미끄러지는 동안 볼링 공을 굴리기

미끄러지는 동안 볼링 공이 약간의 초기 속도로 움직이고있는 경우, 움직이기 시작하기 전에 정지 된 상태에서 얼마나 멀리 움직일까요? 마찰?

$ \ ddot {x} = \ mu_ {kf} g $

또한 공의 운동 마찰로 인한 토크도 있습니다 (R = 공의 반경 )

$$ mg \ mu_ {kf} R = \ frac {2mR ^ 2} {5} \ ddot {\ theta} \ implies \ ddot {\ theta} = \ frac {5g \ mu_ { kf}} {2R} $$

미끄럽지 않고 구르는 조건은 $ v = R \ omega $이며 공이지면에 닿을 때부터 횡단 속도는 감소하고 각속도는 a로 증가합니다. 그들이 같은 지점. 내가 시도하는 모든 것이 작동하지 않는 것 같기 때문에이 시점에서 무엇을해야할지 모르겠습니다.

$$ \ ddot {x} = v \ frac {dv} {dx} = \ mu_ {kf} g \ implies v ^ 2 = (2 \ mu_ {kf} g) x + v_o ^ 2 $$

나는이 미분 방정식으로 무엇을해야할지 잘 모르겠습니다. $ \ theta $를 사용하여 운동의 선형 방정식에서 사용할 수 있습니다. 시간을 사용해 보았지만 그것이 어떻게 도움이 될지 모르겠고 실제 각도 자체는 쓸모가 없습니다.

$$ \ ddot {\ theta} = \ frac {5g \ mu_ {kf}} {2R} $$ 미끄러 져서 $ x = R \ theta $라고 말할 수 없습니다.

답변

공이 처음지면에 닿을 때 초기 속도가 $ v_0 $라고 가정합니다. 그리고 초기 각속도 $ \ omega_0 = 0 $.

당신은 공에 일정한 토크를 가하고 있습니다. 정수 방정식은 통합하기가 매우 쉽습니다.

$$ \ dot {\ theta} = \ omega = \ frac {5g \ mu} {2R} t + \ omega_0 $$

변위의 경우, 뉴턴의 법칙 $ \ ddot {x} =-\ mu g $로 직접 이동하십시오.이 법칙은 또한 일정한 힘을 가지며 한 번 쉽게 통합 할 수 있습니다.

$$ \ dot {x} = v = v_0-\ mu gt $$

여기에서 $ v = \ omega R $ 조건을 사용하여 공이 얼마나 오래 걸리는지 확인할 수 있습니다. 미끄러지지 않고 구르기 시작하고 그 시간이되면 변위를 한 번 더 통합하여

$$ x = v_0 t-\ frac {1} {2} \ mu gt ^ 2, $$

이전에 계산 한 시간을 입력하여 이동 한 거리를 알려줍니다.