주성분 분석, LDA 등과 같은 차원 축소 기술에서 종종 용어 매니 폴드가 사용됩니다. 비 기술적 용어로 매니 폴드 란 무엇입니까? $ x $ 포인트가 내가 축소하려는 구에 속하고 노이즈가있는 경우 $ y $와 $ x $ 및 $ y $가 서로 관련이없는 경우 실제 포인트 $ x $는 각각에서 멀리 떨어져 있습니다. 다른 소음 때문에. 따라서 노이즈 필터링이 필요합니다. 따라서 차원 축소는 $ z = x + y $에서 수행됩니다. 따라서 여기에서 $ x $와 $ y $는 다른 매니 폴드에 속합니까?
저는 로봇 비전에서 자주 사용되는 포인트 클라우드 데이터를 작업하고 있습니다. 포인트 클라우드는 획득시 노이즈로 인해 노이즈가 많으며 치수 축소 전에 노이즈를 줄여야합니다. 그렇지 않으면 잘못된 치수 축소가 발생합니다. 그렇다면 여기에서 다양한 요소는 무엇이며 $ x $가 속한 같은 여러 요소의 일부인 노이즈는 무엇입니까?
댓글
- 그것 ‘ 수학적으로 정확하지 않으면 용어를 올바르게 사용할 수 없습니다.
답변
기술적이지 않은 용어로 매니 폴드는 유한 한 차원을 갖는 연속적인 기하학적 구조입니다. 선, 곡선, 평면, 표면, 구, 공, 원통, 원환, “블럽”… 다음과 같습니다. 
수학자는 가능한 모든 유한 차원 $ n $에 대해 “곡선”(차원 1) 또는 “표면”(차원 2) 또는 3D 개체 (차원 3)를 말합니다. 1 차원 매니 폴드는 단순히 곡선 (선, 원 …)입니다. 2 차원 매니 폴드는 단순히 표면 (평면, 구, 원환, 원통 …)입니다. 3 차원 매니 폴드는 “전체 개체”(공, 전체 큐브, 우리 주변의 3D 공간 …)입니다.
다양체는 종종 방정식으로 설명됩니다. $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $와 같은 점 세트 $ (x, y) $는 1 차원 다양체 (원)입니다.
다양체는 모든 곳에서 동일한 차원을 갖습니다. 예를 들어, 구 (치수 2)에 선 (치수 1)을 추가하면 결과 기하학적 구조는 다양체가 아닙니다.
지속적인 점 집합에 대한 자연스러운 직감을 설명하기위한 메트릭 공간 또는 토폴로지 공간의 일반적인 개념과 달리 매니 폴드는 한정된 차원 벡터 공간과 같이 국부적으로 단순한 것입니다. \ mathbb {R} ^ n $. 이것은 종종 기하학적 구체적인 의미를 갖지 못하는 추상적 인 공간 (무한 차원 공간과 같은)을 배제합니다.
벡터 공간과 달리 매니 폴드는 다양한 모양을 가질 수 있습니다. Klein bottle 또는 실제 투영 평면 .
통계, 기계 학습 또는 응용 수학에서 일반적으로 “다양체”라는 단어는 “선형 부분 공간과 유사”를 말하는 데 자주 사용되지만 곡선 일 수도 있습니다. . $ 3x + 2y-4z = 1 $와 같은 선형 방정식을 작성할 때마다 선형 (아핀) 부분 공간 (여기서는 평면)을 얻습니다. 일반적으로 방정식이 $ x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 7 $와 같이 선형이 아닌 경우 이것은 다양체 (여기서는 늘어난 구)입니다.
예 : “ 다양한 가설 “은”고차원 데이터는 고차원 노이즈가 추가 된 저 차원 다기관의 점입니다 “라고 말합니다. 2D 노이즈가 추가 된 1D 원의 점을 상상할 수 있습니다. 점이 정확히 원 위에 있지는 않지만 통계적으로 $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $ 방정식을 충족합니다. 원은 기본 매니 폴드입니다. 
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- @RiaGeorge 그림에서 매니 폴드 인 것은 표면 입니다. 중단없이 자유롭게 이동할 수 있고 두 장소 사이를 이동하기 위해 표면에서 뛰어 나올 필요가 없기 때문에 ‘ 연속적입니다. 당신이 언급 한 구멍은 가장 간단한 방법으로 두 지점 사이의 표면을 돌아 다닐 수있는 방법 을 설명하는 데 중요하며, 그것들을 세는 것은 다양체를 연구하는 중요한 기술입니다.
- 토폴로지가 무엇인지 설명하는 것은이 사이트에 대한 너무 광범위한 질문이며 약간의 주제가 아닙니다. 나는 그것에 대한 정보를 위해 수학 스택 교환을 검색 할 것입니다. 매니 폴드와 토폴로지는 동의어가 아닙니다. 매니 폴드는 토폴로지 기술로 연구되는 수학적 개체이고 토폴로지는 수학의 하위 주제입니다.
- 이것은 처음 개념에 대해 배우는 사람에게 매우 좋은 설명 인 것 같습니다. 시간, 잘 선택된 구체적인 예. (이전에 개념을 접했기 때문에 ‘ 확실히 알지 못합니다.) 사소한 문제로 마지막 문장을 덜 절대적으로 바꾸는 것이 좋습니다 (” 항상 방정식이 다음과 같이 비선형입니다.”) : 지금 작성된 것처럼 실제로는 사실이 아닙니다. 그 사소한 문제를 제외하고는이 글이 아주 잘 쓰여져 있습니다.
- 답은 다양한 요소를 구성하는 모든 기본 요점을 놓치고 있습니다. ‘ 얼마나 많은 찬성표가 있는지. 토폴로지, 차트 및 부드러움은 언급조차하지 않았으며 그 대답은 기본적으로 매니 폴드가 표면이 아니라 아니라 라는 인상을줍니다.
- 기술적 포인트, 솔루션 세트 연립 방정식이 다양 할 필요는 없습니다. 그것은 ‘ 다양하므로 ‘ 대부분 다양하지만 다양 속성이 실패하는 자체 교차점을 가질 수 있습니다.
답변
(토폴로지) 매니 폴드는 공간 $ M $이며 다음과 같습니다.
(1) “locally” “equivalent”to $ \ mathbb {R} ^ n $ for some $ n $.
“Locally”, “동등 함”은 $ n $ 좌표 함수, $ c_i : M \ to \ mathbb {R} $를 통해 표현 될 수 있으며, 함께 “구조 보존”함수 $를 형성합니다. c : M \ to \ mathbb {R} ^ n $, 차트 라고합니다.
(2)는 “구조 보존”방식으로 $ \ mathbb {R} ^ N $ (일부 $ N \ ge n $). (1) (2)
여기서 “구조”를 정확하게 작성하려면 토폴로지 의 기본 개념을 이해해야합니다 ( def. ), “local” 동작에 대한 정확한 개념을 만들 수 있으므로 “locally” 위. “동등”이라고 말하면 동등한 토폴로지 구조 ( homeomorphic )를 의미하고 “구조 보존”이라고 말하면 동일한 것을 의미합니다 (동등한 토폴로지 구조).
또한 다양체에 대한 미적분 을 수행하려면 다음과 같은 추가 조건이 필요합니다. 기본적으로 “차트는 우리가 미적분학을 수행 할 수있을만큼 충분히 잘 작동합니다.”라는 두 가지 조건 위에 있습니다. 이는 실제로 가장 자주 사용되는 매니 폴드입니다. 일반 토폴로지와 달리 매니 폴드 는 미적분 외에도 삼각 측량 을 허용합니다. 이는 다음과 같은 애플리케이션에서 매우 중요합니다. 포인트 클라우드 데이터를 포함합니다 .
모든 사람이 (토폴로지) 매니 폴드에 대해 동일한 정의를 사용하는 것은 아닙니다. 여러 작성자가이를 정의합니다. 조건 만 만족하는 것으로 (1) abo ve, 반드시 (2)는 아닙니다. 그러나 (1)과 (2)를 모두 충족하는 정의는 훨씬 더 잘 작동하므로 실무자에게 더 유용합니다. (1)이 (2)를 의미한다고 직관적으로 예상 할 수 있지만 실제로는 그렇지 않습니다.
편집 : “토폴로지”가 정확히 무엇인지 알고 싶다면 이해해야 할 토폴로지의 가장 중요한 예는 $ \의 Euclidean 토폴로지 입니다. mathbb {R} ^ n $.이 내용은 “실제 분석”에 대한 (좋은) 입문 책에서 자세히 다룹니다.
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- 답변 해 주셔서 감사합니다. 토폴로지가 비 기술적 용어로 무엇인지 설명해 주시겠습니까? 토폴로지와 매니 폴드라는 용어가 같은 의미로 사용됩니까? 차원은 정수 여야하나요? 실수는 무엇인가요? 그러면 전체 구조가 각 하위 부분으로 구성되어있는 경우 구조가 프랙탈로 알려져 있다고 생각합니다.
- @RiaGeorge $ n $는 $ N $와 마찬가지로 자연수 (정수 $ \ ge 1 $)를 나타냅니다. fractional / r에 대한 고급 이론이있을 수 있습니다. 봉인 값 크기이지만 ‘ 자주 표시되지 않습니다. ” 토폴로지 ” 및 ” 다양체 “는 매우 다른 두 가지를 의미하므로 서로 바꿔서 사용할 수없는 용어입니다. ” 매니 폴드 “에는 ” 토폴로지 “. 세 가지 규칙 / 조건을 만족하는 집합 모음 인 ” 토폴로지 “가있는 토폴로지 연구 공간 분야입니다. ” 토폴로지 “를 연구하는 한 가지 목표는 ” 로컬 ” 동작.
- @RiaGeorge ” 토폴로지 는 Wikipedia 페이지에서 찾을 수 있습니다 : en.wikipedia.org / wiki / General_topology # A_topology_on_a_set -또한 ” 토폴로지 ” 이웃이 관련이 있지만 동일하지 않은 것을 가리키는 측면에서 다음을 반영하도록 답변을 수정했습니다. en.wikipedia.org/wiki/ … 그러나 이웃에 대한 정의는 이해하기가 더 어렵습니다 (잘 이해할 수 있다고 생각하지만 ‘ 너무 귀찮아. ‘ 게으르다
- 어쨌든 그것은 ‘ 당신이하지 않는 개인적인 편견입니다 ‘ 토폴로지의 이웃 정의를 알 필요가 없습니다. 단순한 정의는 로컬 동작을 엄격하게 설명하는 측면에서 이웃 정의의 모든 기능을 제공합니다. 동등한). 어쨌든 프랙탈에 관심이 있다면이 Wikipedia 페이지가 흥미 롭다는 것을 알게 될 것입니다. ‘ 더 이상 도움을 드릴 수는 없습니다. 이론과 ‘ 대부분의 정의를 모르거나 이해하지 못합니다. 저는 몇 가지만 들어 봤습니다.
- 지금까지주의를 기울이는 유일한 답변입니다. 로컬 데이터에서 전역 개체를 조립하는 현대 수학적 아이디어에 이르기까지. 안타깝게도 ‘ ” 비 기술적 계정.
답변
이 맥락에서 용어 매니 폴드는 정확합니다. 그러나 불필요하게 highfalutin입니다. 기술적으로 매니 폴드는 충분히 부드럽고 연속적인 공간 (토폴로지가있는 점 집합)을 의미합니다 (약간의 노력으로 수학적으로 잘 정의 될 수있는 방식).
공간을 상상해보십시오. 원래 요소의 모든 가능한 값의. 차원 축소 기술 후에는 해당 공간의 모든 지점을 얻을 수있는 것은 아닙니다. 대신 해당 공간 내부에 포함 된 일부 하위 공간의 포인트 만 획득 할 수 있습니다. 포함 된 하위 공간은 매니 폴드의 수학적 정의를 충족합니다. PCA와 같은 선형 차원 축소 기술의 경우 해당 하위 공간은 상대적으로 사소한 매니 폴드 인 선형 하위 공간 (예 : 하이퍼 평면) 일뿐입니다. 그러나 비선형 차원 축소 기술의 경우 하위 공간이 더 복잡 할 수 있습니다 (예 : 곡선 하이퍼 표면). 데이터 분석 목적을 위해, 이들이 하위 공간이라는 것을 이해하는 것은 이들이 매니 폴드의 정의를 충족한다는 것을 아는 것으로 추론하는 것보다 훨씬 더 중요합니다.
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- ” Highfalutin ” … 오늘 새로운 단어를 배웠습니다!
- 수학적 , 매니 폴드는 로컬로 연속적인 토폴로지 공간입니다. 저는 일반 언어로 설명하려는 아이디어를 좋아하지만이 특성화는 실제로 작동하지 않습니다 ‘. 우선 연속성은 항상 로컬 속성이므로 ‘ 로컬 연속성이 무엇을 의미하는지 잘 모르겠습니다. 또한, 당신의 정의는 유리 수선 또는 유클리드 평면에서 교차하는 두 선의 합집합과 같이 ‘ t 매니 폴드가 아닌 많은 것들을 배제하지 못합니다.
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답변
Bronstein과 다른 사람들이 기하학적 딥 러닝에 넣은 것처럼 : 유클리드 데이터를 넘어서 ( 여기에서 기사 읽기 )
거의 manifold 는 로컬에서 유클리드 인 공간입니다. 가장 간단한 예 중 하나는 지구를 모델링하는 구형 표면입니다. 한 지점 주변은 평면처럼 보이며, 이로 인해 여러 세대의 사람들이 지구의 평탄함을 믿게되었습니다. 공식적으로 말하면, (미분 할 수있는) d 차원 매니 폴드 X는 각 점 x가 접선 공간이라고하는 d 차원 유클리드 공간과 위상 적으로 동등한 (동종 형) 이웃이있는 위상 공간입니다.
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- 인용문은 모순됩니다. 처음에는 리만 매니 폴드 (” 로컬 유클리드 “)를 설명하지만 마지막에는 토폴로지 매니 폴드를 설명합니다 (동종 형태는 그렇지 않습니다. 정의에 따라 미분 구조를 존중해야하므로 접선 공간의 개념이 적용되지 않습니다.