“ 사물 수 ”라는 용어는 무엇을 의미합니까?

이 책은 매우 오래된 책입니다. 2nd ed 1903; 1st ed 1890.

각주 페이지 131에서 볼 수 있듯이 Cantor와 Dedekind는 “주제 문헌에 대한 흥미로운 공헌”으로 언급됩니다 …

따라서 할 수 없습니다. 정의없이 처음에 도입 된 개념 이 다음 처리를 “해명”하기 위해 원시적으로 사용되어 현대 (iepost-1930) 집합 이론 개념으로 정확하게 번역 될 수 있습니다. p>

다음과 같이 생각합니다.

그룹 은 제한된 개체 모음을 의미해야합니다. (사물)

및 그 :

사물 수 그룹의 “분명히”(토론에서) 현대 카디널리티 ( 유한 컬렉션으로 제한됨)와 동등하며 다음의 “속성”이라고합니다. 컬렉션 (그룹).

내 해석은 사물 이 “개별적”이거나 구체적이거나 추상적 (있는 경우)이라는 것입니다. 물론 주머니 속의 엿보 기나 소대의 병사처럼 구체적인 물체로 생각하기 쉽습니다.

소대는 병사들의 그룹 과 입니다. 소대에있는> 사물 수 는 소대를 구성하는 개별 군인의 수입니다.

이 해석은 추가 의 후속 정의와 관련하여 의미가 있습니다 (CoolHandLouis 참조). “s answer).

여기에서 그룹 은 수집 또는 집계의”일반적인 “의미를 가지며 집단 이론 .

우리가 개별 사물의 “특성”에서 “추상”할 때 (즉, 공의 덩어리에 대한 색상, 크기, 모양과 같은 개별 속성을 형성) 컬렉션의 개체 순서에서 ( “현대” 집합 개념과 동일합니다. {A, B, C}는 {C, B, A}와 “동일”집합입니다. ) 우리가 얻은 것은 그룹에있는 사물의 “수”(컬렉션 구성원 수)입니다.

Remembe r 집합 A의 기수 를 나타내는 Cantor의 원래 표기법은 A보다 “이중 오버 바”였습니다.

순서 외에 모든 구조가 제거 된 A 표시 위에 단일 오버 바로 주석이 달린 세트에 대한 기호, 따라서 세트의 주문 유형 을 나타냅니다. A 위의 이중 막대는 세트에서 주문을 제거하는 것을 나타내므로 세트의 기본 번호를 나타냅니다.

댓글

• 일반 영어에서 사물 수 라는 용어는 무엇을 의미합니까?
• @Anupam -죄송합니다. 저는 ‘ 원어민 영어를 구사하지 않습니다. ‘ 캠브리지 사전 온라인 에서 검색했습니다. 직접적인 의역이 없습니다. 가장 유사한 위치 I ‘ 발견 된 것은 ” 특정 유형의 여러 가지입니다. 여러 가지 이유로 가지 않기로 결정했습니다. ” Fine ‘의 위치를 기본 ” 기술 용어 “.
• ” 그룹 “이 ” set “. 세트는 추상 객체 의 모음 인 반면 ” 그룹 “는 추상이 아닌 사물 의 모음입니다. 집합 이론은 내 질문과 관련이 없습니다.
• 저는이 작품을 읽지 않았지만 ‘ 수학 지식이 더 많은 사람으로서 ” 그룹은 유한 한 개체 (사물) 모음을 의미해야합니다. “는 저를 짜증나게합니다.
• @JamesKingsbery-하지만 ” 그룹 “은 그룹 이론 에서와 같이 의도 된 것이 아닙니다 . 의미는 ” colelction ” 또는 ” aggregate ” 개별 개체.

서문

이 질문에 대한 답변 :

• 다른 답변

가장 먼저 떠오르는 것은 Edmund Husserl의 산술 철학 입니다. 그는 숫자에 대한 명백한 어려움을 좀 더 자세히 설명합니다. 숫자를 세는 것은 둘 다 달라야한다는 것입니다 (따라서 둘 이상이있을 수 있음). 그리고 똑같습니다 (당신은 어떤 것을 세고 있습니다.) 제가 “사과 세 개”라고 말하면 그들은 한 의미에서 모두 동일하고 (그들은 “사과입니다) 다른 의미에서 모두 다릅니다 (그 중 세 개가 있습니다. 관계)

동시에 “다중성”과 “통합”이 있습니다. 이것은 “어떤면에서 똑같고 어떤면에서 다르다”는 질문으로 이어집니다.

이 책에서 가장 기억 나는 것은 차이점과 구별에 대한 논의입니다. 이야기 할 가치가 있습니다. 대조 할 수있는 두 가지 용어는 “다르다”, “구별하다”입니다.

• 두 가지 를 구별하려면 판단
• 다르다는 것은 사물을 구별하는 데 필요하지만 충분하지 않은 조건입니다.

수학에서 서로 다른 모든 것은 구별되며 서로 다른 사물의 총체 성을 고려합니다. 이것은 까다로운 부분 인 인간의 판단을 피합니다.

이 판단은 종종 우리에게 쉽습니다. 우리는 많은 것을 별개의 것으로 인식하고 세계가 사물로 “결정화”된다는 것이 분명합니다. 이러한 인식이 항상 그런 것은 아닙니다. 사물을 구별하는 데 필요한 모든 것은 대부분의 일상적인 상황에서 충분하며, 우리가 공간에서 분리 된 사물의 외양을 넘어서 다른 판단 방식을 사용해야하는 경우에 한합니다.

사물을 구별하는 능력은 정신 물리학 과학 분야의 주요 주제입니다. 1890 년대를지나 오늘날까지 계속되고 있습니다. 이 인간의 능력에 대한 많은 철학적 글이있었습니다. 사실 저는 이것이 철학의 주요 질문 이라고 생각합니다 (다른 사람들은 동의하지 않을 수도 있습니다).

질문에 직접 답하려면 : 수학은 인간의 판단을 배제하므로 공식 시스템을 구축 할 때 판단이 내려진 후에 시작해야합니다. 객체가 모두 서로 구별 될 수 있다고 가정하여 수행합니다. 수학에서 객체를 구별 할 수없는 경우 동일한 것으로 간주됩니다. 실제 사물에는 해당되지 않으며 다를 수 있지만 구별 할 수는 없습니다.

참고 : 산술이 인간의 판단에서 어떻게 추상화되는지에 대한 자세한 내용은 Husserl의 나머지 책에서 다룹니다. 저는 여기에서 그것을 명확히 표현할 수 없습니다. 최근 과학 연구 “numerousity”에 비추어 볼 때 문제가있을 수 있습니다. 확실합니다.

댓글

• ” 일대 다의 문제 “은 플라톤으로 거슬러 올라갑니다. 세 번째 사람의 주장 을 참조하세요.하지만 숫자가 무엇이며 ” 인적 프로세스 “. 수학은 개념을 사용하여 숫자 를 원시적으로 나타내거나 집합 이론을 통해 ” 추출 ” 시도 할 수 있습니다. 대응 (기수) 및 순서 (서수). 하지만 여전히 문제가 있습니다. 숫자 란 무엇이며 왜 ” 외부 현실에 ” 적용 할 수 있습니까?
• @MauroALLEGRANZA Yup, 그것은 ‘ 예전, 그것이 ‘ 주요 질문입니다;) Husserl의 나머지 ‘의 책은 추상적 인 산술과 세계의 관계에 관한 것이기 때문에 제가 ‘ 다른 어떤 것보다 그것을 언급했습니다. ‘ 1) 상당히 기술적 (주된 이유) 2) 아마도 틀렸을 가능성이 있고 3) 설명 할 필요가 없기 때문에 자세히 설명하지 않았습니다. ” 미스터 파인이이 용어를 모든 고유 한 요소를 가진 그룹에만 한정 한 이유. ”
• I ‘ 나는 Husserl이 틀렸다는 말이 아닙니다 … 내 개인적인 이해는 Fine (1890!)은 ” 플라톤 주의자 iv id를 피하는 숫자의 개념을 ” 명명 “하려고했습니다. = “2b22048b23”>

머리말

이 질문에 대해 두 가지 답변을 제공했습니다.

• 이 답변 가 더 나은 대답이며 Fine 씨가 순진한 집합 이론을 언급하고 있음을 시사합니다. 또한 여기에는 엄격한 시도가 없으며 Fine 씨는 단순히 관심 주제로 이동합니다. 이 답변이 제 기본 답변입니다.

• 제공했습니다. 다른 답변 in OP가 {A, A, A}를 포함하는 것으로 생각할 것을 고집 했기 때문에이 동일한 스레드 “세 가지 요소”와 현상금을 게시했습니다. 그렇지 않으면 설득력있는 OP가 전혀 없었는데 동의하고 현상금을받는 것은 어떨까요? 🙂

  두 답변은 서로 다른 장소에서 공리, 정의 및 규칙을 변경하여 동일한 수학적 현상을 설명 할 수있는 방법을 보여주기 때문에 실제로 서로를 보완합니다. 당신은 TOE MAY TOE MAY TOE라고 말합니다. 밝혀진 바와 같이 다른 대답 에는 귀여운 “수학적 증명”이 포함되어 있습니다. Mr. Fine thought {A, A, A}는 세 가지 다른 요소를 나타냅니다. 내가 그러한 제안을 어떻게 옹호했는지 보는 것은 흥미로울 것입니다.

1. The Book is referencing Naive Set Theory

다음 Google 도서 링크는 참조하기가 더 쉽습니다. The Number-system of Algebra : Treated Theoretically and Historically “ (Henry Burchard Fine, Copyright 1890, Published 1907). 다음은 1907 년 책에서 발췌 한 내용입니다.

I. 포지티브 정수의 추가 및 곱셈을 규제하는 포지티브 정수 및 법률

1 숫자. 우리는 그들이 그룹을 형성하는 특정한 고유 한 것들을 말합니다 (그룹이란 일대일 통신으로 가져올 수없는 유한 그룹을 의미합니다. 2) 그 자체의 일부) 우리가 그것들을 집합 적으로 우리의 관심의 하나의 대상으로 만들 때. 분리를 파괴하지 마십시오 이러한 변화는 사물의 특성이나 그룹 내 배열의 변화 일 수 있습니다. 다시 배열의 변경은 사물의 순서 또는 더 작은 그룹에서 서로 연관되는 방식의 변경 일 수 있습니다.

따라서 다음과 같이 말할 수 있습니다. 속의 사물의 수 개별 사물의 그룹은 그룹 내에서 배열 될 수있는 순서와 더 작은 그룹에서 서로 연관 될 수있는 방식의 이러한 사물의 특성과 무관합니다.

2 숫자 평등. 첫 번째 그룹의 각 항목에 대해 두 번째 그룹에 하나씩 있고 두 번째 그룹에있는 각 항목에 대해 상호 적으로 두 그룹의 항목 수가 동일합니다. 처음에는. 따라서 두 그룹 A, B, C의 문자 수; D, E, F는 같습니다 … [Mr. Fine은 일대일 통신에 대해 계속 이야기합니다.-CoolHandLouis] …

이 책이 집합 이론의 기초를 설명하고 있음을 초급 수준의 “집합 이론 101″수업을 듣는 사람에게 분명히 알립니다. “그룹”에 대한 Fine의 언급은 현재 “집합”으로 알려진 것과 “고유 한 것”을 설명 할 때 “요소”에 대한 정확하고 정확한 언급이라고 자신있게 말할 수 있습니다. 전체 게시물은 실제로 “Naive Set Theory”를 언급하지만이 질문 / 답변에는 중요하지 않습니다.)

Fine 씨가 Set Theory를 언급하고 그의 책은 1907 년에 작성되었습니다. , 첫 번째 제안은 미스터 파인에 대해 완전히 잊어 버리고 초보”집합 이론 “과 같은 주제에 대한 짧은 동영상도 살펴보세요.

Mr. Fine”의 각주 “그룹 별로는 유한 그룹을 의미합니다. 자신의 어떤 부분과도 일대일 대응으로 가져올 수없는 것 “은 그가”순진한) 세트 이론에 대해 이야기하고있는 매우 강력한 증거입니다. 그는 분명히 무한 세트를 피하고 있으며 세트 이론의 역사를 기반으로합니다. 폴을 위해 있었을지도 모른다 itical 이유. 그가 커리어의 그 시점에서 논쟁을 벌일 이유는 없으며, 특히이 책에서 안전하게 플레이 할 모든 이유가 있습니다.

그러나 그것은 메타-답입니다. “진짜 답변 :

2. 질문에 대한 답변-소개

먼저이 게시물의 나머지 언어를 21 세기로 표준화하겠습니다. 세트는 고유 한 요소의 모음입니다. 따라서 “사물”또는 “그룹”에 대해 더 이상 이야기하지 않겠습니다. 구체적이거나 추상적이거나 실제적이거나 상상적인 것입니다.

이러한 용어의 이름을 변경해도 어떤 식 으로든 발생하는 문제를 변경합니다. 새로운 단어는 Fine 씨가 말한 것과 정확히 똑같은 것을 나타냅니다. 그것은 모두 정의의 문제입니다. 저는 우리가 그 차이를 보여주기 위해 모든 것을 정의 할 것입니다. 혼란을 야기하고 있습니다.

3. “명확한”및 “계수”를 바라 보는 방법

먼저, 당신이 옳습니다. / belief-system / definitions of “distinct”, “collection”, “set of things”and “group”, 그리고 하나가 그것들을 다루는 방법, 당신은 “결론” ng “”당신이 옳다 “. 그리고 나도 어떤 수학자도 이런 의미에서 당신의 “올바름”에 반대 할 수 없습니다. 당신의 정의와 사고 방식에 따르면 당신은 절대적으로 옳습니다. 그러나 그것은 시작일 뿐이며 혼란을 해결하지 못합니다.

당신이 “올바른”시스템을 구성 / 발명합시다. (우리는 “그룹”과 “사물”을 말할 수 있지만 저는 “세트”로 표준화하고 있습니다. 사용 된 단어는 우리가 정의하는 한 어떤 차이도 만들지 않습니다.)

원본 포스터에 따른 비표준 세트 이론 규칙

• 세트는 요소 모음입니다.
• 각 요소는 하나 이상의 기호 (영숫자)로 표시됩니다.
• 세트의 크기는 총 요소 수입니다.
• OP의 고유 한 정의 : 각 요소가 다른 위치에 나타나면 “고유 한”것으로 간주되므로 {A , A}는 서로 다른 위치 (위치 1과 위치 2)에 있기 때문에 두 개의 별개 요소를 포함합니다.

질문 : {A, A, A}에있는 요소의 수는 Ori의 비표준 규칙 위 ginal 포스터? 답변 : 3.

4. Math Set Theory (Mr. Fine “s Book)가”고유 “와”계수 “를 정의하는 방법

이제 표준 수학적 정의에서 이것을 더 고려해 봅시다.

표준 수학 집합 이론 규칙

• 집합은 고유 한 요소 모음
• 각 요소는 하나 이상의 기호로 표시됩니다.
• 세트의 크기는 총 요소 수입니다.
• 고유의 이론 정의 설정 : 각 요소는 다른 모든 요소와 다른 것으로 판단 될 수있는 경우 “고유 한”것으로 간주됩니다. 문자와 단어로 표현할 때 유일한 문제는 요소의 이름이 다른지 여부입니다. 서면 수학에서 구별 = 다른 이름.

이 답변의 목적 상 동일한 이름이 구별되지 않고 동일한 것을 나타냅니다. 그래서 {A, A}는 {인도, 인도}라고 말하는 것과 같습니다. 두 나라가 아니라 한 나라 만 언급하는 것입니다. 같은 나라를 두 번 언급하는 것입니다. 그래서 카운트는 무엇입니까? 한 국가 또는 두 번 언급 되었습니까? 집합 이론에서는 전자입니다.

“하지만 왜?” 물어볼 수 있습니다. 어떤면에서 이것은 완전히 임의적이라고 생각할 수 있습니다. “정의에 의한 것입니다.”(그러나 그것은 정당한 이유가 있습니다. 세트 이론의 다른 많은 것들이 잘 작동하도록 만들지 만,이 논의를 넘어선 것입니다.) 그래서 당신은 그것을 받아 들여야합니다. , “당신의 정의가 옳다는 것을 받아 들여야합니다.”와 같습니다.

질문 : {프랑스, 프랑스, 프랑스, 프랑스, 인도, 인도, 인도, 브라질, Brazil}? 답변 : 3은 {프랑스, 인도, 브라질}이라는 세 곳을 참조하기 때문입니다.

5. 주머니 속의 동전

이러한 이유와 단순성을 위해 집합 이론에 다른 규칙을 추가하기 만하면됩니다.

• 세트에서 중복은 허용되지 않습니다.

왜? 세트는 일종의 “물건의 가방”(구체적 또는 추상적)과 같습니다. 예를 들어 월요일에 왼쪽 주머니에 동전 4 개가 있다고 가정 해 보겠습니다. 우리가 그들이 무엇인지 모른다고합시다. 따라서 C1, C2, C3, C4로 이름을 지정합니다.

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = {C1, C2, C3, C4}

이 아이디어를 고려하면 이것을 {C1, C1, C1, C2, C3, C4}라고 부르는 것은 의미가 없습니다. 첫 번째 동전을 세 번 참조하는 이유는 무엇입니까? 이미 주머니에 있습니다. 한 번만 참조하면됩니다. 이제 동전에 몇 가지 속성을 할당 해 보겠습니다.

• C1 = Type = Penny; FaceValue = 0.01; 날짜 = 1999; 무게 = 2.4993399494g; 조건 = 민트
• C2 = 유형 = 페니; FaceValue = 0.01; 날짜 = 1999; 무게 = 2.4990044384g; 상태 = 양호
• C3 = 유형 = 니클; FaceValue = 0.05; 날짜 = 2002; 무게 = 5.0002292833g; 상태 = 매우 좋음
• C4 = 유형 = Nickle; FaceValue = 0.05; 날짜 = 2003; 무게 = 5.0010022229g; Condition = Very Good

이제 두 개가 동전이라는 것을 알았으므로 주머니에있는 동전 세트는 여전히 동일합니다.

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = { C1, C2, C3, C4}

하지만 이제 주머니에 얼마나 많은 (고유 한) 동전 유형이 있는지 물어볼 수 있습니다.

• Monday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

화요일에 C2, C3, C4 동전을 오른쪽 주머니로 옮깁니다. 수요일에 주머니에 뭐가 들어 있습니까?

• Wednesday_InLeftPocket_AllCoins = {C1}

• Wednesday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny}

• Wednesday_InRightPocket_AllCoins = {C2, C3, C4}

• Wednesday_InRightPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

댓글

• 유형 토큰 Fine ‘ 책의 논리적 정확성이 의심 스럽습니다. ” group $ {} ^ 1 $ “에 제공된 각주와 관련된 새 질문을 구성하고 있습니다.

• 모두를 기다리십시오 ‘ 제발 …. 잠시만 기다려주십시오. 또 다른 질문이 아닙니다. 답변자에게 내 답변과 우려 사항에 응답 할 시간을주십시오. ” 그룹 ” Fine ‘의 책은 정확히 입니다. 현대 수학의 집합. ‘이 문제를 다른 질문으로 옮기면 완전히 다른 접선으로 넘어갑니다.
• ” 그룹 ” ‘의 책은 현대 수학의 세트가 아닙니다. 이번에는 제가 맞습니다.
• 알겠습니다. 그것에 대한 당신의 증거입니다. 이 답변에 많은 시간을 쏟았으니 잠시만 기다려주세요.
• 제 개인적인 견해는 답변자의 무료 서비스를 제공하는 질문 질문자는 모든 답변을 찬성해야한다는 것입니다. 정답이 아니더라도 ‘ 가치를 제공합니다. ‘ ” 답을 찾는 과정에 기여해 주셔서 감사합니다. ” 마찬가지로 질문에 대답하는 사람은 누구나 해당 질문에 찬성 투표를해야한다고 생각합니다. 확실히 그들이 대답하는데 시간을 들였다면 그것은 어떤 가치가있을 것입니다. 투표에 관대하십시오. 그들은 감사 / 가치의 무료 추상 토큰입니다. 다른 사람들이 더 엄격한 장점에 대해 찬성 / 반표하도록하세요. 귀하의 선택은 ‘이지만 이러한 전문성에 대해 반대 투표하지 않습니다. ‘

Q1 : $ A $와 $ A $는 구별되지 않으므로 $ A $와 $ B $는 구별됩니다 (당신이 “$ A $를 형성하는 첫 번째 잉크 얼룩”과 “$ A $를 형성하는 두 번째 잉크 얼룩”을 구별하지 않는 한, 그것은 멘션 멘션 멘션 멘션 멘션 ). em> 특정 문자 (잉크 덩어리)를 언급하는 데 사용되는 구체적인 문자 (잉크 덩어리) $ A $는 의도와 달리 해당 잉크 덩어리와 자동으로 다릅니다. 이 모든 경우에 우리는 $ A $의 “아이디어”에 대해 이야기합니다. 즉, 텍스트에서 “$ A $”의 모든 인스턴스는 동일한 객체를 참조하며, 그 자체는 텍스트 외부에서 생각해야합니다 (첫 번째 $ A $에 대해 이야기 할 때 “$ A $”를 사용할 수 있습니다.)이 의미에서만 $ A = A $ (종이의 구체적인 잉크 얼룩은 위치가 다르기 때문에 서로 다릅니다)와 두 개의 $ A $ “$ A, B, A $”의 s는 구별이 부족합니다. 따라서 귀하의 그룹은 $ A, B $ (또는 원하는 경우 $ B, A $), 즉 번호가있는 그룹과 동일합니다. $ 2 $입니다.

Q2 : 그것들은 여전히 객체와 동일하지 않습니다. 예 : 첫 번째 옷을 입고 두 번째 옷을 캐비닛에 넣고 세 번째 옷은 뜨거운 다림질을 할 수 있습니다. 실제로 입고있는 셔츠와 동일한 셔츠를 뜨겁게 다림질하고 있었다면 확실히 알아 차릴 것입니다. 셔츠는 “색상”속성으로 구분할 수 없지만 (예를 들어 “크기”속성에 의해 이전에 이미 구분할 수 없었던 것처럼) 여전히 속성 “공간적 위치”로 구분할 수 있습니다. 흥미롭게도 이것은 우리가 오늘의 셔츠와 어제의 셔츠를 식별하는 방법에 어려움을 겪는 문제를 남깁니다. “구별 할 수있는 것”과 “동일한 것”이 무엇을 의미하는지 꽤 오랫동안 생각해야합니다.

Q3 : 요소의 구별 (동일한 색상의 셔츠를 허용 할 수 있음)이 필수적입니다. 다시는 같은 물건을 세고 싶지 않기 때문입니다 (그렇게하면 주머니에 동전 하나만 든 부자가 될 것입니다). 완전히 (?) 다른 접근 방식은 “동등성”(즉, bijection의 존재)에서 “숫자”를 집합의 등가 클래스로 정의하는 것입니다 (그리고 Fine “의”그룹 “은 오늘날 우리가”집합 “이라고 부르는 것으로 보입니다). 이런 식으로 2 또는 Two-ness의 개념은 모든 세트 $ X $의 클래스에 해당합니다 (또는 실제로는). 따라서 특정 세트 (우리가 부르는 것)에 대해 $ X $ 형식이 존재합니다. ) $ \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \} \} $와 같은 두 가지 요소. (적절한) 클래스에 대한 공포가 있다면, 그러한 동등 클래스 각각에 특별한 “간단한”세트가 포함되어 있음을 알 수 있습니다. 서수 (적어도 유한 한 경우, 일반적으로 선택 공리의 가정하에)

댓글

• 무엇을 의미합니까? 물건 수 ? 1 분기에 그룹 G : {A, A, B}에 2 개의 사물이 있다고 말하는 이유, 그룹 G에는 3 개의 사물이 있기 때문에 3 개가 있어야합니다. , 그룹 G의 두 가지조차도 동일하지만 존재하므로 영형. 수학에서 일상 생활과 다르게 사물의 수라는 용어를 사용합니까? 계산의 기본 개념은 그룹의 사물의 수를 계산하는 동안 그룹의 다른 사물을 구별하는 데 신경 쓰지 않습니다. 왜 수학에서 우리는 no라는 용어에 대해 이런 유형의 비정상적인 정의를했습니다. .
• 선생님, 제 질문을 좀 더 직접적으로 수정했습니다. 사물 수 가 무엇을 의미하는지 적어도 설명해 주시겠습니까?

일반적인 영어의 “Number of things”: 용어만으로는 하나의 답을 제공하기에 충분한 정보가 없습니다.

문제는 “things”라는 용어입니다. 일반적으로 이것은 몇 가지를 의미합니다. 배열은 이미 정의되어 있습니다. 예를 들어 같은 색의 항목 수 또는 상자에있는 계란 수 또는 전화 번호에있는 숫자 “3”이 있습니다.

그렇지 않으면 “숫자”의 의미 of things “는 여러 가지입니다. 이는”컨테이너에있는 모든 종류 / 크기의 객체 수이며, 상상하려는 모든 방법으로 분류됩니다.

댓글

• {A, A, A} 그룹이 있다고 가정합니다. 이 그룹에 몇 개의 문자가 있는지 물어 봅니다. 답은 무엇입니까?
• 유형 및 토큰
• @MauroALLEGRANZA를 참조하십시오. 주어진 것은 아주 흥미 롭습니다. ” 유형 ” = ” 추상 개체 및 ” 토큰 ” = ” 콘크리트 “. 책 Me.Fine at the outsaet에서 다음과 같이 말합니다. ” 우리는 그들이 그룹을 형성하는 특정 사물 에 대해 말합니다. ” ” 사물 ” = ” 콘크리트 ” = ” 토큰 ” 맞나요?
• @Mauro, 죄송합니다. ” thing “이라는 단어는 iv id =에서 ‘의 의미를 파생하지 않습니다. “2b22048b23”>

Fine의 정의를 다음과 비교해보십시오. 토론, RL Goodstein, 재귀 적 수 이론 (1957) :

“수학적 실체의 본질은 무엇입니까?”라는 질문은 2,000 년 넘게 관심을 가진 사상가들이 대답하기 매우 어려웠던 질문입니다. 숫자는 wc가 그것을 정의하려고 할 때 지혜의 의지를 찾기 어렵습니다.

숫자가 무엇인지 말하기 어려운 원인 중 하나는 우리가 지적 할 수있는 것이 없다는 것입니다. 숫자의 정의를 찾을 때 우리 주변의 세계에서 숫자 7은 7 개 개체의 특정 컬렉션이 아닙니다. 그럴 경우 다른 컬렉션에는 7 개의 구성원이 있다고 할 수 없습니다. 7 인 속성을 특정 컬렉션의 속성으로 식별하면 7 인 속성은 다른 컬렉션이 가질 수없는 속성이기 때문입니다. 숫자 7을 정의하기위한보다 합리적인 시도는 7이라는 속성이 7 개 개체의 모든 컬렉션이 공통적으로 갖는 속성이라고 말하는 것입니다. 그러나이 정의의 어려움은 7 개 개체의 모든 컬렉션이 실제로 공통적으로 갖는 것이 무엇인지 말하는 것입니다 (우리가 7 개 개체의 모든 컬렉션에 대해 잘 아는 척하더라도). 확실히 컬렉션의 수는 문 색이 문의 속성이라는 점에서 그것의 속성이 아닙니다. 왜냐하면 우리는 문의 색을 바꿀 수 있지만 컬렉션을 변경하지 않고는 컬렉션의 수를 변경할 수 없기 때문입니다. 그 자체. 이전에는 빨간색 이었지만 지금은 녹색이었던 문이 같은 문이라고 말하는 것은 완벽하게 이해가됩니다. 그러나 7 개의 구슬이있는 일부 컬렉션에 대해 8 개의 구슬 컬렉션과 동일한 컬렉션이라고 말하는 것은 말도 안됩니다. 컬렉션의 개수가 컬렉션의 속성이면 컬렉션의 정의 속성이며 필수 특성입니다.

그러나 이것은 “7 개 개체의 모든 컬렉션이 공통적으로 갖는 것은 무엇입니까?”라는 질문에 대한 답변에 더 가까워지지 않습니다. 이런 종류의 질문을 진행하는 좋은 방법은 “컬렉션에 7 명의 멤버가 있다는 것을 어떻게 알 수 있습니까?”라고 자문하는 것입니다. 왜냐하면이 질문에 대한 답은 7 개의 물체로 이루어진 컬렉션이 공통적으로 공유하는 것을 분명히 밝혀야하기 때문입니다. 분명한 대답은 컬렉션을 세어 컬렉션의 수를 알아내는 것입니다.하지만이 대답은 우리에게 도움이되지 않는 것 같습니다. 컬렉션을 세면 컬렉션의 각 구성원을 “레이블”만하는 것처럼 보이기 때문입니다. 숫자. (병사들이 번호를 매기는 것을 생각해보십시오.) 숫자가 컬렉션의 구성원에게 번호를 할당하여 발견되는 컬렉션의 속성이라고 말하는 숫자의 정의는 명확하게 제공되지 않습니다.

수를 세는 것처럼 컬렉션의 각 구성원에 번호를 붙이는 것은 실제로 두 컬렉션의 구성원, 계수 할 개체 및 자연수 사이에 대응 관계를 설정하는 것입니다. . 예를 들어 7 개의 개체 모음을 계산할 때 계산 된 개체와 1에서 7까지의 숫자 사이에 대응 관계를 설정합니다. 각 개체에는 고유 한 번호가 할당되고 각 번호 (1에서 7까지)는 컬렉션의 일부 개체에 할당됩니다. 두 개의 컬렉션이 서로 고유 한 연관성을 가질 때 유사하다고 말하면 컬렉션을 세는 것은 세는 컬렉션과 유사한 숫자의 컬렉션을 결정한다고 말할 수 있습니다.

정의의 약점은 이러한 대응 개념에 있습니다. 두 요소가 일치하는지 어떻게 알 수 있습니까?접시에 서있는 컵 모음의 컵과 접시는 명백한 일치를 가지고 있지만, 예를 들어 행성과 뮤지 스 사이의 일치는 무엇입니까? 행성과 뮤지 스 사이에 특허 서신이 없어도 쉽게 구축 할 수 있다는 말은 소용이 없습니다. 우리가 이것을 어떻게 알 수 있고, 더 중요한 것은 우리가 어떤 종류의 서신을 허용하기 때문입니까? 유사성의 관점에서 숫자를 정의 할 때, 우리는 숫자의 이해하기 어려운 개념을 동등하게 이해하기 어려운 대응의 개념으로 대체했습니다.

일부 수학자들은 숫자를 숫자로 식별하여 숫자를 정의하는 어려움에서 벗어나려고했습니다. 숫자 1은 숫자 1, 숫자 2는 숫자 11, 숫자 3은 111 등으로 식별됩니다. 그러나이 시도는 숫자의 속성이 숫자의 속성이 아니라는 것을 인식하자마자 실패합니다. 숫자는 파란색 또는 빨간색, 인쇄 또는 손글씨, 분실물, 분실물 일 수 있지만 이러한 속성을 숫자에 귀속하는 것은 의미가 없으며, 반대로 숫자는 짝수 또는 홀수, 소수 또는 합성 일 수 있지만 숫자의 속성은 아닙니다.

“숫자”와 “숫자”의 대립은 언어에서 흔히 볼 수있는 것이며 아마도 가장 친숙한 사례는 “명제”와 “문장”의 쌍에서 찾을 수있을 것입니다. 문장은 명제를 물리적으로 표현한 것이지만, 다른 문장 (예를 들어, 다른 언어로)이 동일한 명제를 표현할 수 있기 때문에 명제로 식별 할 수 없습니다. [ 유형 및 토큰 참조]

종종 관찰 된 바와 같이 체스 게임은 수학 (또는 그 문제에 있어서는 언어 자체)과 매우 유사합니다. 숫자는 체스 말, 산술 연산, 게임의 움직임에 해당합니다.

드디어 숫자의 본질 문제에 대한 답을 찾았습니다. 우리는 먼저 숫자의 의미를 이해하기 위해 숫자가 재생하는 “게임”, 즉 산술을 살펴보아야합니다. 숫자, 1, 2, 3 등은 산술 게임의 문자이며, 이러한 문자를 재생하는 조각은 숫자이며 기호를 특정 숫자의 숫자로 만드는 것은 그것이 재생하는 부분입니다. 우리는 문맥에 더 적합한 단어의 형태로 말할 수 있습니다. 기호를 구성하는 특정 숫자의 기호는 기호의 변형 규칙입니다. 따라서 oue 연구의 목적은 자체 번호가 아니라 숫자 기호의 변환 규칙 입니다.

사물 수 “, 이는 ” 현대 ” 집합 이론적 접근 방식을 사용하면 XIX 세기 영국의 empricism의 철학적 전통을 참조하는 데 유용 할 수 있습니다.

특히 철학자 John Stuart Mill 은 A System of Logic, Ratiocinative and Inductive (1843)의 일부를 산술의 기초에 대한 토론에 바쳤습니다.

여기에 Fine의 정의를 명확히 할 수있는 몇 가지 구절이 있습니다.

두 개의 개별 구획에있는 세 개의 자갈, 그리고 하나의 소포에있는 세 개의 자갈은 우리의 감각에 똑같은 인상을주지 않습니다. 그리고 아주 같은 느낌의 조약돌이 장소와 배열을 변경하여 한 세트의 감각 또는 다른 감각을 생성 할 수 있다는 주장은 매우 익숙한 명제는 동일하지 않습니다. […]

그 과학 [숫자의 과학]의 근본적인 진실은 모두 감각의 증거에 달려 있습니다. 우리 눈에 보여줌으로써 증명됩니다. 예를 들어, 10 개의 공과 같은 어떤 수의 물체라도 분리와 재배치에 의해 우리의 감각에 10과 같은 모든 다른 숫자의 집합을 나타낼 수 있습니다. ( CW VII, 256-57)

따라서 우리가 12의 입방체가 1782라고 말할 때 우리가 확인하는 것은 다음과 같습니다 : 충분한 수의 자갈이나 다른 물체를 가지고 있다면 그것들을 일 e 12라고 불리는 특정한 종류의 소포 또는 집합체; 그리고 이것들을 모아서 유사한 컬렉션으로 만들고, 마지막으로이 가장 큰 구획 12 개를 구성합니다. 이렇게 형성된 집합체는 우리가 1728이라고 부르는 것과 같은 것이 될 것입니다. 즉, (가장 친숙한 형성 방식을 취하기 위해) 천개의 자갈이라고하는 소포, 700 개의 자갈이라고하는 소포, 20 개의 자갈이라고하는 소포, 8 개의 자갈이라고하는 소포를 결합하여 만들 수 있습니다. ( CW VII : 611-12)

Mill의 자연주의 접근 방식 산술은 ” 기본 ” 결합 및 분리 프로세스를 기반으로합니다. ” 물리적 물체의 “.

Mill의 경험 주의적 견해는 Gottlob Frege에 의해 급격하게 비판되었습니다. 그의 기본 Die Grundlagen der Arithmetik ( The Foundations of Arithmetic ) (1884)에서.

Mill의 수학 철학에 대한 설명은 Philip Kitcher, Mill, 수학 및 자연주의 전통 에서 John Skorupski (편집자), 를 참조하십시오. The Cambridge Companion to Mill (1998), page 57-on.

댓글

• 선생님, 또 다른 매우 유용한 답변에 감사드립니다. . 관련 글을 너무 많이 읽는 데는 시간이 걸릴 것입니다 (현재 여러분과 다른 사람들이 앞서 언급 한 책을 살펴보고 있습니다). 산술의 역사 를 완전히 다룬 책이 있습니까? 역사에서 시작된 것을 설명하고 마침내 현대 산술이 어떻게 확립되었는지 설명하는 책. 모든 관련 사항, 즉 누가, 어떻게, 언제, 왜 산술을하는지 설명하는 책. 한 달 안에 산술에 대해 두 가지 매우 철학적 (및 기술적) 질문을 할 것입니다. 제가 핑을하겠습니다.
• ” 현대 ” 산술 철학 , Kant부터 (그러나 JSMill은 논의되지 않음) Michael Potter, 이유 ‘ s Nearest Kin : Kant에서 Carnap까지의 산술 철학 (2002).

책에서 “사물 수”는 표현과 사실상 구별됩니다. 파티에 초대하고 싶은 손님이 있다고 가정합니다. 초대하는 손님의 수는 몇 명입니까?

5 명의 친구를 초대하는 경우 John, Fred, Mary, Jill, Barney라고 부릅니다. 게스트 친구는 5 명입니다. 파티에 초대하는 것입니다.

하지만 지금은 파티가 가장 무도회이고 모두 변장하면 어떨까요? John은 유령, Fred는 고블린, Mary는 마녀, Jill은 호박, Barney는 공룡으로 옷을 입고 있습니다. 그들이 이제 유령, 고블린, 마녀, 호박, 공룡이라고해서 당신이 파티에 초대 한 게스트-친구-물건의 수를 바꾸지는 않습니다. 그들의 특성은 바뀌 었습니다. 그들은 더 이상 당신의 친구처럼 보이지 않습니다. 그들의 변장처럼.

5 명이 모두 구별 할 수없는 유령으로 옷을 입고 온다면 어떨까요? 유령이 단 한 명만 파티에 왔다는 뜻인가요? 아니요, 여전히 공간으로 구별 할 수 있기 때문입니다. 지역, 도착 시간, 키, 몸무게, 시트 색상 등.

동일한 의상을 입고 한 번에 두 개 이상을 본 적이 없어서 하나를 구분하는 특징이 없다면 어떨까요? 당신은 당신이 파티에서 얼마나 많은 게스트-친구-물건을 가지고 있었는지 확신하지 못할 수도 있습니다.이 변환은 이전에 그들을 분리했던 구별 성을 파괴했기 때문에 사물의 수를 열거하는 데 유효한 변환이 아닙니다.

초대와 관련하여 “사물 수”라는 개념은 구체적으로 그룹의 속성으로, 모든 변경 (관계, 번호 변경, 순서 변경, 그러나 복제, 제거 또는 요소의 구별 성을 유지하는 하위 집합 계산)은 해당 속성을 유지합니다. 그 속성의 가치가 1, 5, 또는 백만 억인지 여부와는 상관이 없으며 단지 “사물 수”가이 속성을 유지하는 유한 한 값이라는 것입니다.

관련 사항 평범한 영어로 말하자면, 물건의 수는 단지 … 관심있는 항목의 수입니다. 그보다 더 간단하지도 않고 단순한 개념이기 때문에 가능한 구어체 표현에서 문제를 일으키지 않는 정확한 정의를 작성하는 것은 매우 어렵습니다.

이 질문 (및 그 문제에 대한 많은 답변)은 공리를 주어진 것으로 취급하는 수학적 이론의 목적을 간과합니다. 우리는 (예를 들어) 구별성에 대한 개념을 가지고 있으며,이 개념을 갖는 결과를 탐구합니다.

즉, “$ \ {세트에 얼마나 많은 요소가 있는지”질문하는 것은 불가능합니다. A, A, B \} $? “는 $ A $ 및 $ B $에 대한 공리를 먼저 제공하지 않습니다. 표준 수학 구문에 따르면 실제로는 $ \ {A, A”, B로 레이블을 다시 지정한 후에 만이 질문을해야합니다. \} $는 혼동을 피하기위한 것이지만 이것은 교리가 아니라 커뮤니케이션과 실용성의 문제이며 세트에 대한 어떤 종류의 진실도 아닙니다.

Roberto Unger의 말에 따르면 수학은 “비상 적 탐구”입니다.세계의 시뮬 라 크럼 “. 다른 사람의 비전에 동의하지 않아도 괜찮습니다. 그러나 수학 자체에 문제가 있다고 생각한다면 언어를 오용하여 자신의 모순을 생성 할 가능성이 있습니다. 구별성에 대한 개념이 어떤 속성을 가져야하는지 명확히 알고 있다면 집합 이론이 적용 되며, 그것은 방법에 대한 질문 일뿐입니다. 특정 형태의 구별을 규정하는 것이 아니라 모든 형태의 구별 사이의 공통점을 탐구하는 것입니다.

보입니다. 귀하의 질문에 대한 답변은 “사물”이 무엇인지와 매우 밀접하게 연관되어 있습니다. 추상적 인 질문일지도 모르지만, 양자 장 이론과 양자 역학의 기초라는 맥락에서 물리학 커뮤니티에서 반복적으로 질문을 받았을 것입니다 (예를 들어 Paul Teller와 Chris Isham 참조). 결론 중 하나는 속성이 “고착”하는 본질로서의 사물의 개념이 거부된다는 것입니다. 이것은 실제로 관찰되는 물리적 행동과 양립 할 수 없기 때문에 Teller가 “표지 된 텐서 제품 Hilbert 공간 형식주의”의 문제로 설명하는 것입니다. 따라서 “사물 수”에 대한 보편적 인 정의를 원한다면 사물이 무엇인지, 물리적 관점에서 구별 가능성이 무엇인지에 대한 이러한 고려 사항을 피할 수 없습니다 (유니버스에 적용되는 정의를 원하지 않는 한 우리 자신이 아닙니다).

예를 들어, 오른손에 하나의 광자가 있고 왼손에 하나의 광자가 있다고 가정 해 봅시다. 어느 손에 있는지를 참조하여 구별 할 수 있습니다. 따라서 “주머니에 넣는 방법의 수”는 2입니다 (먼저 왼손에 하나, 오른손에 하나 또는 반대 방향). . 그러나 주머니에 들어가면 물리적으로 구별 할 수 없게되고 “꺼내는 방법의 수”는 1입니다 (하나가 나온 다음 다른 하나가 나옵니다).

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• 포켓 예제의 광자에서 ‘ 나는 두 개의 광자처럼 보입니다. 그들의 신원 (왼쪽 / 오른쪽)이 사라집니다 (첫 번째, 다른 두 번째). 약간의 정보를 잃어버린 경우에도 ‘ 여전히 두 개가 있습니다. ‘ 손실 된 데이터는 ” 왼쪽 / 오른쪽에있는 ” 속성이며 일반적으로 광자의 속성. 모든 속성이 비슷한 방식으로 없어 질 수 있다고 말하는 것 같지만 ‘이 문제가 iv id = “에 대해 극복 할 수없는 문제라고 말하면 해결할 수 없습니다. ‘ 2b22048b23 “>