시안의 첫 번째 요점 : $ \ sigma $ span에 대해 이야기 할 때 >-대수, 당신은 “측정 가능한 집합에 대해 묻고 있습니다. 그래서 불행히도 어떤 대답도 측정 이론에 초점을 맞춰야합니다.” 그래도 부드럽게 구축하려고 노력할 것입니다.

가를 수없는 집합의 모든 하위 집합을 인정하는 확률 이론은 수학을 깨뜨릴 것입니다.

이 예를 생각해보세요. 단위 제곱이 있다고 가정 해 보겠습니다. $ \ mathbb {R} ^ 2 $ 에서, 단위 제곱에서 특정 세트의 구성원 인 포인트를 무작위로 선택할 확률에 관심이 있습니다. . 많은 상황에서 이것은 다른 세트의 영역을 비교하여 쉽게 대답 할 수 있습니다. 예를 들어, 원을 몇 개 그려서 그 면적을 측정 한 다음 확률을 원에 떨어지는 사각형의 비율로 취할 수 있습니다. 매우 간단합니다.

하지만 관심 영역이 잘 정의되어 있지 않으면 어떻게 될까요?

영역이 잘 정의되어 있지 않으면 두 가지를 다르게 추론 할 수 있습니다. 영역이 무엇인지에 대한 완전히 유효한 (어떤 의미에서) 결론. 따라서 한편으로는 $ P (A) = 1 $ , $ P (A) = 0 $ , 이는 $ 0 = 1 $ 을 의미합니다. 이것은 수리를 넘어서는 모든 수학을 깨뜨립니다. 이제 $ 5 < 0 $ 및 기타 여러 가지 터무니없는 것들을 증명할 수 있습니다. 분명히 이것은 너무 유용하지 않습니다.

$ \ boldsymbol {\ sigma} $ -대수학은 수학을 수정하는 패치입니다.

$ \ sigma $ -대수 란 정확히 무엇입니까? 실제로 그렇게 무서운 것은 아닙니다. 이벤트로 간주 될 수있는 세트의 정의 일뿐입니다. $ \ mathscr {F} $ 에없는 요소에는 정의 된 확률 측정 값이 없습니다. 기본적으로 $ \ sigma $ -algebras는 ” 패치 “로 수학의 병리학 적 행동, 즉 측정 불가능한 집합.

$ \ sigma $ -필드의 세 가지 요구 사항은 무엇의 결과로 간주 될 수 있습니다. 확률로 작업하고 싶습니다. $ \ sigma $ -필드는 세 가지 속성이있는 집합입니다.

1. Closure under countable 합집합.
2. 가산 가능한 교차점 아래 폐쇄.
3. 보 완성 아래 폐쇄.

가산 할 수있는 합집합 및 계산할 수있는 교차점 구성 요소는 비가 산성의 직접적인 결과입니다. 측정 가능한 세트 문제. 보완 아래의 폐쇄는 Kolmogorov 공리의 결과입니다. if $ P (A) = 2 / 3 $ , $ P (A ^ c) $ 는 $ 1/3 $ . 그러나 (3)이 없으면 $ P (A ^ c) $ 가 정의되지 않을 수 있습니다. 그것은 이상 할 것입니다. 보완 및 Kolmogorov 공리 아래의 폐쇄를 통해 $ P (A \ cup A ^ c) = P (A) + 1-P (A) = 1 $ .

마지막으로 $ \ Omega $ 관련 이벤트를 고려하고 있으므로 $ \ Omega \ in \ mathscr {F} $

좋은 소식 : $ \ boldsymbol {\ sigma} $ -대수는 셀 수없는 집합에만 엄격하게 필요합니다.

하지만! 여기에도 좋은 소식이 있습니다. 아니면 적어도 문제를 해결할 방법이 있습니다. $ \ sigma $ -대수학은 셀 수없는 카디널리티를 가진 세트. 셀 수있는 세트로 제한하면 $ \ mathscr {F} = 2 ^ \ Omega $ 를 $ \ Omega $ 및 셀 수있는 $ \ Omega $ , $ 2 ^ \ Omega $ 는 측정 가능한 세트로만 구성됩니다. (이는 Xi”an의 두 번째 주석에서 암시됩니다.) 일부 교과서는 실제로 여기에서 미묘한 손재주를 사용합니다. , 그리고 확률 공간을 논의 할 때 셀 수있는 집합 만 고려합니다.

또한 $ \ mathbb {R} ^ n $ 의 기하학적 문제에서 그것은 ” $ \ sigma $ -대수는 $ \ mathcal {L} ^ n에 해당하는 집합으로 구성된 대수 만 고려하기에 충분합니다. $ 측정 값이 정의되어 있습니다. 좀 더 확실하게 근거를 제시하려면 에 대한 $ \ mathcal {L} ^ n $ $ n = 1,2 , 3 $ 는 길이, 면적 및 부피의 일반적인 개념에 해당합니다.이전 예에서 제가 말하는 것은 세트에 기하학적 확률을 할당하기 위해 잘 정의 된 영역이 있어야한다는 것입니다. 그리고 그 이유는 이것입니다. 측정 할 수없는 세트를 인정하면 어떤 증명을 기반으로 어떤 이벤트에 확률 1을 할당하고 다른 증명을 기반으로 동일한 이벤트 이벤트에 확률 0을 할당 할 수있는 상황에서 끝납니다.

하지만 안됩니다. 셀 수없는 세트에 대한 연결이 당신을 혼란스럽게하세요! $ \ sigma $ -대수가 셀 수있는 집합이라는 일반적인 오해입니다. 사실, 그것들은 셀 수 있거나 셀 수 없을 수 있습니다. 이 그림을 고려하십시오. 이전과 같이 단위 제곱이 있습니다. 정의 $$ \ mathscr {F} = \ text {정의 된 $ \ mathcal {L} ^ 2 $ 측정 값으로 단위 제곱의 모든 하위 집합}. $$ 다음을 수행 할 수 있습니다. 모든 pan class = “math-container에 대해 변 길이가 $ s $ 인 정사각형 $ B $ 그리기 “> $ s \ in (0,1) $ , 한 모서리는 $ (0,0) $ 에 있습니다. 이 정사각형은 단위 정사각형의 하위 집합이라는 것이 분명합니다. 또한이 모든 사각형은 영역을 정의 했으므로이 사각형은 $ \ mathscr {F} $ 의 요소입니다. 그러나 $ B $ 에는 셀 수 없을만큼 많은 사각형이 있다는 것도 분명해야합니다. 이러한 사각형의 수는 셀 수 없으며 각 사각형은 Lebesgue 측정 값을 정의했습니다.

실제적으로 단순히 관찰하는 것만으로도 Lebesgue 측정 가능 세트 만 고려하여 관심있는 문제에 맞서고 있다는 관찰을 할 수 있습니다.

하지만 잠깐만 요. 측정 불가능한 세트?

나는 이것에 대해 조금만 알아볼 수있을 것 같네요. 그러나 Banach-Tarski 역설 (때로는 ” 태양과 완두콩 ” 역설)은 우리에게 도움이 될 수 있습니다.

3 차원 공간에 단단한 공이 주어지면 공이 유한 한 수로 분해됩니다. 분리 된 부분 집합은 원래 공의 두 개의 동일한 복사본을 생성하기 위해 다른 방식으로 다시 결합 할 수 있습니다. 사실, 재 조립 프로세스는 모양을 변경하지 않고 조각을 이동하고 회전하는 것만 포함합니다. 그러나 조각 자체는 일반적인 의미에서 ” 솔리드 “가 아니라 점의 무한한 산란입니다. 재구성은 최소 5 개의 조각으로 작동 할 수 있습니다.

정리의 더 강력한 형태는 두 개의 ” 합리적 ” 단단한 물체 (예 : 작은 공 및 거대한 공), 둘 중 하나를 다른 것으로 재 조립할 수 있습니다. 이것은 종종 비공식적으로 ” 완두콩을 다져서 태양으로 재 조립할 수 있고 ” 완두콩과 태양의 역설 “. 1

$ \ mathbb {R} ^ 3 $ 에서 확률로 작업하고”기하 적 확률 “을 사용한다면 측정 (볼륨 비율), 어떤 이벤트의 확률을 계산하려고합니다. 그러나 당신은 공간의 세트를 재 배열하여 부피를 변경할 수 있기 때문에 그 확률을 정확하게 정의하는 데 어려움을 겪을 것입니다. 확률이 부피에 따라 달라진다면 세트의 부피를 태양의 크기 또는 크기로 변경할 수 있습니다. 완두콩이면 확률도 변합니다. 따라서 어떤 이벤트에도 단일 확률이 지정되지 않습니다. 더 나쁜 것은 $ S \ in \ Omega $ 와 같이 재 배열 할 수 있습니다. $ S $ 의 볼륨에 $ V (S) > V가 있음 (\ Omega) $ : 기하학적 확률 측정 값이 확률 $ P (S) > 1 $ , 확률이 측정 값 1을 필요로하는 Kolmogorov 공리를 명백히 위반 한 경우

이 역설을 해결하기 위해 다음 네 가지 양보 중 하나를 만들 수 있습니다.

1. 세트의 부피는 회전 할 때 변경 될 수 있습니다.
2. 분리 된 두 결합의 부피 세트는 볼륨의 합과 다를 수 있습니다.
3. ZFC (Zermelo-Fraenkel 세트 이론)의 공리와 ZFC (선택 공리)를 변경해야 할 수도 있습니다.
4. 일부 세트는 ” 측정 불가 ” 태그가 지정되고 세트가 “인지 확인해야합니다. 볼륨에 대해 이야기하기 전에 div> 측정 가능 ”

옵션 (1)은 “확률 정의를 사용하는 데 도움이되지 않으므로 종료되었습니다.” 옵션 (2)는 두 번째 Kolmogorov 공리를 위반하므로 종료되었습니다. 옵션 (3)은 ZFC가 생성하는 것보다 훨씬 많은 문제를 해결하기 때문에 끔찍한 아이디어처럼 보입니다.그러나 옵션 (4)는 매력적으로 보입니다. 측정 할 수있는 것과 측정 할 수없는 것에 대한 이론을 개발한다면이 문제에서 잘 정의 된 확률을 갖게 될 것입니다! 이것은 우리가 이론을 측정하고 우리의 친구 인 $ \ sigma $ -algebra로 돌아갑니다.

댓글

• 답변 해 주셔서 감사합니다. $ \ mathcal {L} $은 Lebesque measurable을 의미합니까? 저는 ‘ 신앙에 대한 귀하의 답변을 +1하겠습니다.하지만 ‘ 수학 수준을 몇 단계 낮출 수 있다면 정말 감사하겠습니다. .. 🙂
• (+ 1) 좋은 점! 또한 Borel-Kolmogorov 역설 에서 볼 수 있듯이 측정 및 $ \ sigma $ 대수없이 셀 수없는 공간에 대한 조건부 분포 조건부 분포를 조정하고 도출하는 것이 상당히 복잡해집니다. .
• @Xi ‘ 친절한 말에 감사드립니다! 그것은 정말로 많은 것을 의미합니다. 저는이 글을 쓰는 시점에서 Borel-Kolmogorov 역설에 대해 잘 알지 못했지만 ‘ 일부 읽기를하고 제가 발견 한 내용을 유용하게 추가 할 수 있는지 확인하겠습니다.

기본 아이디어 (매우 실용적인 용어로)는 간단합니다. 설문 조사를하는 통계학 자라고 가정 해 보겠습니다. 설문 조사에 나이에 대한 몇 가지 질문이 있지만 응답자에게 $ [0,18), [18, 25), [25,34), \ dots $와 같은 특정 간격으로 자신의 나이를 식별하도록 요청한다고 가정 해 보겠습니다. 다른 질문은 잊어 버리자. 이 설문지는 “이벤트 공간”, 귀하의 $ (\ Omega, F) $를 정의합니다. 시그마 대수 $ F $는 설문지에서 얻을 수있는 모든 정보를 코드화하므로 연령 질문의 경우 (지금은 다른 모든 질문은 무시 함) $ [18,25) $ 간격을 포함하지만 다른 간격은 포함하지 않습니다. $ [20,30) $와 같이, 설문지에서 얻은 정보로는 다음과 같은 질문에 답할 수 없기 때문에 응답자의 연령이 $ [20,30) $에 속합니까? 보다 일반적으로, 세트는 샘플 포인트가 해당 세트에 속하는지 여부를 결정할 수있는 경우에만 이벤트 ($ F $에 속함)입니다.

이제 두 번째 이벤트 공간 $ (\ Omega “, F”) $의 값을 사용하여 랜덤 변수를 정의 해 보겠습니다. 예를 들어, 이것을 일반적인 (Borel) 시그마-대수와 함께 실제 라인으로 간주하십시오. 그러면 랜덤 변수가 아닌 (관심없는) 함수는 $ f입니다. $ “respondents age is a prime number”, 나이가 소수이면 1로 코딩하고 그렇지 않으면 0으로 코딩합니다. 아니요, $ f ^ {-1} (1) $는 $ F $에 속하지 않으므로 $ f $는 랜덤 변수가 아닙니다. 그 이유는 간단합니다. 응답자의 나이가 소수인지 아닌지 설문지의 정보로 결정할 수 없습니다. 이제 더 흥미로운 예를 직접 만들 수 있습니다.

왜 우리는 $ F $가 필요합니까? 시그마 대수? 데이터에 대해 “응답자 번호 3 18 세 이상”, “응답자 3은 여성”이라는 두 가지 질문을하고 싶다고 가정 해 보겠습니다. 질문이 두 가지 이벤트를 정의하도록합니다 ($ F $로 설정) $ A $ 및 $ B $, 해당 질문에 “예”응답을 제공하는 샘플 포인트 집합입니다. 이제 두 질문의 결합으로 “18 세 이상의 여성 응답자 3″입니다. 이제이 질문은 다음과 같이 표현됩니다. 집합 교차점 $ A \ cap B $. 유사한 방식으로 분리는 집합 조합 $ A \ cup B $로 표시됩니다. 이제 셀 수있는 교차점과 조합에 대해 폐쇄성을 요구하면 셀 수있는 접속사 또는 분리를 요청할 수 있습니다. 그리고 질문을 부정하면 이것은 우리에게 시그마 대수를 제공합니다.

저는 이런 종류의 소개를 아주 좋은 Peter Whittle의 책 “기대를 통한 확률”(Springer).

편집

댓글에서 whubers 질문에 대답하려고 시도했습니다. “하지만 마지막에이 주장을 접했을 때 약간 당황했습니다.”셀 수있는 교차로에 대해 폐쇄성을 요구하고 노조는 우리가 셀 수있는 접속사 또는 분리를 요청할 수있게합니다. “이것이 문제의 핵심 인 것 같습니다. 왜 이렇게 무한히 복잡한 사건을 만들고 싶어할까요?”글쎄, 왜? 편의상 동전 던지기와 같이 이제 이산 확률로 제한합니다. 동전을 유한 횟수로 던지면 동전을 사용하여 설명 할 수있는 모든 이벤트는 “head on throw $ i $”유형의 이벤트를 통해 표현할 수 있습니다. “,”던지기 $ i $, 그리고 한정된 수의 “and”또는 “or”. 따라서이 상황에서는 $ \ sigma $ -algebras가 필요하지 않습니다. 집합의 대수만으로도 충분합니다. 그래서, 이런 맥락에서 $ \ sigma $-대수가 발생하는 상황이 있습니까? 실제로는 주사위를 한정된 횟수로만 던질 수 있다고하더라도 던지는 횟수 인 $ n $이 무한히 커지면 한계 정리를 통해 확률에 대한 근사치를 개발합니다. 따라서이 경우에 대한 중심 극한 정리의 증명 인 Laplace-de Moivre 정리를 살펴보십시오. 대수만을 사용하여 근사치를 통해 증명할 수 있으며 $ \ sigma $ -algebra는 필요하지 않습니다. 큰 숫자의 약한 법칙은 Chebyshev의 부등식을 통해 증명할 수 있으며,이를 위해서는 유한 $ n $ 케이스에 대한 분산 만 계산하면됩니다. 그러나 큰 숫자 , 우리가 증명하는 사건은 확률이 1임을 증명하는 것은 무수히 많은 “and”와 “or”를 통해서만 표현 될 수 있습니다. $ \ sigma $ -algebras가 필요합니다.

그러나 우리는 정말로 많은 수의 강력한 법칙이 필요합니까? 하나의 답변 에 따르면 아닐 수도 있습니다.

어떤 의미에서 이것은 큰 숫자의 강 법과 약한 법칙 사이에 매우 큰 개념적 차이를 나타냅니다. 강법은 실제 수렴에 관한 것이기 때문에 직접적으로 경험적으로 의미가 없습니다. 경험적으로 확인되었습니다. 반면에 약한 법칙은 $ n $와 함께 증가하는 근사 품질에 관한 것입니다. 유한 $ n $에 대한 수치 적 경계가 있으므로 더 경험적으로 의미가 있습니다.

따라서 이산 법의 모든 실제 사용은 확률은 $ \ sigma $ -algebras 없이도 할 수 있습니다. 지속적인 경우에 대해서는 잘 모르겠습니다.

댓글

• 이 답변이 $ \ sigma $ -fields가 왜 그런지 보여주지 않는다고 생각합니다. ‘ 필요한. $ P (A) \ in [20,30) $에 답할 수있는 편리함은 수학에 의해 정해진 것이 아닙니다. ‘ 다소 우스꽝스럽게도 수학은 통계 학자에게 편리한 ‘ ‘에 신경 쓰지 않는다고 말할 수 있습니다. 실제로 $ P (A) \ in [20,30) \ le P (A) \ in [18,34) $는 잘 정의되어 정의되어 있으므로 ‘이 예가 사용자가 원하는 것을 설명한다는 사실조차 명확하지 않습니다.
• 우리는 ‘ ” $ \ sigma $ ” ” $ \ sigma $ -algebra “, Kjetil. 사실, 확률에 대한 기본적인 모델링과 추론의 경우, 작업 통계학자는 계산할 수없는 합집합이 아닌 유한 하에서 만 닫힌 집합 대수를 사용할 수있는 것으로 보입니다. Antoni ‘ 질문의 어려운 부분은 셀 수없이 많은 무한 조합에서 폐쇄가 필요한 이유에 관한 것입니다. 이것이 주제가 초등이 아닌 측정 이론이되는 시점입니다. 조합론. (저는 Aksakal이 최근 삭제 된 답변에서도 그 점을 지적했음을 알 수 있습니다.)
• @whuber : 물론 맞습니다.하지만 제 답변에서는 왜 대수 (또는 $ \ sigma $ -algebras)는 정보를 전달할 수 있습니다. 그것은 왜 그 alghebraic 구조가 확률에 들어가고 다른 것이 아닌지를 이해하는 방법입니다. 물론 user777의 답변에 설명 된 기술적 이유도 있습니다. 그리고 물론 확률을 더 간단하게 할 수 있다면 모두가 행복 할 것입니다 …
• 당신의 주장은 타당하다고 생각합니다. 하지만 마지막에 약간 깜짝 놀랐습니다.이 주장을 접했을 때 : ” 셀 수있는 교차점과 조합에 대해 폐쇄성을 요구하면 셀 수있는 접속사 또는 분리를 요청할 수 있습니다. ” 이것이 문제의 핵심 인 것 같습니다. 왜 이렇게 무한히 복잡한 이벤트를 구성하고 싶어할까요? 이에 대한 좋은 답변은 나머지 게시물을 더욱 설득력있게 만들 것입니다.
• 재 실용 : 재무 수학에서 사용되는 확률 및 측정 이론 (확률 적 미분 방정식, Ito 적분, 대수 여과, 등) 시그마 대수 없이는 불가능한 것처럼 보입니다. (이미 귀하의 답변에 투표했기 때문에 ‘ 수정 사항을 찬성 할 수 없습니다!)

확률 론자들에게 $ \ boldsymbol {이 필요한 이유 \ sigma} $ -algebra?

$ \ sigma $ -algebras의 공리는 확률에 따라 자연스럽게 동기 부여됩니다. 모든 벤 다이어그램 영역 (예 : $ A \ cup B $ , $ (A \ cup B) \ cap C $ . 이 기억에 남는 답변 을 인용하려면 :

첫 번째 공리는 $ \ oslash, X \ in \ sigma $ . 아무 일도 일어나지 않거나 ( $ 0 $ ) 어떤 일이 일어날 확률 ( $ 1 $ )은 항상 알고 있습니다.

두 번째 공리는 보완 아래에 닫힙니다. 어리석은 예를 들어 보겠습니다. 다시, $ X = \ {H, T \} $ 를 사용한 동전 던지기를 고려해보세요. 이 플립에 대한 $ \ sigma $ 대수가 $ \ {\ oslash, X, \ {H라고 말하는 것처럼 가정합니다. \} \} $ . 즉, 나는 아무것도 일어나지 않을 확률, 어떤 일이 일어나고 앞면의 확률을 알고 있지만 나는 꼬리의 확률을 알지 못합니다. 당신은 당연히 나를 바보라고 부를 것입니다. 앞면의 확률을 안다면, 당신은 꼬리의 확률을 자동으로 알 수 있습니다. 어떤 일이 일어날 확률을 안다면, 그것이 일어나지 않을 확률을 아는 것입니다 (보완)!

마지막 공리는 셀 수있는 합집합으로 닫힙니다. 또 다른 어리석은 예입니다. 주사위 굴림 또는 $ X = \ {1,2,3,4,5,6 \} $ 를 생각해보십시오. 이에 대한 $ \ sigma $ 대수는 $ \ {\ oslash, X, \ {1 \}입니다. \ {2 \} \} $ . 즉, $ 1 $ 를 굴 리거나 $ 2 $ ,하지만 $ 1 $ 또는 $ 2 $를 롤링 할 확률을 모릅니다. . 다시 말하지만, 당신은 정당하게 나를 바보라고 부를 것입니다 (나는 이유가 분명하기를 바랍니다). 세트가 분리되지 않았을 때 어떤 일이 발생하고, 셀 수없는 조합에서 일어나는 일은 조금 더 지저분하지만 몇 가지 예를 생각해 볼 수 있기를 바랍니다.

유한 한 $ \ boldsymbol {\ sigma} $ -additivity 대신 셀 수있는 것이 필요한 이유는 무엇입니까?

음, 완전히 깨끗한 것은 아닙니다. 컷 케이스이지만 확실한 이유 가 있습니다.

확률 론자들에게 측정이 필요한 이유는 무엇입니까?

이 시점에서 , 당신은 이미 측정에 대한 모든 공리를 가지고 있습니다. $ \ sigma $ -additivity, non-negativity, null empty set 및 $ \ sigma $ 의 도메인에서 스팬>-대수. 측정 값으로 $ P $ 를 요구할 수도 있습니다. 측정 이론은 이미 정당화되었습니다 .

사람들은 측정 이론이 필요한 이유를 설명하기 위해 Vitali의 세트와 Banach-Tarski를 가져 오지만 저는 그것이 오해의 소지가 있습니다 . Vitali의 집합은 확률 공간이 필요하지 않은 변환 불변 (사소하지 않은) 측정 값에 대해서만 사라집니다. 그리고 Banach-Tarski는 회전 불변이 필요합니다. 분석은 사람들이 관심을 갖지만 확률 론자들은 실제로 하지 않습니다 .

사유 확률 이론에서 측정 이론의 d être 는 이산 및 연속 RV의 처리를 통합하는 것이며, 또한 혼합 된 RV와 단순히 둘 다 아닌 RV를 허용합니다.

나는 항상 다음과 같이 전체 이야기를 이해했습니다.

실제 줄 $ \ mathbb {R} $ 과 같은 공백으로 시작합니다. 측정 값을이 공간의 하위 집합에 적용하려고합니다. , 예를 들어 길이를 측정하는 Lebesgue 측정 값을 적용합니다. 예는 하위 집합의 길이를 측정하는 것입니다. $ [0, 0.5] \ cup [0.75, 1] $ 이 예에서 답은 간단히 $ 0.5 + 0.25 = 0입니다.75 $ 는 상당히 쉽게 얻을 수 있습니다. 실제 라인의 모든 하위 집합에 Lebesgue 측정 값을 적용 할 수 있는지 궁금해지기 시작합니다.

안타깝게도 작동하지 않습니다. 단순히 수학을 분해하는 병리학적인 집합이 있습니다. . 이러한 세트에 Lebesgue 측정을 적용하면 일관성없는 결과를 얻을 수 있습니다. 말 그대로 측정 할 수 없기 때문에 측정 할 수없는 세트라고도하는 이러한 병리학 세트 중 하나의 예로 Vitali 세트가 있습니다.

이러한 미친 집합을 피하기 위해 측정 가능한 집합이라고하는 더 작은 하위 집합 그룹에 대해서만 작동하도록 측정을 정의합니다. 이것들은 우리가 조치를 취할 때 일관되게 행동하는 세트입니다. 조합과 결합하거나 보완하는 것과 같이 이러한 집합을 사용하여 연산을 수행 할 수 있도록하려면 이러한 측정 가능한 집합이 서로간에 시그마 대수를 형성해야합니다. 시그마-대수를 형성함으로써 우리는 우리의 조치가 내부에서 작동 할 수있는 일종의 안전한 피난처 를 형성하는 동시에 조합 및 보완을 취하는 것과 같이 우리가 원하는 것을 얻기 위해 합리적인 조작을 할 수있게합니다. 이것이 측정 불가능한 집합을 피하면서 측정이 작동 할 영역을 그릴 수 있도록 시그마 대수가 필요한 이유입니다. 이러한 병리학 적 하위 집합이 아니라면 토폴로지 공간의 검정력 집합 내에서 작동하는 측정 값을 쉽게 정의 할 수 있습니다. 그러나 검정력 집합에는 모든 종류의 측정 불가능한 집합이 포함되어 있습니다. 측정 할 수있는 것을 골라서 시그마 대수를 형성하도록합니다.

보시다시피 시그마 대수는 측정 할 수없는 집합을 피하기 위해 사용되기 때문에 크기가 유한 한 집합은 사용하지 않습니다. ” 실제로 시그마 대수가 필요합니다. “샘플 공간 $ \ Omega = \ {1, 2, 3 \} $ 을 다루고 있다고 가정 해 보겠습니다. 컴퓨터에 의해 생성 된 난수의 결과 일 수 있습니다.) 이러한 샘플 공간에서 측정 불가능한 집합을 찾는 것은 거의 불가능하다는 것을 알 수 있습니다. 측정 값 (이 경우 확률 측정 값)은 생각할 수있는 $ \ Omega $ 의 하위 집합에 대해 잘 정의되어 있습니다. 그러나 실제 선과 같은 더 큰 샘플 공간에 대해 시그마-대수를 정의해야 합니다 , 그래야 측정 값을 분류하는 병리학 적 하위 집합을 피할 수 있습니다. 이론적 인 확률 프레임 워크에서 일관성을 유지하려면 유한 샘플 공간이 또한 확률 측정 값이 정의 된 시그마 대수를 형성해야합니다. 유한 샘플 공간의 시그마-대수는 기술적 인 반면 실제 라인과 같은 더 큰 샘플 공간의 시그마-대수는 필수 입니다.

우리가 사용하는 일반적인 시그마-대수 중 하나입니다. 실제 라인은 Borel 시그마 대수입니다. 가능한 모든 오픈 세트로 구성되며 시그마 대수의 세 가지 조건이 달성 될 때까지 보완 및 결합을 취합니다. “ $ \ mathbb {R} [0, 1] $ 에 대한 Borel 시그마-대수를 구성하는 경우 가능한 모든 공개 세트를 나열하여 구성합니다. $ (0.5, 0.7), (0.03, 0.05), (0.2, 0.7), … $ 등으로 상상할 수 있듯이 많은 가능성을 나열 할 수 있고 시그마 대수가 생성 될 때까지 보완과 합집합을 취합니다. 상상할 수있는 것처럼이 시그마 대수는 BEAST입니다. 상상할 수 없을 정도로 거대합니다.하지만 그에 대한 멋진 점은 모든 것을 배제한다는 것입니다. 수학을 무너 뜨린 미친 병리학 집합입니다. 이러한 미친 집합은 Borel 시그마 대수에는 아닙니다 . 또한이 집합은 우리가 필요로하는 거의 모든 하위 집합을 포함 할 수있을만큼 충분히 포괄적입니다. Borel sigma-algebra에 포함되지 않은 부분 집합입니다.

그래서 우리가 시그마-대수가 필요한 이유에 대한 이야기이고 Borel sigma-algebra는이 아이디어를 구현하는 일반적인 방법입니다.

댓글

• ‘ +1 ‘ 매우 읽기 쉽습니다. 그러나 ” 사람들이 Vitali 세트와 Banach-Tarski를 가져 와서 측정 이론이 필요한 이유를 설명하는 @Yatharth Agarwal의 답변과 모순되는 것 같지만 오해의 소지가있는 것 같습니다. Vitali의 집합은 확률 공간이 필요하지 않은 변환 불변 (사소하지 않은) 측정 값에 대해서만 사라집니다. 그리고 Banach-Tarski는 회전 불변이 필요합니다. 분석은 사람들이 관심을 갖지만 확률 론자들은 사실 그렇지 않습니다. “. 그것에 대해 생각해 보셨나요?
• +1 (특히 ” 안전한 피난처 ” 은유!) . @Stop 귀하가 언급 한 답변에는 실제 내용이 거의 없기 때문에 몇 가지 의견 일뿐입니다. ‘별로 고려하거나 토론 할 가치가 없습니다. IMHO.