표준 다변량 Brownian 브리지 $ y (\ mathbf u) $는 공분산 함수 $$ \ mathbb E (를 사용하는 중심 가우시안 프로세스 인 것으로 알려져 있습니다. y (\ mathbf u) y (\ mathbf v)) = \ prod_ {j = 1} ^ d (u_j \ wedge v_j)-\ prod_ {j = 1} ^ d u_j v_j $$
이러한 다변량 브라운 브리지를 구성하는 방법을 잘 모르겠습니다.
첫 번째 생각은 일 변량 브라운 브리지로 시작하는 것이 었습니다. 이에 대한 정보와이를 수행 할 수있는 R 패키지도 찾았지만 단 변량 Brownian 브리지에만 해당됩니다.
이 그러나 내가 이해하는 바와 같이 위에서 정의한 표준 다변량 Brownian 브리지가 없습니다. 이 문서 에 있습니다.
어떤 힌트와 지원에 감사드립니다.
댓글
- Deheuvels 논문 링크 에서 알 수 있듯이 Brownian Bridge $ B_t $와 Brownian Sheet (또는 Wiener Sheet) 사이의 관계 $ W_t $ : $$ B_t : = W_t-\ frac t T W_T $$ 그래서 문제가 Brownian 시트를 시뮬레이션하는 것으로 줄어든다고 생각합니다. 별도의 질문으로 이에 대해 질문하겠습니다.
- 수정, 더 많은 차원의 관계는 $$ B _ {\ mathbf t} : = W _ {\ mathbf t}-\ prod_ {j = 1 } ^ d t_j W _ {(1, …, 1)} $$
- 관련 : stats.stackexchange.com/questions/34354/ …
답변
이미 지적했듯이 주석에서 질문은 Brownian 시트를 시뮬레이션하는 것으로 축소됩니다. 이것은 브라운 운동 시뮬레이션을 간단하게 일반화하여 수행 할 수 있습니다.
브라우니 안 운동을 시뮬레이션하려면 i.i.d. 평균 -0 분산 -1 시계열 $ W_i $ , $ i = 1, 2, \ cdots $ , 정규화 된 부분 합계 프로세스를 구성합니다. $$ X_n (t) = \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ sum_ {i = 1} ^ {[nt]} W_i. $$ $ n \ rightarrow \ infty $ 로서 $ X_n $ 수렴이 약합니다 ( Skorohod 공간의 표준 Brownian $ B $ $ D [0 , 1] $ .
iid 유한 2 차 모멘트 케이스를 사용하는 것이 가장 간단한 시뮬레이션 방법입니다. 수학적 결과 (Functional Central Limit Theorem / Donsker s Theorem / Invariance Principle)는 훨씬 더 일반성을 유지합니다.
이제 (예를 들어 2 차원) Brownian 시트를 시뮬레이션하려면 iid mean-0 분산을 사용합니다. -1 배열 $ W_ {ij} $ , $ i, j = 1, 2, \ cdots $ , 정규화 된 부분 합계 프로세스를 구성합니다. $$ X_n (t_1, t_2) = \ frac {1} {n} \ sum_ {1 \ leq i \ leq [nt_1], 1 \ leq j \ leq [nt_2]} W_ {ij}. $$ $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ Skorohod 공간의 표준 Brownian 시트에 약하게 수렴합니다. $ D ([0,1] ^ 2) $ 단위 사각형 .
(증명은 표준 약한 수렴 인수입니다.
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유한 차원 분포의 수렴은 Levy-Lindeberg CLT에서 따릅니다.
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$ D ([0,1] ^ 2) $ 은 i.i.d에서 사소하게 유지되는 충분한 모멘트 조건에서 따릅니다. 유한 2 차 모멘트 사례 — 참조, 예 : Bickel과 Wichura (1971). )
그런 다음 연속 매핑 정리 $$ X_n (t_1, t_2)-\ prod_ {j = 1} ^ 2 t_j X_n (t_1, t_2) $$ 는 2 차원 브라운 브리지에 약하게 수렴합니다.