통계 물리학에서 분할 함수의 물리적 의미는 무엇입니까?

파티션 함수는 위상 공간에서 시스템이 차지하는 볼륨을 측정 한 것입니다. 기본적으로 주어진 앙상블에서 시스템에 액세스 할 수있는 마이크로 상태의 수를 알려줍니다. 이것은 미시 정규 앙상블 에서 쉽게 볼 수 있습니다.

미시 정규 앙상블에서 $ E $와 $ 사이의 에너지를 가진 모든 미시 상태가 E + \ Delta E $도 똑같이 가능하며 분할 함수는 다음과 같습니다.

$$ Z_ {mc} (N, V, E) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int_ {E < \ mathcal H (\ {p, q \}) < E + \ Delta E } d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {1} $$

여기서 적분은 에너지 (hamiltonian) $ \ mathcal이있는 위상 공간 영역의 하이퍼 볼륨입니다. 시스템의 H $는 $ E $에서 $ E + \ Delta E $ 사이이며, $ h ^ {3N} $로 정규화되어 차원이 없습니다. 계수 $ N! ^ {-1} $는 두 입자의 “라벨”을 교환하여 미세 상태가 변경되지 않는다는 사실을 고려합니다.

볼츠만 방정식

$$ S = k_B \ log (Z_ {mc}) \ tag {2} $$

는 엔트로피가 시스템의 매크로 상태에 해당하는 총 마이크로 상태 수의 로그이며이 숫자는 $ Z_ {mc} $에 불과합니다.

표준 및 그랜드 표준 앙상블에서 파티션 함수의 의미는 그대로 유지됩니다. 동일하지만 에너지가 더 이상 고정되지 않기 때문에 표현식이 변경됩니다.

정규 분할 함수는 다음과 같습니다.

$$ Z_c (N, V, T) = \ frac 1 {엔! h ^ {3N}} \ int e ^ {-\ beta \ mathcal H (\ {p, q \})} d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {3} $$

이 경우에는 모든 위상 공간을 통합하지만 모든 점에 할당합니다. $ \ {p, q \} = (\ mathbf p_1, \ dots \ mathbf p_N, \ mathbf q_1, \ dots \ mathbf q_N) $ a weight $ \ exp (-\ beta \ mathcal H) $, 여기서 $ \ beta = (k_B T) ^ {-1} $, 에너지가 훨씬 더 높은 상태 $ k_B T $는 확률이 낮습니다. 이 경우 열역학과의 연결은 다음과 같습니다.

$$-\ frac {F} {T} = k_B \ log (Z_c) \ tag {4} $$

여기서 $ F $는 Helmholtz 자유 에너지 입니다.

그랜드 표준 분할 함수는

$$ Z_ { gc} (\ mu, V, T) = \ sum_ {N = 0} ^ \ infty e ^ {\ beta \ mu N} Z_c (N, V, T) \ tag {5} $$

이번에는 입자 수 $ N $의 가능한 모든 값을 합산하여 각 항에 $ \ exp (\ beta \ mu N) $에 가중치를 부여합니다. 여기서 $ \ mu $는 화학적 잠재력 .

열역학과의 연관성은 다음과 같습니다.

$$ \ frac {PV} {T} = k_B \ log (Z_ {gc} \ tag {6}) $$

$ e ^ {-F / T} $, 여기서 $ F / T $는 관련 열역학적 에너지 척도 인 온도에 의해 정규화 된 자유 에너지입니다. 지수는 단조로운 재 매개 변수화이므로 도덕적으로 말하면 분할 함수는 사용할 수있는 자유 에너지입니다. 유용한 작업을 수행하십시오.

다른 해석 : $ E = 0 $이지면 상태가되도록 정규화합니다. 그러면 대략적으로 말하면 “지면 상태에있는 시스템의 일부”의 역수입니다. 극히 경험적으로 $ g $는 “기상 상태”에있는 시스템의 총량, $ e $는 종료 된 상태에있는 시스템의 총량, $ s = g + e $는 시스템의 총량. 그러면 $ g / s $는 지상 상태에있는 시스템의 비율이고 그 역수는 $ s / g = (g + e) / g = 1 + e / g $입니다. Boltzmann 가중치는 바닥 상태의 무게에 대한 에너지 $ E_i $를 가진 각 흥분 상태 $ i $의 상대 무게 (또는 “양”)는 $ e ^ {-\ beta E_i} $입니다.모든 흥분 상태 $ i $를 합하면 파티션 함수 $ s / g = 1 + e ^ {-\ beta E_1} + e ^ {-\ beta E_2} + \ dots $가됩니다.

파티션 함수의 물리적 의미는 다음과 같습니다. 시스템이 캐리어 (예 : 전자)에 제공하는 열적으로 접근 가능한 상태의 수를 나타냅니다.