수학적으로 경로 적분은 다차원의 일반화입니다. 완전한. 일반적인 $ N $ 차원 적분에서 $ N $ 차원 적분 인 $ {\ mathbb R} ^ N $의 부분 공간에 $$ \ int dx_1 dx_2 \ dots dx_N $$를 적분합니다. 경로 적분은 변수 $ y $의 가능한 모든 함수 $ f (y) $에 대한 무한 차원 적분 $$ \ int {\ mathcal D} f (y) \, Z [f (y)] $$, 실수 나 벡터 일 수 있습니다. 함수 $ f (0) $, $ f (0.1) $, $ f (0.2) $ 등의 값은 일반적인 다차원 적분에서 $ x_1 $, $ x_2 $ 등의 변수와 동일한 역할을합니다. .
$ x_i $의 인덱스 $ i $가 유한 집합 $ 1,2, \ dots N $의 값을 취하고 있었고 이제 연속 변수 $ y $로 대체되었으므로 경로 적분은 다음과 같습니다. 무한 차원 적분.
엄격한 수학자들은 측정 이론을 사용하여 무한 차원 경로 적분을 정의하는 데 방해가되는 많은 문제를 봅니다. 그러나 물리학 자들은 유사한 적분을 다룰 수 있다는 것을 알고 있습니다. 이를 계산하려고 할 때 경험하는 “자외선 발산”등이 있지만 처리 될 수 있습니다. 본질적으로 유한 차원 적분에 적용되는 모든 자연 규칙을 사용하려고합니다. 예를 들어, 두 함수의 합의 (경로) 적분은 두 가지 (경로) 적분의 합입니다.
물리학에서 경로 적분의 가장 중요한 두 가지 응용은 파인만의 접근 방식입니다. 양자 역학, 특히 양자 장 이론, 통계 역학.
(고전적인) 통계 역학에서는 분할 합계 $$ Z = \ sum_C \ exp (-\ beta E_c) $$ 모든 구성에 대해 물리적 시스템의 $ c $. 그러나 구성은 종종 전체 함수에 의해 레이블이 지정되기 때문에 $ f (y) $ – 인수 $ y $에 허용되는 모든 값에 무한히 많은 값 – 합계는 “실제로”가 아닙니다. 합집합”. 유한 차원 적분도 아닙니다. 경로 적분입니다.
양자 역학에서 복잡한 확률 진폭 등은 $$ {\ mathcal A} _ {fi} = \로 계산됩니다. int {\ mathcal D} \ phi (y) \, \ exp (iS [\ phi (y)] / \ hbar) $$ 즉, 변수 $ \ phi (y) $ 등의 모든 구성에 대한 경로 적분. 적분은 위상 (절대 값이 1 인 숫자)이며 위상 각도는 가능한 히스토리 $ \ phi (y) $에서 평가 된 고전적 동작에 따라 달라집니다. 초기 및 최종 상태 $ i, f $는 다음과 같이 통합됩니다. 적절한 경계 조건을 따르는 “중간 시간”의 구성에 대해.
거의 모든 양자 장 이론은 경로 적분의 계산으로 표현 될 수 있습니다. 따라서 이러한 의미에서 “모든” 경로 적분은 거의 모든 양자 역학 및 양자 장 이론을 배우는 것과 동일하며, 얼마나 깊이 얻고 자 하는가에 따라 한 학기에서 10 년의 집중 연구가 필요할 수 있습니다. 이 서버에서 허용되는 크기의 대답으로는 확실히 다룰 수 없습니다.
가우스를 사용한 경로 적분 계산, 즉 $ \ exp ({\ rm bilinear}) $ 적분, 아마도 다항식 적분 변수의 사전 인자는 아마도 우리가 물리학에서 실제로 필요로하는 사소하지 않은 경로 적분의 가장 중요하거나 “가장 간단한”예일 것입니다.
양자 역학에서 경로 적분은 모든 것에 대한 명시적인 최종 공식을 나타냅니다. $ | i \ rangle $ 상태에서 $ | f \ rangle $ 상태로의 전이에 대한 진폭은 경로 적분으로 직접 표현 될 수 있으며 확률은 확률 진폭 제곱의 절대 값입니다. 양자 역학은 이러한 확률로 종점을 계산할 수있게 해줍니다. 따라서 경로 적분은 양자 역학의 “모든 것”을 나타냅니다. (이 단락은 원래 저의 의견으로 게시되었으며이 편집을 제안한 사용자는 그렇게 할 충분한 이유가있었습니다.)
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