별의 다섯 각도

$ \ hskip 1.5in $

1 행에 연필을 놓으십시오.

연필을 회전하여 라인 2와 일직선이되도록합니다. 오각형 상단의 각도만큼 시계 반대 방향으로 회전했습니다.

이제 다시 시계 반대 방향으로 회전하여 라인 2에 맞 춥니 다. 3. 그런 다음 다시 4 행, 5 행, 마지막으로 1로 돌아갑니다. 오각형의 5 개 각도를 순서대로 모두 연필을 회전했습니다.

그리고 무슨 일이 일어 났습니까? 이제 연필이 시작된 동일한 선에 놓여 반대 방향을 가리 킵니다.각 단계에서 연필이 가리키는 방향을 추적하면 전체적으로 반 시계 방향으로 반 바퀴 회전 한 것을 볼 수 있습니다. Whence, $ 180 ^ \ circ $.

댓글

• 회전했을 가능성을 배제하기 위해 수정하면 아름다운 증거가 될 것입니다. $ 180 ^ \ circ $의 다른 홀수 배수를 통해 연필을 씁니다. 이 heptagram 을 사용하면 연필도 반대 방향을 가리 키지 만 $ 540 ^ \ circ $를 통해 회전했습니다.
• 변형 된 오각형에 대한 참조 오각형. 따라서 회전은 180∘의 배수에서 다른 배수로 이동할 수 없습니다.
• 기본적으로 $ \ {m : n \} $-gram 여기서 $ n < \ frac m 2 $ rotates $ 360 \ times (\ frac m 2-n) $ degrees.
• 멋진 설명 Lopsy … 간단하고 깔끔합니다. 🙂 저는 4 각을 취하고 시각적으로 그것들을 0으로 줄이십시오 .. 별이 어떻게 생겼는지 생각해보십시오 … 5 번째 각도는 계속해서 증가하여 4 개의 각도가 0이 될 때까지, 5 번째 각도는 180 (즉, 직선)이 될 때까지 .. : )하지만 저는 Lopsy ‘의 설명이 더 좋습니다 ..;)
• 이 답변의 장점은 그렇지 않다는 것입니다. ‘ 수학적 증명처럼 읽지 마십시오. 누구나 이해할 수 있습니다.

여기 또 다른 증거가 있습니다.

라벨 그림과 같이 점을 표시하고 선분 CD를 그립니다. A, B 등을 사용하여 합계를 구해야하는 각도를 나타냅니다.

현재

$ \ angle ADC + \ angle DCA + A = 180 ^ \ circ $ (삼각형의 각)

따라서 증명하는 것으로 충분합니다.

$ \ angle ADC + \ angle DCA = B + C + D + E $

현재

$ \ angle ADC = D + \ angle BDC $ 및 $ \ angle DCA = C + \ angle ECD $

따라서

$ \ angle BDC + \ angle E CD = B + E $

이것은 분명히 사실입니다.

LHS는 $ \ angle DFC $ 의 보충 자료이고 RHS는 $ \ angle EFB $의 보충 자료입니다. , 여기서 $ \ angle DFC $ 및 $ \ angle EFB $ 는 수직으로 반대이기 때문에 동일합니다. .

댓글

• 제가 찾고 있던 답변입니다.
• 이 솔루션을 두 가지 규칙으로 추출 할 수 있습니다. 삼각형의 각도 = 180이고 교차하는 두 선의 반대 각도는 같습니다.
• @randal ‘ thor이 솔루션에는 덧셈도 포함되므로 제한 사항을 준수하지 않거나 제한 사항을 변경해야합니다.
• 예, 이것이 아니라는 말은 아니지만 가장 수학적인 것 중 하나입니다. 여기에 -ish 답변. 산술이 없다고해서 ‘ 수학이 아님을 의미하지는 않습니다 …

오각형의 내부 각도의 합은 항상 540 °입니다.

각 외부 지점의 각도는 항상 인접한 두 내부 각도의 합 (180 °)입니다. 내부 각도 A와 B가 주어지면 삼각형의 각도는 180-A, 180-B, X이기 때문에 이것을 말할 수 있습니다. 삼각형 각도의 정의에 따라 X는 $ 180-(180-A)-( 180-B) = A + B-180 $.

오각형의 각 내각은 두 번 사용되며 5 개의 점이 있으므로 $ (2 \ times 540)-(5 \ times 180) = 180 ° $

Comments

• 저는 이것이 9 학년 기하학이 머리를 뾰족한 것으로 생각합니다 …
• 이것은 제가 생각했던 증거보다 더 복잡합니다. 가능한 증명을 조금 더 제한하기 위해 질문을 수정할 수 있지만 ‘ 여전히 +1을 제공합니다. 두 번째 문장을 정당화 할 수 있습니까? 또한 저는 ‘ 세 번째 문장이 무엇을 말하는지 이해하지 못합니다.
• A와 B를 오각형의 인접한 두 내부 각도로두면 각도는 삼각형의 점은 180-(180-A + 180-B) = A + B-180
• +1 좋은 증거이지만 사진이나 2를 사용할 수 있다면 멋질 것입니다. 심지어 gif도!
• ‘이 증명을 일반화하여 모든 지점의 각도를 보여줄 수 있다고 생각합니다. i> n -그램 합계는 $ 180 ^ \ circ $입니다. 단, 모양이 각 점을 n -gon의 인접한 두 점에 연결하는 경우.(유니 커설 헥사 그램은 연결 기준을 ‘ 충족하지 않으며 두 개의 삼각형으로 구성된 헥사 그램도 충족하지 않으며 두 개의 유니 커설 헵타 그램 중 하나만 충족합니다.)

이번에는 귀납법에 의한 또 다른 깔끔한 증명이 있습니다. 우리는 정규적인 것으로 시작하여 오각형을 만들 수 있습니다. 4 개의 점을 연속적으로 이동합니다. 따라서

오각형에서 점을 이동하는 것이 각도의 합을 변경하지 않는다는 것을 증명하는 것으로 충분합니다. 포인트

Let “s

포인트 A를 A로 이동”및 전화 A의 각도와 A “의 각도 모두 상단 각도

다음을 얻습니다.

이를 증명하는 것으로 충분합니다.

상단 각도의 변화와 각도의 변화 C와 D에서의 es의 합은 0입니다.

이 새 다이어그램에서

표시

상단 각도의 변화는 $ xw $로, D와 C의 변화는 $ -y $와 $ z $로,

그리고

$ xw-y + z = 0 $, 즉 $ x + z = w + y $,

이전처럼 분명합니다.

LHS 및 RHS는 G에서 수직 반대 각도의 보완입니다.

또 다른 접근 방식 :

일반 별부터 시작하여 $ A + B + C + D + E = 180 ^ {\ circ} $입니다. 이제 다이어그램에 표시된대로 선분을 그리겠습니다.

$ B, D, E $ 우리의 관찰에서 $ Y = C-X $ 및 $ Z = A + X $를 볼 수 있습니다.

따라서 새로운 별의 포인트 합계 $ ZBYDE = Z + B + Y + D + E = (A + X) + B + (CX) + D + E = 180 ^ {\ circ} $.

그래서 우리는 계속해서 선분을 그리고 새로운 별을 만들 수 있습니다. 원하는 모양에 도달 할 때까지.

댓글

• 좋습니다.하지만 더 직관적으로 만들 수 있도록 추가 할 수 있습니다. 해당 지점을 통과하는 선 중 하나를 따라 한 지점을 연속적으로 이동하고 배율을 조정하는 일반적인 불규칙 오각형.
• 기하학적으로 만 ‘ 아프지 않은 경우 시도 할 수 있습니다. 내 뇌가 너무 많이 D :

일부 산술을 수행해야합니다. 의도 된 결론은 양적 결론입니다. 따라서 도전은 o 산술을 숨기거나 다른 이름으로 부르지 않고 명확하고 간단하게 만듭니다. 다음 인수는 5가 4보다 1이 더 많다는 것을 관찰하는 것으로 산술을 줄입니다 (그리고 전체가 절반의 두 배, 통과에 사용되는 사실).

별은 중심을 두 번 감기 때문에 별을 통과하는 사람은 두 개의 완전한 원 (반원 네 개)을 돌려야합니다. 모든 회전은 정점에서만 발생하며 최대 양은 원의 절반에 대한 완전한면입니다. 5 개의 반원 또는 실제 회전 된 것보다 하나 더 많은 반원 인 5 개의 정점 : 180도. 이 최대 값과 실제로 달성되는 회 전량 사이의 결함은 정확히 내부 각도의 합인 QED입니다.

이 접근법은 현대 (즉, 18 세기 이후) 수학에서 취해진 접근법입니다. 그것은 그 자체가 구부러 질 수있는 다른 그림들 내에 그려진 임의의 치수의 임의의 그림들로 일반화됩니다. 이는 Gauss-Bonnet 정리 로 알려져 있습니다.

“내접 각의 측정 값은 가로채는 호의 측정 값의 절반입니다.”라는 원 기반 정리가 있습니다. 즉, 각도 x 의 경우 가로채는 호는 2x 가됩니다.

이제 별을 원에 새기면 다음과 같은 결과가 나타납니다.

이전 그림에 레이블을 지정하면이 결과를 얻을 수 있습니다.

이 정리를 통해 우리는 각도 ∠1 = c / 2, ∠2 = d / 2, ∠3 = e / 2, ∠4 = a / 2, and ∠ 5 = b / 2. 배포하면 ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = (a + b + c + d + e) / 2 가됩니다. 또한 원 안에있는 모든 호의 측정 값이 360이되기 때문에 a + b + c + d + e = 360 이라는 것을 알고 있습니다. 마지막으로 대체 속성을 사용하여 ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360 / 2 또는 ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4를 얻습니다. + ∠5 = 180 . 따라서 모든 각도의 합은 180입니다.

댓글

• 여러분의 주장에는 ‘ 한 가지 결함이 있습니다. 모든 오각형을 새길 수있는 것은 아닙니다. 원입니다.
• @ThomasKwa 예를 들어 줄 수 있나요?
• @ user1812 예에서 원 안팎으로 한 지점을 이동하면됩니다. 원을 정의하는 데는 3 점만 필요하고 오각형에는 5 점이 있습니다.

감각은 각도의 각도를 세는 것입니다.

오각형은 규칙적이든 불규칙적이든 내부 각도의 합이 540입니다. 또한, 두 직선이 교차하는 각도의 합은 360이며 반대 각도도 합동입니다.

중앙 오각형의 5 개 점, 즉 2 개의 선이 교차하는 점을 고려하십시오. 이 5 개의 점 주변은 360 x 5 = 1800도이고 5 x 4 = 20 개의 각도로 계산됩니다.

20 개의 각 중 5 개는 오각형에서 5 개는 그에 합동입니다. 따라서 이것은 540 + 540 = 1080도를 설명합니다. 1800-1080 = 720 도의 잔해는 5 개의 삼각형 내부에서 나옵니다.

5 개의 삼각형은 5 x 180 = 900도에 해당하는 내부 각도를 포함합니다. 720 도는 오각형 / 삼각형 / 교차로의 모서리에 있습니다.

별 끝은 900-720 = 180 도입니다.

편집 : 여기서 산술은 단순히 각도의 속기입니다. 덧셈과 뺄셈은 다른 답변과 동일합니다.

중앙 펜타곤 (A, B, C, D) , E는 540도를 포함합니다.

즉, 5 쌍의 보조 각도를 합산합니다. 2 (180-A) +2 (180-B) +2 (180-C) +2 (180-D) +2 (180-E) = 1800 2 (540) = 720이 720 도는 “베이스”를 나타냅니다. 총 5 * 180 = 900900-720 = 180 인 5 개 삼각형의 각도 (구하는 5 개 각도

점에서 5 개의 삼각형의 합은 5 * 180 = 900입니다.

코멘트

• 이 질문은 산술 연산을 사용하지 않고 증명할 것을 구체적으로 요구합니다.