Var (XY), X와 Y가 독립 랜덤 변수 인 경우 [중복]

이 질문에 이미 답변이 있습니다 :

이것에 대해 스스로 생각이 있습니까? $ \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y) $는 잘못된 것입니다. 거의 확실하게 0이 아닌 $ X $를 고려하십시오.
아니요. Var (XY) = E (X ^ 2 Y ^ 2)-(E (XY)) ^ 2 및 E (XY) = E (X) E (Y)는 X, Y가 독립적이지만 X에 대해 전혀 모릅니다. ^ 2와 Y ^ 2는 독립적이거나 그렇지 않습니다.
$ X $와 $ Y $가 독립적이면 $ X ^ 2 $와 $ Y ^ 2 $도 독립적이고 $ E [X ^ 2Y ^ 2] = E [X ^ 2] E [Y ^ 2] $
일반 제품 사례 : stats.stackexchange.com/questions/52646 / … (질문에 2의 곱이 주어짐)
Glen_b 감사합니다

답변

Henry의 댓글을 따라 답을 얻을 수 있습니다. 그러나 답을 찾는 또 다른 방법은 다음과 같은 사실을 사용하는 것입니다. span class = “math-container”> $ X $ 및 $ Y $ 는 독립적이며 $ Y | X = Y $ 및 $ X | Y = X $ .

반복 된 기대치 및 분산 식

\ begin {align *} \ text {Var} (XY) & = \ text {Var} [\, \ text {E} (XY | X) \,] + \ text {E} [\, \ text {Var} (XY | X) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y | X) \,] + E [\, X ^ 2 \, \ text {Var} (Y | X ) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y) \,] + E [\, X ^ 2 \ , \ text {Var} (Y) \,] \\ & = E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} ( Y) E (X ^ 2) \ ,. \ end {align *}

$ E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) $는 정확할 수 있지만 이상하게도 $ E (Y ^ 2) \, \ text {Var} (X) + \ text {Var와 같이 비대칭입니다. } (Y) E (X) ^ 2 $가됩니다. $ \ text {Var} (X) E (Y) ^ 2 + \ text {Var} (Y) E (X) ^ 2 + \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y ) $는 더 자연스러운 반면 $ \ text {Var} (X) E (Y ^ 2) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2)-\ text {Var} (X) \ text {Var } (Y) $도 true 일 것입니다.
@Henry Well, $ E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2 $를 사용하면 $ Var (XY) = E (Y) ^ 2Var (X) + Var (Y) Var (X) + Var (Y) E (X) ^ 2 $. ' 대칭입니다.

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