 변수 (각도 $ \ theta)만으로 상태를 나타낼 수 있습니다. $ 및 $ \ phi $

그러나보다 명시적인 전체 상태 벡터에는 2 개의 복소수가있는 것처럼 보입니다. 따라서 4 개의 실수 :

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ begin {bmatrix} a + ib \\ c + id \ end {bmatrix} \\ \ end {alignat *} $$

숫자 중 하나를 제거해야하는 이유 : 총 확률은 다음과 같습니다. 1이어야합니다.

$$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 $$

그 시점에서 우리는 이미 3 구 로 제한되어 있습니다.

두 번째는 더 흥미 롭습니다. 상태의 글로벌 단계는 어떤 실험에서도 감지 할 수 없기 때문에 다른 매개 변수를 제거 할 수 있습니다. 우리는 그것을 임의로 선택할 수 있습니다.

글로벌 단계는 허수입니다. 총 확률을 유지하려면 해당 숫자의 계수가 1이어야합니다. 측정 결과 :

$$ k_0 \ vert 0 \ rangle + k_1 \ vert 0 \ rangle $$ 때문에 실험에서는 전역 위상 변화를 감지 할 수 없습니다.

모든 필터는 측정과 동일합니다.

$$ \ text {phase} \ times k_0 \ vert 0 \ rangle + \ text {phase} \ times k_1 \ vert 0 \ rangle $$

왜냐하면 $ | \ text {phase} | = 1 $ .

그러므로 자연스러운 선택은 $ \ vert 0 \ rangle의 승수가되도록 상태를 회전하는 전역 단계를 선택하는 것입니다. $ 는 실수가됩니다. 즉, $ b = 0 $ 을 설정합니다.

예를 들어 허수를 곱하면 더 일반적인 상태를

$$ \ begin {alignat *} {2} &

$$ \ begin {alignat *} {2} & \ begin {bmatrix} i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times -i & & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} -i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times i & & = \ begin {bmatrix } 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} 0 \\-1 \ end {bmatrix} \ times -1 & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} i \\ i \ end {bmatrix}) \ times -i & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix } 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ vert + \ rangle \\ \ end {alignat *} $$

파울리 행렬이 정확히 3 개인 이유는 무엇입니까?

나는 이것을 설명하는 깊고 명확한 수학적 이유가 있다고 생각합니다.이 이유는 https://physics.stackexchange.com/a/415228/31891 및 https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states 그리고 Bloch 구가 왜 존재하는지에 대한 질문의 핵심입니다. 사용했지만 완전히 이해하지는 못했습니다.

그러나 더 실용적인 용어로 말하자면 세 가지 측정 장치는 cribed는 유일한 세 가지 가능성 (전역 회전까지)이므로 하나를 통과하면 다른 두 가지에 대한 모든 정보를 잃게됩니다 (다른 두 실험에서 50 % 확률).

따라서 이들은 직교합니다. 특정 의미에서이 속성이 유지되도록 해당 실험 세트에 추가 할 수있는 다른 실험이 없기 때문에 최대입니다.

Quark로 플레이

https://algassert.com/quirk

이것은 또 다른 가치있는 제안입니다. 모든 것이 이해 될 때까지 이미지를 클릭하십시오.