여기서는 Box-Muller 메서드가 한 쌍의 독립 표준 가우스 랜덤 변수 . 하지만 왜 우리가 행렬식을 사용하는지 이해가 안 돼요. 두 개의 독립 변수가있을 때 관절 밀도 함수는 두 밀도 함수의 곱일뿐입니다. 누군가 여기에서 행렬식의 의미를 설명해 주시겠습니까?
댓글
- X에서 Y로 이동하는 데 관련된 " 변수 변경 "이 있으므로 위에서 볼 수있는 결정 인자 인 변환의 야 코비 행렬을 곱합니다. 예를 들어 여기에서 제안 8을 참조하십시오. math.uah.edu/stat/dist/Transformations.html
- 알렉스에게 답변 해 주셔서 감사합니다.
답변
$ Z = \ sqrt {-2 \ ln (X_1)} $, 우리는
\ begin {align} \ mathbb {P} \ left [Z \ leq z \ right] = \ mathbb { P} \ left [-2 \ ln (X_1) \ leq z ^ 2 \ right] = \ mathbb {P} \ left [\ ln (X_ 1) \ geq-\ frac {z ^ 2} {2} \ right] = 1-\ mathbb {P} \ biggl [X_1 < \ exp \ left (-\ frac {z ^ 2} {2} \ right) \ biggr] \, \ end {align} $ X_1 $는 $ [0, 1] $에서 균일하게 정의되므로 $$ \ mathbb {P} [Z \ leq z] = 1-\ int_0 ^ {\ exp (-z ^ 2 / 2)} \, dt = 1-\ exp \ left (-\ frac {z ^ 2} {2} \ right). $$ 실제로 $$ f_Z (z) = \ begin {cases} \ exp \ left (-\ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \\ 0 \ qquad \ qquad, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ let $ W = 2 \ pi X_2 $. 따라서 $ X_2 $는 $ [0,1] $에 균일하게 배포되므로 $$ f_W (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi}, \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \, \, \, \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ $ X_1 $와 $ X_2 $는 독립적이므로 $ Z $와 $ W $는 독립적이어야합니다. $$ f_ {Z, W} (z, w) = f_ {Z} (z) f_ {W} (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (-\ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \ quad \ text {and} \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \ qquad \ qquad \ quad \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ 함수 정의 $ q : (0, \ infty) \ times ( 0,2 \ pi] \에서 \ mathbb {R} ^ 2 $로 $ q (z, w) = (z \ cos (w), z \ sin (w)) $ 따라서 $$ \ mathbb {P} _ {Y_1, Y_2} = \ mathbb {P} _ {Z, W} \ circ q ^ {-1} $$ 즉, $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {f_ { Z, W} (q ^ {-1} (y_1, y_2))} {| \ det (q “(q ^ {-1} (y_1, y_2))) |} $$ 쉽게 보여줄 수 있습니다 $$ z = \ sqrt {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} $$ 이후 $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (-\ frac {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} {2} \ right) $$
답변
$ Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2 = -2 \ log {X_2} $ 및 $ Y_2 \ over Y_1 $ $ = \ tan (2 \ pi X_1) $ .
따라서 $ X_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {\ arctan {Y_2 \ over Y_1}} $ 및 $ X_2 = \ exp {-(Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ over 2} $ .
$ dX_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {{-Y_2dY_1 + Y_1dY_2} \ over {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2}} $ .
마찬가지로, $ dX_2 = {\ exp {-{Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2} \ over 2} (Y_1 dY_1 + Y_2dY_2)} $ .
따라서 Jacobian $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ over {Y_1, Y_2}}) $ = $ 1 \ over {2 \ pi} $ $ \ exp {-(Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ over 2 } $ .
PDF의 경우 $ f_ {X_1, X_2} (x_1, x_2) $ $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ over {Y_1, Y_2}}) = $ $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) $ ,
$ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ over 2} $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ 2} $ 이상
$ Y_1, Y_2 $ 가 독립적 인 가우시안 랜덤 변수임을 보여줍니다.
Commen ts
- $ X_1 $의 범위는 (0,1)이어야하지만 $ X_1 = \ frac {1} {2 \ pi} \ arctan {\ frac {Y_2 } {Y_1}} $는 $ (-\ frac {1} {4}, \ frac {1} {4}) $