구의 특정 지점 (중심에서 떨어진 길이 $ r $)의 전기장을 계산하는 데이 질문을했습니다. 여기서 전하 밀도 방정식으로 주어집니다. 이 질문에 대한 해결책을 확인했을 때 전하 밀도 방정식을 사용하여 구형 $ dV $의 원소 부피에 대한 원소 전하 $ dQ $를 계산한다고 말했습니다. $ r $와 $ r + dr $ 거리에서 구 내 두 개의 동심 껍질 사이의 부피는 다음과 같습니다.
$$ dV = \ frac {4 \ pi (r + dr) ^ 3} {3}-\ frac {4 \ pi (r) ^ 3} {3} = \ frac {4 \ pi (3r ^ 2dr + 3rdr ^ 2 + dr ^ 3))} {3}. $$
이제 이것이 $ 4 \ pi r ^ 2dr $와 같은 이유는 무엇입니까?
코멘트
- 이 계산에 사용 된 휴리스틱은 다음과 같습니다. , $ dr $는 매우 작기 때문에 제곱 또는 입 방화하면 훨씬 작아집니다. 따라서 $ 3rdr ^ 2 $ 및 $ dr ^ 3 $라는 용어는 무시해도 좋으며 그냥 삭제할 수 있습니다.
- 이것은 물리학과는 전혀 관련이 없습니다! 수학 q & 웹 사이트에서 문의하세요. 사실 @sourisse가 정답을주었습니다.
- 실제로 물리학과 상당히 관련이 있다고 생각합니다. 물리학에서 많이 사용되는 근사치 / 방법 / 도구입니다. 정전기, 중력, 고체 상태 등
- BTW $ 4 \ pi r ^ 2 dr $는 반경 $ r $ 및 두께 $ dr $를 가진 구형 쉘의 부피로 생각할 수도 있습니다. 면적에 두께를 곱한 값
- @FraSchelle math.stackexchange에서이 질문을했다면 여기로 안내 될 것 같습니다 …
답변
Sourisse의 의견은 귀하의 질문에 대한 답변이지만 기록을 위해 여기에서 Wiki 답변으로 확장하겠습니다. 이것은 물리학 자의 대답입니다. 현재 모든 수학자는 시선을 피하는 것이 현명 할 것입니다.
볼륨 요소가 다음과 같다고 말할 때 기억하십시오.
$$ dV = 4 \ pi r ^ 2 dr \ tag {1} $$
우리는 $ dr \ rightarrow 0 $의 한도에 대해 이야기하고 있습니다. $ dr $이 매우 작 으면 $ dr ^ 2 $ 는 매우 작고 $ dr ^ 3 $는 극도로 매우 작습니다. 따라서 $ dr \ rightarrow 0 $의 한계에서는 더 높은 거듭 제곱을 무시할 수 있으며 전체 방정식이 방정식 (1)로 바뀝니다.
댓글
- 이건 우리에게 배운 것과 동일하지만 $ (dr) ^ 2 $ 이상의 용어를 사용하는 방법이 있습니까? 계산이나 통합의 힘이 있습니까? 감사합니다!
답변
$ v = \ dfrac {4} { 3} \ pi r ^ 3 $
$ r $에 대한 차별화
$ \ dfrac {dv} {dr} = 4 \ pi r ^ 2 $
$ dv = 4 \ pi r ^ 2 dr $
댓글
- 맞습니다! 이것은 일종의 요소입니다. 입력 " 트릭 "을 너무 자주 잊었습니다. 이런 식으로 $ 4 \ pi $에서 $ \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi $ 요소를 얻을 수 ' 안타깝게도