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가장 기본적인 방정식 " : 산술 공리와 정의의 단순한 결과 인 산술 정리입니다.
IF 1 + 1 = 2는 일종의 " 우주 법칙 "이므로 일반적으로 TRUE , 당신은 그것을 반박 할 수 없습니다. 만약 우리가 그것을 반증한다고 상상할 수 있다면 그것은 어떤 의미에서 인간의 관습이나 정신적 구조이기 때문입니다. 그렇다면 왜 우주가 우리를 염려 할 것이라고 생각합니까?
문에서 1, 2, + 및 = 기호를 어떻게 정의합니까?
개인에게 미치는 영향에 관심이 있다면 ' 0으로 나누기 (도착과 동일한 작성자). 이 정확한 시나리오를 다룹니다.
이 주제에 대한 역사적 근거가 필요한 경우 상대성 이론을 발견하면서 발생한 일과 " 무효화 된 " 뉴턴 역학. 우리는 여전히 뉴턴 역학을 사용하여 교량과 건물을 짓지 만 '이 도구 상자에서 궤도 경로를 계산하는 유일한 도구는 아닙니다. 뉴턴 역학은 반증 (또는 오히려 좋은 근사치이지만 불완전한 것으로 표시됨)했지만 여전히 매우 유용한 도구입니다.
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이제 세상이 혼란 스럽습니까? 1 + 1은 2와 같지 않습니다 . 적어도 항상 그런 것은 아닙니다 .
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물 1 리터와 모래 1 리터를 섭취하십시오. 함께 추가하십시오. 당신은 무엇을 얻습니까? 모래를 적시지만 2 리터는 아닙니다.
토끼 한 마리를 가져다가 토끼 한 마리를 추가합니다. 함께 추가하십시오. 충분한 시간을 기다리면 두 마리 이상의 토끼로 끝날 수있는 합리적인 기회가 있습니다.
순수 수학 영역에서도 1 + 1이 반드시 2와 같지는 않습니다. “ 모듈로 2 산술 으로 작업하는 경우 1 + 1 = 0.”모듈로 2 산술 및 1 + 1 = 2를 처리하는 경우 ” -또한 모듈로 2 산술이 모호한 부수와는 달리 “비트 xor”의 형태로 현재 컴퓨터에서 사용하고 있으며 현대 컴퓨터는 그것 없이는 작동 할 수 없습니다. (확실히 모듈로 2 산술은 속성이 다소 간단하므로이를 연구하는 수학자는 많지 않습니다.)
수학 공리 (시스템의 속성에 대한 가정) 및 해당 시스템에서 논리적으로 따르는 의미를 기반으로합니다. 이러한 의미 중 하나가 “반사 실적”인 것으로 확인되면 논리가 유효하지 않거나 공리 중 하나가 해당 시스템에 대해 잘못되었습니다.- 해당 시스템의 경우 가 중요한 부분입니다. 한 공리 집합에 대해 무언가가 사실에 반한다고해서 의미가 없습니다. 서로 다른 공리 집합에 대해서는 반사 실적입니다.
Take Euclid의 평행 공리입니다. 나머지 유클리드의 공리를 가진 것들을 포함하면 유클리드 기하학을 얻게됩니다. 이것은 여러분과 제가 잘 알고있는 “표준”기하학이며 수학자의 상당 부분이 작동합니다. 그러나 , 이 항목이 유지되지 않는 다른 도형을 설정할 수 있습니다. 사실 현대 물리학은 우리가 실제로 비 유클리드 기하학에 살고 있다고 말합니다. 고급 물리학은 평행 공리가있는 진정한 유클리드 기하학에서는 작동하지 않을 것입니다.
이제 그것은 유클리드 기하학이라는 의미입니다. 그리고 평행 공리가 잘못 되었나요? 아니요. 수십만 명의 수학자와 엔지니어, 그리고 물리학 자들이 매일 사용하는 완벽하게 유효한 수학적 구조입니다. 유클리드 기하학이 관찰 된 세계와 일치하지 않는 결과를 생성하는 공리를 갖는다는 사실은 “유클리드 기하학이 유효하지 않다는 것을 의미하는 것이 아니라, 그 공리가 당신이 관찰하고있는 시스템에 적용되지 않는다는 것을 의미합니다. 그것이 승리했다는 것을 의미하지 않습니다.” 다른 상황에서는 “적용하지 않거나”사용하기에 가장 좋은 방법이 아님까지도 마찬가지입니다.
따라서 1 + 1 = 2는 매우 편리한 관찰이며 많은 경우에 적용됩니다. 하지만 전부는 아닙니다. 때로는 1 + 1 = 0 또는 다른 숫자입니다.표준, 자연수 산술의 공리가 특정 시스템을 “유지하지 않는다”는 것은 “유효하지 않다는 것을 의미”하는 것이 아니라 해당 시스템에 적용 할 수 없다는 것을 의미하며 다른 세트와 다른 세트를 만들어야한다는 것을 의미합니다. 산술 시스템.
또는 공리가 유지되도록 시스템을 재정의 할 수도 있습니다. (그것이 “하지만 만약 당신이 …”라고 입력하는 사람들이 미친 듯이 입력하는 것입니다. “당신이 그것들을 별도의 컨테이너에 보관한다면, 둘 다 여성이라면, 우리가 모듈로 산술을 무시한다면 …”당신이 재정의한다면 공리가 유지하는 것, 그 공리의 논리적 결과는 논리적으로 따릅니다.)
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모든 수학자가 원하는대로 1 + 1 = 2는 정의에서 사소하게 따르며 정리가 아닙니다. 귀하의 질문은 말이되지 않습니다.
당신이 선언 한 것과 같습니다.
1 유체 zounce를 정확히 30 밀리리터로 정의합니다.
하지만 내가 틀렸다고 판명되면 어떻게해야할까요?
당신의 정의입니다. 정의하기 전에는 존재하지 않았습니다.
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가장 기본적인 방정식
귀하의 가정에 결함이 있습니다. 1 + 1 = 2는 수학의 공리가 아니지만 (Sputnik이 지적했듯이) 다음에 적용된 Peano 공리 의 결과입니다. 밑수 10 숫자 표현
10 진수 (밑수 10)에서 단항 (기본 1) 을 입력하고 다음과 같이 말하세요.
1 + 1 = 11.
또는 바이너리 (기본 2, 컴퓨터가 실제로 사용하는 것)를 입력하고 다음과 같이 말합니다.
1 + 1 = 10
이를 위해 로마 숫자 로 이동할 수 있습니다.
I + I = II.
따라서 1 + 1가 아니라 2 (그리고 글리프 1가없는 시스템도 포함),하지만 우주는 파열되지 않았습니다. 아직 그 때문입니다.
자, 질문이 더 낫다면 어떨까요? e …
Peano 공리가 자연계의 관측과 모순되면 어떻게 되나요?
이 경우 제 대답은 두 가지가 될 것입니다.
- Peano 공리에 기반한 수학은 여전히 유용 할 것입니다.
- 수학자는 다른 새로운 공리를 기반으로 한 수학과 함께 자연 세계에 적합한 공리 세트
이를 이해하려면 뉴턴 식 물리학 : 그것들은 자연계의 관측에 잘 맞는 공리 위에 세워진 수학의 큰 규칙입니다.
그러나 아인슈타인은 그 공리 중 일부가 실제로 맞지 않는다는 것을 알게되었습니다. (특히 사물이 빛의 속도로 진행될 때) 그리고 모든 뉴턴 물리학을 거의 무효화하는 상대 론적 물리학 을 고안했습니다.
우리도 뉴턴 물리학이 틀렸다는 것을 알고 (너무 단순한 모델을 기반으로하기 때문에) 많은 문제에 유효한 도구입니다.
Peano 기반 산술과 동일합니다. 자연 세계에서 관찰 할 수없는 경우에도 여전히 좋은 도구입니다. 부적합의 결과로 또 다른 수학 집합이 파생 될 수 있습니다.
설명
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1 + 1! = 2이면 1-1! = 0, 즉 핵의 양성자에 대한 전하가 더 이상 전자에 전하. 따라서 모든 원자는 순 전하를 얻고 모든 거시적 물체는 중력보다 36 배 더 강한 놀라운 힘으로 서로 끌어 당깁니다 (또는 반발합니다). 이것은 전체 우주를 아주 짧은 순서로 아 원자 펄프로 으깨어 버릴 것입니다 …
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일어나는 일은 개념적으로 매우 간단합니다. “¬1 + 1 = 2″를 증명하는 논문은 “ Zermelo–Fraenkel Set Theory is inconsistent “라는 제목으로 변경되어 출판됩니다.
From 거기에서는 더 어려워집니다. 증명의 작동 방식에 따라 일관성이 복원되는 새롭고 더 약한 집합 정리로 끝나야합니다. 또는 더 나쁜 것; Peano Axioms 는 그 결과로 무효가 될 수 있습니다. 음, 솔직히 모르겠습니다. 우리가 사용하던 일부 작업이 사라졌지 만 성공했습니다. 덧셈이 아니다. 정수 덧셈은 유한 영역에서 반증 될 수 없다 (과학 감사합니다!). 그래서 반증의 길에있는 다른 무언가는 버려집니다. 무한대의 취급은 모든 수학에서 잘못되었을 수 있습니다. 아마도 다른 것. 추측처럼 들리면 죄송합니다. 추측은 사실 문제입니다. 어느 정도 구멍을 뚫고 싶은지에 따라 다릅니다.
실제적인 측면에서 우리는 이미 무슨 일이 일어나는지 알고 있습니다. . 1 + 1 = 2는 합리적인 도메인 및 사용 사례에 대해 여전히 사실이므로 계속해서 사용할 것입니다. 잠시 후 오류 모드를 이해하고 컴퓨터 과학 에서처럼 신중하게 (또는 너무 신중하게) 배제합니다. 지금 오버플로하십시오.
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1 + 1 = 2는 필수 진실입니다 —- 대략, 가능한 모든 세계에서 사실 인 진술입니다. 따라서 귀하의 질문은 불가능한 선행이있는 진정한 반사 조건 을 요구하는 것입니다. 이를 반대 가능성 이라고도합니다 (예 : 섹션 5.1 여기 ).
전통적인 관점은 이 모든 반대 가능성은 사소한 사실입니다. 이보기에 따르면 “1 더하기 1이 2가 아니면 q “는 임의의 q 에 대해 참이됩니다. 최근에 몇몇 철학자들은 과학과 일상적인 추론을 이해하기 위해서는 사소하게 진리를 수반하지 않는 반 가능성에 대한 의미론이 필요하다고 주장했습니다. 위에 링크 된 마지막 SEP 항목에서이 토론에 대한 참조를 참조하십시오.
어쨌든 안심하십시오. 1 더하기 1은 반드시 2와 같습니다.
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증명은 일종의 공식 시스템에서 수행 되었어야합니다. 그렇지 않으면 설득력있는 주장만큼 증명이 아닙니다. 따라서 우리는 진술의 일부 시스템에서 증명을 가지고 있습니다. 1 + 1! = 2.
논리 주제의 철학자와 수학자들은이 증명의 세부 사항을 자세히 살펴볼 것입니다. 누구나 관심이있는 모든 공식 시스템이이 진술의 반대를 증명하기 때문에, 또한이 진술은 어떤 시스템이 사용 되든 일관성이 없음을 보여줍니다. 따라서 해당 시스템은 더 이상 심각한 작업에 사용할 수 없습니다. 따라서 논리학자는 특정 논리 시스템에 대해 매우 중요한 것을 배웠을 것입니다. 동일한 기술이 일관성이없는 다른 시스템이 무엇인지 알고 싶어 할 것입니다.
우주는 어떤 종류의 (감히 나는 y it : magical?) 안드로메다 은하계의 별들의 움직임이 지구상의 종이에 어떤 표시를 하느냐에 따라 크게 영향을받는 효과. 내가 생각하기에 solipsist는 우주가 논리적 일관성에 대한 개인적인 믿음에 의해서만 유지되며 따라서 우주는이 증거를 읽음으로써 근본적으로 변경 될 것이라고 믿고 있다고 생각합니다. 대부분의 사람들은 외부 현실의 존재에 대한 충분한 믿음을 가지고 있으며, 우주가 인간이하는 증거와 생산하지 않는 증거에 관심이 없다고 믿지 않습니다.
나는 철학자들이 논리와 형식적 증거에 관심이 없다고 생각합니다. 시스템은 적어도 논리 학자 (비논리 학자)가 1 + 1! = 2를 증명하는 동일한 결함이있는 시스템을 실제로 사용하고 있으므로 논리가 필요한 이유를 정확히 설명하기 전까지는 대부분 결과를 무시합니다. 사용을 중지합니다.
물론 1 + 1 = 2를 반증함으로써 의미하는 바에 따라 달라집니다. 공식적인 논리적 증거가 아닌 “물리적 증거”를 상상할 수도 있습니다. 누군가가 빈 그릇에 오렌지 하나를 넣은 다음 같은 그릇에 다른 오렌지를 넣을 수 있고 다른 오렌지를 추가하거나 제거하지 않았으며 그릇에 다른 오렌지가 몇 개 포함되어 있다는 것을 증명했다는 것을 의미합니다. 2, 당신은 그들이 “1 + 1! = 2를 증명했다”고 말할 수 있습니다. 그러나 모든 사람들의 기대는 사실, 오렌지와 관련된 이전에 알려지지 않은 어떤 종류의 물리적 과정이 관련된다는 것입니다. 그래서 당신이 현실의 본질에 대한 우리의 개념을 정말로 바꾸는 것을 발견했지만, 그것은 “가장 근본적인 방정식”이 논리적으로 틀 렸기 때문이 아니라 오렌지 (또는 물리적 물체 일반적으로) 분명히 더 이상 산술에 복종하지 않으므로 방정식은 더 이상 적용되지 않습니다. 당연히 이것은 매우 문제가 될 것입니다. 인간은 항상 사물을 셀 수있는 것에 의존하기 때문에 인간 사회 는 혼란에 빠질 수 있습니다.
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토론과 관련이있을 수있는 것은 일관되지 않은 수학 :
집합, 숫자, 함수와 같은 일반적인 수학적 개체에 대한 연구입니다. 여기서 일부 [ 강조 추가 ] 모순이 허용됩니다.
참조 산술 에 대한 토론 :
일관되지 않은 산술은 대안 또는 변형으로 간주 될 수 있습니다. 비 유클리드 기하학처럼 표준 이론에서.
산술의 표준 공리는 Peano “s이고 그 결과 (표준 산술 이론)는 PA . 산술의 표준 모델은 N = {0, 1, 2, …} , 0 및 그 후속 모델.
일관된 비표준 모델은 모두 ex 표준 모델의 장력, 추가 개체를 포함하는 모델. 일관되지 않은 산술 모델은 자연스러운 이중입니다. 여기서 표준 모델은 그 자체로 더 기본적인 구조의 확장이며 모든 올바른 문장을 사실로 만듭니다.
일관되지 않은 산술은 1970 년 Robert Meyer에 의해 처음으로 조사되었습니다. “s. 거기에서 그는 초 일관 논리 R을 취하고 계승자, 덧셈, 곱셈 및 귀납을 관리하는 공리를 추가하여 시스템 R #을 제공했습니다.
1975 년 Meyer는 그의 arithemtic이 사소하지 않다는 것을 증명했습니다. R #에는 모델이 있기 때문입니다. 특히 R #에는 두 개의 요소 도메인 {0, 1} 가있는 유한 모델이 있습니다. 다음과 같은 모델은 R #의 모든 정리를 사실로 만들지 만 0 = 1과 같은 방정식을 유지합니다. 그냥 거짓입니다.
그래서 어떨까요? (제한된?) 불일치의 정도 .
그러나 이것을 고려하십시오 일관되지 않은 산술 모델의 일반 구조에 대한 Graham Priest 분석에서 파생 된 직관적 인 예를 기반으로 한 h- 실험 :
일관되지 않은 요소까지의 표준 산술 모델을 상상해보세요
n = n + 1 .
이 n은 매우 , 매우 많은 수 [ 강조 추가됨 ], " 물리적 현실 또는 심리적 의미 없음. " 취향에 따라 가장 큰 유한 숫자 또는 가장 일관성이없는 숫자입니다. 또한 j, k > n 에 대해 j = k .
클래식 모델 인 경우 j ≠ k , 이것도 사실입니다. 따라서 j = k 및 j ≠ k . n 보다 큰 숫자에 해당하는 모든 사실은 n
도 마찬가지입니다. n 이후에는 모든 숫자가 n .
일관된 모델의 사실은 손실되지 않습니다.
그러나 이제 n 가 매우 크지 만 심리적 의미없이 " 은행 계좌가 n USD (또는 GBP 등).
그 순간부터 은행 계좌는 더 이상 성장하지 않으며 " 중단 " 일반 산술 법칙에서.
" 우주가 혼란에 빠지다 " ?
Gödel s Theorem은 충분히 유용한 수학적 시스템이 불완전하거나 모순적이라고 대략적으로 말하고 있습니다. 즉, 증명하거나 반증 할 수없는 진술이 있거나 참과 거짓을 모두 증명할 수있는 진술이 있다는 것입니다.
우리가 참 또는 거짓을 증명할 수 없었던 많은 진술이 있으며 (하지만 우리가 충분히 영리하지 않았기 때문일 수 있음) 모순이 입증되지 않았습니다 (하지만 우리가 충분히 영리하지 못함), 따라서 “1 + 1 ≠ 2″가 증명 될 수 있다는 것은 상상할 수없는 일이 아닙니다. 그러면 1 + 1 = 2가 동시에 참과 거짓이됩니다.
어떻게 될까요?수학자들 사이에서 많은 욕설이 일어날 것입니다. 이 사실을 무시하고 유용한 수학을 남길 수있는 방법에 대해 많은 논의가 진행될 것입니다. 우주는 “변하지 않을 것입니다.
“1 + 1 = 2 “라는 질문을 고려할 때”1 + 1 = 2 “는 반증 될 수 없으며 결코 입증되지 않을 것입니다 (단순한 공리 적용에 지나지 않는 증거가 입증됨을 의미). 원격으로 가능한 것은 그것이 사실이라는 증거 외에도 그것이 거짓이라는 증거가있을 수 있다는 것입니다.
수학 및 / 또는 과학이 향상 될 것입니다.
수학자들은 패턴을 찾고 사용하여 새로운 추측을 공식화합니다. 그들은 수학적 증명 ( 위키 백과에서 ). 1 + 1 = 2는 질문을 의심하거나 잘못된 형식으로 만드는 증거가 아니라 정의에서 나온 것이라고 주장 할 수 있습니다. 그러나 귀하의 질문은 더 넓은 의미에서 여전히 유효합니다. 수학적 증명이 잘못되었을 수 있습니다. 이미 발생했습니다.이 mathoverflow 질문 은 정확하지 않은 역사적 증명과 조합으로 가득 차 있습니다. 그러한 오류가 발견되면 아니요 우주를 깨뜨리는 일이 발생합니다. 우리는 그저 틀린 생각을 멈추고 옳게됩니다. 우리는 수학 지식을 향상 시켰습니다.
그래서 우리는 1 + 1 = 2를 포함하지 않는 공리를 가지고 일하고 있다고 가정 해 봅시다. 그리고 우리는 수학적 추론을 통해 1 + 1 = 2에 도달하고 그것에 대한 수학적 증거를 확립합니다. 그리고 논쟁을 위해 우리는 나중에 그러한 증거가 틀렸다는 것을 발견했다고 가정 해 봅시다. 실제로 1 + 1 = 3입니다. 아니, 그것은 우주를 혼란에 빠뜨리지 않을 것입니다. 우주는 인간이하기 전의 것이 었습니다. 1 + 1 = 2의 개념 (또는 그래서 나는 그것을 관찰하기 위해 실제로 거기에 없었지만 우리가 그것이 어떻게되었는지 아는 데 도움이되는 많은 좋은 증거를 가지고 있다고 생각합니다.) 그리고 수학적 증명이 틀렸다고 증명 될 때마다 우주는 혼란에 빠지지 않았습니다. 수학에 대한 우리의 이해가 바뀐 것은 1 + 1 = 3에 대해 동일하다고 가정하는 것이 합리적입니다.
혼돈에 던져 질 것이 한 가지 있습니다. 수학자 . 이제 우리는 1 + 1 = 2가 거짓이라는 것을 알았습니다. 그것에 의존하는 모든 증명은 결함이 있습니다. 결함이 있습니다. 정확히 틀린 것은 아닙니다. 1 + 1 = 2에 의존하는 증명에 의해 검증 된 진술은 여전히 사실 일 수 있지만 오래된 증명은 많은 자료를 수정하고 다시 작성해야 할 것이며 많은 논의가 계속 될 것입니다. 그러나 우리는 혼란에.
1 + 1 = 2에 의존하는 과학 이론은 어떻습니까?. 이 질문에 대한 다른 답변 에 설명 된 것과 같습니다. 아니, 이것은 전체 우주를 아주 짧은 순서로 아 원자 펄프로 으 깨지 않을 것입니다. 우주는 우리가 1 + 1 = 3을 발견하기 전의 상태였으며 계속해서 그렇게 될 것입니다 (다른 반증 증명에서도 그런 일이 일어났다 고 생각합니다). 우리는 오래된 과학 이론이 우주를 제대로 설명하지 못한다는 것을 발견했을 것이므로 더 나은 모델이 개발 될 것입니다.
짧은 답변 : 예. 그러한 기초적이고 명백해 보이는 진술이 거짓이라는 것을 증명할 수 있다면, 그것은 우리가 수학에 대해 알고 있다고 생각하는 많은 것, 그리고 아마도 우주에 관한 다른 많은 것들에 의문을 불러 일으킬 것입니다.
그래서 무엇입니까? 이 진술이 거짓이라는 증거가없는 한, “무의미한 가설”입니다. 실제로 저는 누군가가 복잡한 주제에 대한 가설을 제시하는 대화를 많이했습니다. “이 정치 정책이 당신이지지하는 것은 “작동하지 않습니까?”또는 “하나님이 당신에게 악한 일을하도록 명령했다면 어떨까요?”등입니다. 그리고 제 대답은 일반적으로 “당신이 묘사하는 가상의 상황이 일어날 것 같지 않다”고 말하는 것입니다. 누군가가 1 + 1 = 2가 거짓임을 증명했다면 어떨까요? “
엄격한 수학적 의미에서 1 + 1 = 2가 정의상 참이기 때문에 어떻게 증명할 수 있을지 모르겠습니다. “2”의 정의는 “1 + 1″입니다. 적어도 그것은 제가 정수론 수업에서 배운 것입니다. 현대 수학의 복잡성을 감안할 때 다른 분야에 다른 정의가있을 수 있습니다. 하지만 정의가 거짓임을 증명할 수는 없습니다. 정의에 따르면 사실입니다.