대칭 분포의 정의는 무엇입니까? 누군가는 $ X $ 인 경우에만 대칭 분포에서 임의 변수 $ X $가 나왔다고 말했습니다. $ -X $는 동일한 분포를 가지고 있습니다. 그러나이 정의는 부분적으로 사실이라고 생각합니다. $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ {2}) $ 및 $ \ mu \ neq0 $에 대한 반례를 제시 할 수 있기 때문입니다. 분명히 대칭 분포가 있지만 $ X $와 $ -X $는 분포가 다릅니다. 맞나요?이 질문에 대해 생각해 본 적이 있나요? 대칭 분포의 정확한 정의는 무엇인가요?
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- " 배포는 대칭입니다. ", 어떤 점이 대칭인지 지정해야합니다. 제시 한 정규 분포의 경우 대칭은 $ \ mu $ 정도입니다. 이 경우 $ X- \ mu $ 및 $-(X- \ mu) $는 동일한 분포를 갖습니다. 밀도 측면에서 다음과 같이 표현할 수 있습니다. $ f $는 $ f (\ mu-x) = f (\ mu + x) $이면 $ \ mu $에 대해 대칭입니다. BTW, 답변 중 하나에 만족할 때 답변을받는 것이 매너입니다.
- 예, 우리는이 질문에 대해 생각했습니다. 대칭은 일반적으로 $ 0 $에 대해 대칭을 의미하며, 추가 반례를 방지하기 위해 분포가 대칭 이라는 주장은 누적 확률 분포 함수 에 대해 사실이 아닙니다. " 반례 "는 $ 0 $ 지점이 아니라 $ \ mu \ neq 0 $ 지점에 대해 대칭을가집니다.
- @Dilip 정의가 어떤 것을 설명하는 한 가지 방법에 의존하지만 그 정의가 그 어떤 것의 내재적 속성으로 보일 수있는 경우 정의를 다른 에 적용하는 것은 의미가 없습니다. 설명의 형태. 이 경우 대칭은 배포 의 속성이지만 해당 배포에 대한 모든 설명 (PDF 및 CDF 포함)이 " 대칭 " 같은 방식으로. PDF의 대칭성을 CDF에 적용함으로써 귀하의 의견은 질문을 명확하게하기보다는 혼란스럽게 만듭니다.
- shijing, @Procrastinator는 귀하가 어떤 답변도 받아들이지 않고 많은 질문을하는 것을 관찰했습니다. 이 사이트의 작동 방식에 익숙하지 않을 수 있습니다. 오해를 없애기 위해 FAQ의 관련 부분 을 끝까지 읽어 주시겠습니까? 몇 분 밖에 걸리지 않으며 지침을 따르면 사이트의 가치를 높일 수 있습니다.
- @whuber CDF는 배포 라는 단어가 사용되는 몇 안되는 설명 중 하나입니다. > 실제로 이름에서 발생하고 대칭 속성이 CDF에 적용되지 않는다는 것을 명확히하려고했습니다.
Answer
간단히 말하면 $ X $와 $ 2aX $가 실수 $ a $에 대해 동일한 분포를 가질 때 $ X $는 대칭입니다. 그러나 완전히 정당한 방식으로이 문제에 도달하려면 몇 가지 우회와 일반화가 필요합니다. 왜냐하면 많은 암시 적 질문을 제기하기 때문입니다.”대칭 “의 이 정의가 왜 그런가요? 다른 종류의 대칭이있을 수 있습니까? 분포와 대칭 사이의 관계는 무엇이며, 반대로 “대칭”과 그 대칭을 가질 수있는 분포 사이의 관계는 무엇입니까?
문제의 대칭은 실제 라인. 모두는 일정한 $ a $에 대해
$$ x \ to 2a-x $$
양식입니다.
그러므로 $ X $가 적어도 하나의 $ a $에 대한이 대칭. 그러면 대칭은
$$ \ Pr [X \ ge a] = \ Pr [2a-X \ ge a] = \ Pr [X \ le a] $$
를 의미합니다. $ a $가 $ X $의 중앙값 임을 보여줍니다. 마찬가지로 $ X $에 기대 값이있는 경우 $ a = E [X] $ 바로 뒤에옵니다. 따라서 일반적으로 $ a $를 쉽게 고정 할 수 있습니다. 그렇지 않더라도 $ a $ (따라서 대칭 자체)는 여전히 고유하게 결정됩니다 (존재하는 경우).
이를 보려면 $ b $를 대칭 중심이라고합시다. 그런 다음 두 대칭을 모두 적용하면 $ X $가 번역 $ x \ to x + 2 (b-a) $에서 불변임을 알 수 있습니다. $ b-a \ ne 0 $ 인 경우 $ X $의 분포는 $ b-a $의 기간을 가져야합니다. 이는 정기 분포의 총 확률이 $ 0 $이거나 무한대이기 때문에 불가능합니다. 따라서 $ ba = 0 $는 $ a $가 고유함을 나타냅니다.
보다 일반적으로 $ G $는 실제 라인에 충실하게 행동하는 그룹입니다 (그리고 모든 Borel 서브 세트에 대한 확장에 의해), 우리는 $ X $ 분포가 ($ G $와 관련하여) “대칭”이라고 말할 수 있습니다.
$$ \ Pr [X \ in E] = \ Pr [X \ in E ^ g] $$
모든 측정 가능한 집합 $ E $ 및 요소 $ g \ in G $, 여기서 $ E ^ g $는 $ g $의 동작에 따른 $ E $의 이미지를 나타냅니다.
예를 들어, $ G $는 여전히 $ 2 $ 주문 그룹이지만 지금은 그것의 행동은 실수의 역수를 취하는 것이다 (그리고 그것이 $ 0 $를 고치도록한다). 표준 로그 정규 분포는이 그룹에 대해 대칭입니다. 이 예는 좌표의 비선형 재 표현이 발생한 반사 대칭의 인스턴스로 이해할 수 있습니다. 이것은 실제 라인의 “구조”를 존중하는 변환에 초점을 맞추는 것을 제안합니다. 확률에 필수적인 구조는 Borel 세트 및 Lebesgue 측정과 관련되어야하며, 둘 다 두 지점 사이의 (Euclidean) 거리 로 정의 할 수 있습니다.
거리 보존 지도는 정의에 따라 등각 투영법 입니다. 실제 선의 모든 등거리가 반사에 의해 생성된다는 것은 잘 알려져 있습니다 (약간 관련이 있지만 쉽게 증명할 수 있음). 대칭이 일부 등거리 그룹에 대해 대칭 을 의미한다는 것을 이해하면 그룹은 최대 한 번의 반사에 의해 생성되어야하며 반사는 에 의해 고유하게 결정된다는 것을 확인했습니다. 모든 대칭 분포. 이러한 의미에서 앞의 분석은 철저하고 “대칭”분포의 일반적인 용어를 정당화합니다.
부수적으로 다변량 예제 는 “구형”분포를 고려하여 제공됩니다. 이것은 모든 회전에서 변하지 않습니다 (일부 고정 된 중심에 비해). 이것들은 1 차원 사례를 일반화합니다. 실제 선의 “회전”은 반사 일뿐입니다.
마지막으로 표준 구성 (그룹 평균화)이 방법을 제공한다는 점을 지적 할 가치가 있습니다. 대칭 분포의 부하를 생성합니다. 실제 선의 경우 $ a $ 지점에 대한 반사에 의해 $ G $가 생성되도록하여 식별 요소 $ e $와이 반사 $ g $로 구성되도록합니다. $ X $를 모든 배포로 둡니다. 다음을 설정하여 $ Y $ 분포 정의
$$ {\ Pr} _Y [E] = \ frac {1} {| G |} \ sum_ {g \ in G} {\ Pr} _X [ E ^ g] = ({\ Pr} _X [E] + {\ Pr} _X [E ^ g]) / 2 $$
모든 Borel 세트 $ E $. 이것은 명백히 대칭 적이며 분포로 남아 있는지 쉽게 확인할 수 있습니다 (모든 확률은 음수가 아니고 총 확률은 $ 1 $입니다).
그룹 평균화 과정을 설명하는 대칭 감마 분포 ($ a = 2 $ 중심)의 PDF가 금색으로 표시됩니다. 원래 감마는 파란색이고 반사는 빨간색입니다.
댓글
- (+ 1) 다 변수 설정에서 대칭의 정의를 추가하고 싶습니다. 는 고유하지 않습니다.이 책 에는 대칭 다변량 분포에 대한 8 가지 정의가 있습니다.
- @Procrastinator I ' 유일하지 않은 " " AFAIK의 의미가 궁금합니다. " 대칭 "은 궁극적으로 공간에 대한 그룹 작업을 나타냅니다. 흥미로울 것입니다. 통계 학자들이 유용하다고 판단한 다양한 행동 유형을 확인합니다. 그 책은 절판되어 웹에서 구할 수 없기 때문에 그 책에서 고려한 두 가지 다른 종류의 대칭에 대한 간단한 예를 들어 주시겠습니까?
- 당신의 직감이 맞습니다. 이것은 통계적 특징과 관련이 있습니다. : 중앙 대칭 $ {\ bf X}-\ mu \ stackrel {d} {=}-({\ bf X}-\ mu) $; 구형 대칭 $ X- \ mu \ stackrel {d} {=} {\ bf O} ({\ bf X}-\ mu) $ 모든 직교 행렬 $ {\ bf O} $. 나머지는 기억 나지 않지만 요즘에는 책을 빌려 보겠습니다. 이 링크 에서 일부를 찾을 수 있습니다.
- @Procrastinator 감사합니다. 제공하는 두 가지 예는 모두 제가 제공 한 일반 정의의 특수한 경우입니다. 중앙 대칭은 두 요소의 등거리 그룹을 생성하고 구형 대칭은 모든 등거리의 하위 그룹이기도합니다. 링크의 " 타원 대칭 "은 아핀 변환 후 구형 대칭이므로 대 수법으로 지적한 현상을 예시합니다. 예. " 각 대칭 "은 다시 등거리 그룹을 형성합니다. " 반 공간 대칭 " [sic]은 대칭이 아니지만 그로부터 이산적인 출발을 허용합니다. that ' s new.
답변
답은 의미에 따라 다릅니다. 대칭. 물리학에서 대칭이라는 개념은 기본이며 매우 일반적이되었습니다. 대칭은 시스템을 변경하지 않는 모든 작업입니다.확률 분포의 경우 동일한 확률 $ P (X) = P (X “) $를 반환하는 모든 연산 $ X \ to X”$로 변환 될 수 있습니다.
첫 번째 예의 간단한 경우에서는 최대에 대한 반사 대칭을 참조하고 있습니다. 분포가 정현파라면 $ X \ to X + \ lambda $ 조건을 가질 수 있습니다. 여기서 $ \ lambda $는 파장 또는주기입니다. 그러면 $ P (X) = P (X + \ lambda) $이고 여전히 대칭의보다 일반적인 정의에 적합합니다.