등전위 표면이 교차하는 곳에서 전기장이 0 인 이유는 무엇입니까?

먼저, 원하는 동작을 보여주는 간단한 예제를 통해 공기를 정리해 보겠습니다 (기본적으로 대부분의 사소하지 않은 경우에는 동형). 특히 다음 주장 :

전위 $ V (x, y, z) = V_0 \, xy $는 완벽하게 유효한 정전기 전위입니다. 선을 따라 교차하는 두 개의 등전위 표면 ($ yz $ 평면과 $ xz $ 평면)이있는 것으로 매우 자연스럽게 보일 수 있습니다.

이 예는 필드 라인과 같은 등전위 표면이 절대 교차하지 않는다는 일반적인 직관에 어긋날 수 있지만 완벽하게 확인됩니다. 그리고 전기장 $$ \ mathbf E =-\ nabla에 대한 교수의 주장과 일치합니다. V = -V_0 (y \, \ hat {\ mathbf x} + x \, \ hat {\ mathbf y}), $$ van 교차점 $ x = y = 0 $에 있습니다.

(외피를 조금 더 확장하려는 경우 : 이것은 자연스럽게 $ n $의 등전위 표면의 교차점으로 일반화됩니다. $ n $-극성 전위 $ V (x, y, z) = V_0 \, \ mathrm {Re} \ mathopen {} \ left [\ left (x + iy \ right) ^ n \ right] \ mathclose {} $.)

그렇다면 무슨 일이 일어나고 있습니까? 아니면 우리가 당면한 진술에 실제 수학적 고기를 어떻게 제공할까요?

음, 등전위 표면을 정의하는 것으로 시작하겠습니다. 표면 $ S : (D \ subseteq \ mathbb R ^ 2) \ to \ mathbb R ^ 3 $은 정전기 전위 $ V의 등전위입니다. : \ mathbb R ^ 3 \ to \ mathbb R $ iff $ V (S (u, v)) = V_0 $는 D $의 모든 $ (u, v) \에 대해 상수입니다. 또한, 우리는 언제든지 $ 표면에서 \ mathbf r = S (u, v) $, 전기장 $ \ mathbf E =-\ nabla V $는 접선 평면 $ TS_ \ mathbf r $ 내부에있는 모든 벡터와 $ \ mathbf r $에서 표면, $ \ gamma : (a, b) \ 곡선을 D $로 가져와 불변성 관계 $ V (S (\ gamma (t))) \ equiv V_0 $를 존중으로 미분 $ t $ 매개 변수에 $$-\ dot \ gamma (t) \ cdot \ nabla V = \ dot \ gamma (t) \ cdot \ mathbf E = 0 $$ 모든 벡터에 대해 $ \ dot \ gamma \ in TS_ \ mathbf r $.이 평면은 2 차원이고 공간은 3 차원이므로 표면에 대한 고유 한 법선 방향 $ \ hat {\ mathbf n} $이 있고 $ \ mathbf E $가 그 법선 (또는 가능하면 0)과 평행하지만 핵심 결과는 접선 평면 내부의 모든 방향을 따라 $ \ mathbf E $ “s 구성 요소가 사라져야한다는 것입니다.

좋습니다. 이제 사전에 검토하고 두 개의 다른 표면 $ S_i를 고려해 보겠습니다. : D_i \ to \ mathbb R ^ 3 $, $ i = 1,2 $, 어떤 지점에서 교차합니다 $ \ mathbf r_0 $, 그리고 두 표면 모두 $ V $의 등전위임을 규정합니다.

방망이없이, 두 표면의 모든 지점에서 전위가 동일한 상수와 같아야한다고 추론 할 수 있습니다. $ V = V (\ mathbf r) $는 (단일 값 ) 함수. $ V (\ mathbf r_0) = V_1 $ ($ \ mathbf r_0 \ in S_1 $)이면 $ S_1 $ 전체에서 $ V_1 $와 같아야하지만 $ \ mathbf r_0 $도 $ S_2 $에 있으므로 $ V $는 $ S_2 $ 전체에서 $ V_1 $와 같아야합니다. 이것은 아마도 당신의 교수가 당신이보고 한 주장에서 언급 한 내용 일 것입니다.

그는 또한 두 개의 등전위 표면이 교차 할 수 없기 때문에 두 개의 다른 잠재력을 제공 할 수 있다고 주장했습니다. 같은 시점에서

하지만 훨씬 더 가깝습니다.

다른 잠재력을 가진 두 등전위 표면 은 동일한 지점에서 두 개의 다른 잠재력을 제공하므로 교차 할 수 없습니다.

그것은 쉬운 부분입니다.이제 사소한 것이 아닙니다. 교차로의 전기장은 어떻습니까?

하지만 쉬운 경우부터 시작하여 등전위가 a를 따라 적절한 차원 1 교차를 갖는다 고 가정합니다. 곡선, 즉 교차점을 따라 $ \ mathbf r $ 지점에서 두 표면에 대한 접선 평면이 선에서 교차하고 각 표면은 서로에 속하지 않는 별도의 선형 독립 방향을 갖게됩니다. 평면.

그러면 이전에 개발 한 도구를 가져올 수 있습니다. $ \ mathbf E $에는 접선 평면 내부에있는 모든 벡터와 함께 사라지는 내부 곱이 필요하다는 것을 알고 있습니다. 3 개의 선형 독립 벡터 $ \ mathbf e_1, \ mathbf e_2 $ 및 $ \ mathbf e_3 $가 교차점을 따라 하나, 각 평면을 따라 다른 하나의 독립 벡터에 대해 사라집니다. 모든 벡터 $ \ mathbf v \ mathbb R ^ 3 $가 $ \ mathbf v \ cdot \ mathbf e_i = 0, $ for 선형 독립 $ \ mathbf e_i, $를 충족 할 수있는 유일한 방법은 $ \ mathbf v = 0 $입니다. . 이것이 교수님의 주장이있는 곳입니다.

마지막으로 질문 끝에 언급 한 약간 더 병리적인 사례를 다루겠습니다.

[…] 접촉하는 동일한 잠재력을 가진 두 개의 다른 등전위 표면이있는 이유는 무엇입니까?

이것은 “나쁜 질문이 아닙니다. 대답은 본질적으로 이런 일이 일어날 수 있다는 것입니다 . 그러나 그것이 일어나는 상황은 너무 병적이므로 우리는 대부분 그 아기를 “두 표면이 교차한다”라고 말할 때, 우리는 일반적으로 곡선을 따라 1 차원 교차가 있음을 의미합니다. 표면이 닿도록 허용하거나 유사한 병리학 적 행동을 원할 경우 명시 적으로 주목할 것입니다. . (수학자들은 그들의 언어에 좀 더주의를 기울이지 만 다시 물리학 자들은 더 흥미로운 일을하므로 사소한 세부 사항을 다루느라 시간을 낭비 할 수 없습니다.)

어쨌든, 두 개의 등전위를 가진 잠재력을 원한다면 내가 생각할 수있는 가장 깨끗한 예는 $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2, $$입니다. 여기서 등전위 $ V (\ mathbf r) = 0 $는 정점에 닿는 두 개의 원형 포물선입니다. 이것은 Laplace 방정식의 해가 아닙니다 . 즉, 자유 공간에서 합리적인 잠재력은 아니지만 충전 밀도를 $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V $로 설정하면 “합리적인 분포를 얻을 수 있습니다. 이를 절약하려면 $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) z, $$를 선택하는 것이 좋습니다. rho \ propto \ nabla ^ 2 V = 2-4z $는 매우 합리적이며 $ z = 0 $ 평면에 대해 포물선 중 하나를 교체합니다.

이제이 두 가지 예에 대해 당신의 잠재력으로 꽤 높은 차수의 다항식을 가지고 있고, 전기장은 등전위 “교차점에서 사라집니다. 등전위와 0이 아닌 전기장을 터치하는 무언가를 원할 경우, 제가 가장 잘 생각 해낸 것은 위의 두 가지 예를 결합하여 3 개의 등전위 (포물면 2 개와 $ xy $ 평면) 회의를 제공하는 것입니다. 한 지점에서 $$ V (x, y, z) = \ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z, $$와 $ V (0,0, z $ z $ 축을 따라) = z ^ 3 $ 의존성을 고려한 다음, 세제곱근을 취하여이를 인수 분해하여 $$ V (x, y, z) = \ left [\ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z \ right] ^ {1/3}, $$ 위와 동일한 접촉 등전위를 갖지만 이제는 일정한 전기장을 갖습니다 $ \ nabla V = (0,0 , 1) $ 모든 포인트 $ (0,0, z) $와 $ z \ neq 0 $. 그러나 불행히도, $ z $ 축과 $ xy $ 평면을 따라 $ \ mathbf r \ to0 $에 대한 제한이 없기 때문에 전기장이 0이 아니라고 정말 결론을 내릴 수 없습니다. “통근하지 마세요. 그리고 실제로 $ \ nabla V $는 $ xy $ 평면의 모든 곳에서 갈라집니다.

나는 여기에서 $ xz $ 평면을 따라자를 때 등전위 풍경을 그려 아이디어를 제공합니다. 다음과 같은 유형의 사례를 고려하여 적용 할 수있는 병리 구조 유형 :

^{출처 : Import [ “ http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m “] [ “ http://i.stack.imgur.com/0snLs.png “]}

예리한 절벽은 3D보기에서 등전위를 향합니다. $ V (x, 0, z) $의 $ z $ 축에서 접근 할 때 원점을 제외하고는 전계가 $ V = 0 $ 등전위에서 모든 곳에서 무한하다는 사실을 분명히 알 수 있습니다.

어쨌든, 그것은 당신이 지불해야 할 대가입니다. 모든 것을 멋지고 매끄럽게 유지하기 위해 접촉 지점에서 제로 전기장을 요구하지 않고 접촉하는 등전위. 그러나 일반적으로 규칙적인 교차로를 요구하여 법령에 따라 이러한 경우를 폐기합니다.

전기장은 정의됩니다. 정전기 전위의 (음의) 구배로.따라서 등전위에 의해 정의 된 선 / 표면을 따라 전기장이있을 수 없습니다.

즉, 등전위의 한 지점에서 허용되는 유일한 전기장은 전기장에 수직이어야합니다. 등전위 표면, 그렇지 않으면 표면을 따라 0이 아닌 구성 요소를 갖게됩니다.

두 개의 서로 다른 교차 등전위가있는 경우, 0이 아닌 필드는 모두 0이 아니므로 유효한 전기장은 0입니다. 적어도 하나의 등전위를 따라 구성 요소가 0입니다.

등전위 표면이 교차점에서 평행 한 경우는 예외로 나타납니다.

코멘트

• 나는 ' 지금까지 평행 법선으로 단일 지점에 닿는 등전위를 가진 전위를 생성하려고 시도했지만 실패했지만 그럼에도 불구하고 0이 아닌 전기를 생성합니다. 거기 필드. 저것을 통해 보시겠습니까?
• @ Rob 스크래치로 예제를 찾았지만 ' 가장 단순한 함수는 아닙니다. ' 지금까지 본 적이 있습니다. 제로가 아닌 전기장으로 등전위를 만지면 그런 종류의 병리 적 행동이 필요한 것을 보여줄 수 있다고 생각하지만 ' 당신이 어떻게 ' 그 사실을 증명해야합니다 (또는 '이 작업을 수행하는 데 많은 시간을 할애 할만큼 충분히 신경을 쓰는 이유).

두 등전위 표면은 교차 할 수 없습니다. 등전위 표면의 어느 지점에서나 전기장의 방향은 두 등전위 표면이 교차하는 경우 교차점의 전기장은 해당 지점에서 첫 번째 표면과 두 번째 표면에 수직이됩니다. 즉, 두 등전위 표면이 교차 할 수있는 경우, 당신은 각 교차점에서 두 방향을 가리키는 전기장을 갖게 될 것입니다. 하나는 첫 번째 표면에 수직이고 다른 하나는 두 번째 표면에 수직입니다. 불가능합니다.

댓글

• 교차점에서 필드가 0이 아닌 경우
• 잠재적 $ V ( x, y, z) = V_0 xy $는 완벽하게 유효한 정전기 전위이며, 선을 따라 교차하는 두 개의 등전위 표면 ($ yz $ 평면과 $ xz $ 평면)을 갖는 것으로 매우 자연스럽게 보일 수 있습니다.
• 매우 흥미 롭습니다 … 저는 ' 주말에 그리피스 '의 책을 꺼내야합니다. 약간의 복습 … ' 5 월에 졸업 한 이후로 정전기를 공부 한 적이 없습니다.

교차 할 경우 전기장의 방향이 모호하여 불가능합니다.

댓글

• 모호하지 않습니까 ? 그게 왜 문제가 되나요?
• 예, 답변에 따르면 모호하지 않음 이 아니라 모호합니다 .

또한 그는 두 개의 등전위 표면이 교차 할 수 없기 때문에 동시에 두 개의 다른 잠재력을 제공한다고 주장했습니다. 점.

전기 쌍극자의 전기장과 등전위 표면을 고려합니다.

이미지 크레딧

등전위 표면이 교차하지 않습니다. 또한 표면의 밀도 는 두 전하 사이의 선을 따라 가장 큽니다.

이제 이상적인 전기 쌍극자의 한계에서 등전위 표면을 고려하십시오.

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이미지 크레딧

일정한 쌍극자 모멘트의 경우 분리 거리가 감소함에 따라 (플러스 / 마이너스) 전하가 증가해야하며, 선을 따라 등전위 표면의 밀도가 표면은 한계에서 갈라 져야합니다. 모든 등전위 표면은 이상적인 쌍극자의 위치에서 교차해야하며 전기장은 단일 위치에 있습니다.

댓글

• 구는 등전위가 아니기 때문에 접점을 통과하는 등전위 표면이 무한히 많다는 것이 분명하지 않습니다 … 모르겠습니다 ….
• @ValterMoretti, 좋습니다. 각각 반대 부호와 동일한 반경의 고정 된 균일 한 전하 밀도를 가지며 z 축을 따라 xy 평면의 위와 아래에 대칭 적으로 배치되지만 평면에 닿지 않는 두 개의 비전 도성 구체입니다. 이것은 이미지 유형 문제의 방법과 같은 냄새가 난다. 그렇다면 x-y 평면은 제로 전위 표면입니까?그런 다음 양 (음) 등전위 표면이 양 (음)으로 대전 된 구를 둘러싸고 구가 가까워짐에 따라 해당 표면이 ' 압착 ' 구의 중심을 따라 선을 따라 마침내 서로 닿나요?
• 음, 이제 분리면과 다른 등전위 표면이 (비도 전성) 구에 들어간다고 생각합니다. 일 : 구체가 서로 접촉 할 때 접촉점을 통해 단 하나의 등전위 서프 스가 있습니다. 그래서 제 예는 작동하지 않습니다.
• @ValterMoretti, 등전위가 구체에 들어갈 수 있는지 궁금해서 당신의 의견이 들어 오자 잭슨을 살펴보기 시작했습니다.
• 예, 등전위 표면은 구에 들어가야합니다. 왼쪽 구 내부의 점을 취하면 구 자체로 인한 전기장이 사라집니다. 따라서 왼쪽 구장 내부의 전기장은 완전히 오른쪽 구에 기인하며 왼쪽 구의 바깥쪽에 중심을 둔 점 전하와 동일합니다. 등전위 표면이 이런 방식으로 왼쪽 구에 들어간다는 것이 분명합니다. 나는 여기서 표면적으로 대전 된 구체를 생각하고 있었다! 요금이 볼륨에 있다면? 모르겠 음