이항 분포에서 파생 된 p의 분산을 어떻게 계산할 수 있습니까? n 개의 동전을 던지고 k 개의 앞면을 얻는다고 가정 해 봅시다. p를 k / n으로 추정 할 수 있지만 그 추정치의 분산을 어떻게 계산할 수 있습니까?
이에 관심이 있습니다. 시행 횟수가 다른 점을 비교할 때 비율 추정치의 분산 제어. n이 더 클 때 p 추정치가 더 확실하므로 추정치의 신뢰성을 모델링 할 수 있기를 원합니다.
미리 감사합니다!
예 :
- 40/100. p의 MLE는 0.4이지만 p의 분산은 얼마입니까?
- 4/10. MLE는 여전히 0.4이지만 추정치의 신뢰성이 떨어 지므로 p에 더 많은 분산이 있어야합니다.
답변
$ X $가 $ \ text {Binomial} (n, p) $이면 MLE $ p $의 $ \ hat {p} = X / n $입니다.
이항 변수는 $ n $ Bernoulli 랜덤 변수의 합으로 생각할 수 있습니다. $ X = \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i $ 여기서 $ Y_i \ sim \ text {Bernoulli} (p) $.
따라서 MLE $ \ hat {p} $의 분산을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
$$ \ begin {align *} \ text {Var} [\ hat {p} ] & = \ text {Var} \ left [\ dfrac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i \ right] \\ & = \ dfrac {1} {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ n Var [Y_i] \\ & = \ dfrac {1 } {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ np (1-p) \\ & = \ dfrac {p (1-p)} {n} \ end {align *} $$
따라서 $ n $가 클수록 MLE의 분산이 작아지고, 0 또는 1에 가까운 $ p $의 경우 더 작아짐을 알 수 있습니다. p $ $ p = 0.5 $ 일 때 최대화됩니다.
일부 신뢰 구간의 경우 이항 신뢰 구간
댓글
- 링크가 제가 찾고있는 '와 비슷하다고 생각하지만 p의 분산에 해당하는 값을 원합니다. 신뢰 구간에서 어떻게 얻을 수 있습니까?
- 당신의 질문에 더 가깝게 대답하기 위해 원래 대답을 편집했습니다.
- 분산 공식에 p가 필요하다는 것을 어떻게 처리합니까? p의 추정값 만 있습니까?
- $ arcsin (\ sqrt {\ hat {p}}) $와 같은 분산 안정화 변환 사용을 고려할 수 있으며 변환 된 변수의 분산은 다음과 같습니다. $ \ tfrac {1} {4n} $