중앙 기둥을 가로 지르는 연속 빔이 있습니다 (올바르게 그려 졌는지 확실하지 않음).
첫 번째 다이어그램은 굽힘 모멘트, 두 번째는 축력, 세 번째는 변위입니다.
자, 경계 조건은 무엇입니까? $ R_A $, $ R_B $ 및 $ R_C $?
내가 추론 할 수있는 것으로 보아
$ w (0) = w (L) = w ( 2L) = 0 $ (3 개의 지지점에서의 처짐에 해당)
$ M (0) = M (2L) = 0 $ 또는 $ \ frac {d ^ 2w (0)} {dx ^ 2} = \ frac {d ^ 2w (2L)} {dx ^ 2} = 0 $ (순간에 해당).
하지만 여전히 일부 경계 조건이 누락 된 것 같습니다. 연속에 대한 완전한 변위 / 힘 다이어그램을 유도합니다. ous 빔. 내가 놓친 경계 조건이 있습니까?
답변
글쎄요 중간 지지대에서 슬로프의 호환성을 놓치고 있습니다. :
$$ \ frac {dw (L ^-)} {dx} = \ frac {dw (L ^ +)} {dx} $$
대칭 지오메트리 & 하중, 가운데 지지대에서 보의 기울기는 0이됩니다.
굽힘 모멘트는 x = L에서 파생되지 않으므로 두 반쪽의 편향을 개별적으로 유도하고 호환성을 통해 “결합”해야합니다.
업데이트 : 빔 편향 공식의 유도 :
Euler-Bernoulli 빔 방정식 (상수 EI 가정)에서 시작하여 외부에서 x 가져 오기 중앙을 향한 지원 : $$ q = EI \ frac {dw ^ 4} {dx ^ 4} $$
4 번 통합 :
$$ EI \ frac {d ^ 3 w} {dx ^ 3} = qx + A $$ $$ EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = q \ frac {x ^ 2} {2} + Ax + B $$ $$ EI \ frac {dw} {dx} = q \ frac {x ^ 3} {6} + A \ frac {x ^ 2} {2} + Bx + C $$ $$ EI w = q \ frac {x ^ 4} {24} + A \ frac {x ^ 3} {6} + B \ frac {x ^ 2} {2} + Cx + D $$
문제는 대칭 적이며 경계 조건은 다음과 같습니다. $$ w (0) = w (L) = 0 $$ $$ \ frac {dw (L)} {dx} = 0 $$ $$ \ frac {d ^ 2 w (0)} {dx ^ 2} = 0 $$
그러므로 즉시 확인할 수 있습니다. $ B = D = 0 $
이제 두 개의 미지수 (A, C)가있는 두 개의 방정식이 있습니다. 풀면 다음을 찾을 수 있습니다. $$ A =-\ frac {3 L q} {8} $$ $$ C = \ frac {L ^ 3 q} {48} $$
이제 모두 대체 할 수 있습니다. 상수를 w에 대한 방정식으로 되돌립니다. 결과 단순화 :
$$ w = \ frac {qx} {48EI} (Lx) ^ 2 (L + 2 x) $$
참조 된 결과와 동일 여기 (좌표계의 중심에 x = 0이 있음). 또한 이것이 propped 캔틸레버 와 정확히 동일한 결과임을 확인하십시오. 이것은 대칭 때문입니다. 즉, 중앙의 빔 기울기가 0 (캔틸레버 지지대와 동일한 경계 조건)입니다.
굽힘 모멘트 방정식으로 대체 할 수도 있습니다.
$$ M = EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = \ frac {1} {8} qx (4 x-3 L) $$
댓글
- a) 경사 조건의 호환성은 연속 빔을 두 개의 스팬 빔으로 모델링 할 수있는 경우에만 유용합니다. 이 경우 어떻게 도움이됩니까? b) 굽힘 모멘트가 $ L $에서 불연속적인 이유는 무엇입니까? 제 질문의 모멘트 다이어그램은 그것이 연속적임을 분명히 보여줍니다.
- 약간 정교하게 할 수 있고 경계 조건이 연속 빔의 변위 / 굽힘 모멘트 다이어그램으로 이어지는 방법을 보여줄 수 있다면 감사 할 것입니다. .
- @Graviton, a) 파생물로 질문을 업데이트하겠습니다. b) 당신 말이 맞아요, 저는 제 수학 용어에 약간 느슨해졌습니다. 내 말은 굽힘 모멘트는 x = L에서 미분이 없다는 것입니다.