먼저 모델 f로서 일반적으로 양자 역학의 몇 가지 측면을 상기 시키거나 소개하겠습니다. 또는 물리적 시스템. 이러한 일반적인 측면을 더 잘 이해하고 스핀 시스템이 특수 사례로 등장하는 방식에 대한 호소를 통해 많은 질문에 대한 답을 얻을 수있는 것 같습니다.

양자 상태 및 측정에 대한 일반 설명.

양자 시스템의 상태는 단위 길이 요소 $ | \ psi \ rangle로 모델링됩니다. $ 복잡한 힐베르트 공간 $ \ mathcal H $, 내적을 가진 특별한 종류의 벡터 공간. 측정하고자하는 값을 가진 그러한 시스템과 관련된 모든 관찰 가능한 양 (운동량 또는 스핀)은 해당 공간에서 자기 인접 연산자 $ O $로 표시됩니다. 이러한 관측 가능 항목을 측정하기 위해 장치를 만들고 해당 장치를 사용하여 시스템에서 관측 가능 항목을 측정하면 기계는 해당 관측 가능 항목의 고유 값 $ \ lambda $를 출력합니다. 또한 시스템이 $ | \ psi \ rangle $ 상태에있는 경우 해당 수량을 측정 한 결과가 관찰 대상의 고유 값이 될 확률은 \ begin {align} p (\ lambda) = | \ langle \입니다. lambda | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align} 여기서 $ | \ lambda \ rangle $은 고유 값 $ \ lambda $에 해당하는 정규화 된 고유 벡터입니다.

스핀 시스템 전문화.

지금 고려중인 시스템이 입자의 스핀으로 구성되어 있다고 가정 해 보겠습니다. $ s $ 스핀을 사용하여 시스템의 스핀 상태를 모델링하는 Hilbert 공간은 $ 2s + 1 $ 차원 Hilbert 공간입니다. 이 벡터 공간의 요소는 종종 “스피너 (spinor)”라고 불리지 만,주의를 분산시키지 마십시오. 시스템의 양자 상태를 모델링하는 역할을하는 힐베르트 공간의 다른 벡터와 같습니다.

스핀 시스템에 대해 일반적으로 측정하는 주요 관찰 가능 항목은 시스템 스핀의 데카르트 구성 요소입니다. 즉, 고유 값이 가능한 값인 $ S_x, S_y, S_z $라고하는 세 개의 자기 인접 연산자가 있습니다. 시스템 스핀의 이러한 구성 요소 중 하나를 측정하면 얻을 수 있습니다. 이러한 각 연산자의 스펙트럼 (고유 값 집합)은 동일합니다.스핀 시스템 $ s $의 경우 각 스펙트럼은 다음 값으로 구성됩니다. \ begin {align} \ sigma (S_i) = \ {m_i \ hbar \, | \, m_i = -s, -s + 1, \ dots, s-1, s \} \ end {align} 내 표기법에서 $ i = x, y, z $. 예를 들어, spin- $ 1 $ 시스템 스핀의 $ z $ 구성 요소를 측정하기 위해 머신을 빌드하면 머신은 $ \ {-\ hbar, 0, \ hbar 세트의 값 중 하나를 생성합니다. \} $ 매번. 이러한 각 고유 값에 해당하는 각 스핀 구성 요소 연산자에는 정규화 된 고유 벡터 $ | S_i, m_i \ rangle $이 있습니다. 위의 일반 설명에서 알 수 있듯이 시스템의 상태가 $ | \ psi \ rangle $이고 스핀 구성 요소 $ S_i $의 측정이 특정 값 $ m_i \ hbar $를 산출 할 확률을 알고 자하는 경우 , 그러면 단순히 \ begin {align} | \ langle S_i, m_i | \ psi \ rangle | ^ 2를 계산합니다. \ end {align} 예를 들어 시스템에 spin- $ 1 $이 있고 $ S_y $의 측정 값이 고유 값 $-\ hbar $를 산출 할 확률을 알고 싶다면 \ begin {align}을 계산합니다. | \ langle S_y, -1 | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align}

스피너.

위의 맥락에서 스피너는 특정 순서에 따라 특정 스핀 시스템의 상태에 대한 매트릭스 표현이며 Pauli 스핀 매트릭스는 정규화까지 다음의 매트릭스 표현입니다. 특히 spin- $ 1 / 2 $가있는 시스템에 대한 해당 기반의 스핀 구성 요소 연산자입니다. 행렬 표현은 종종 계산과 개념적 이해를 용이하게하므로 우리가 그것들을 사용하는 이유입니다.

좀 더 명확하게, 하나는 spin- $ 1 / 2 $ 시스템을 고려하고 하나는 기본 $로 상태와 관찰 가능 항목을 표현하기로 선택한다고 가정합니다. B = (| S_z, -1/2 \ rangle, | S_z, 1/2 \ rangle) $ 스핀의 $ z $ 구성 요소의 정규화 된 고유 벡터로 구성된 경우 해당 기저에서 다음 행렬 표현을 찾을 수 있습니다. {align} [S_x] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_x \\ [S_y] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_y \\ [S_z] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_z \\ \ end {align} 그것을주의해라 이러한 표현은 추가 $ \ hbar / 2 $ 요소까지 정확하게 Pauli 행렬입니다. 또한 시스템의 각 상태는 $ 2 \ x 1 $ 행렬 또는 “spinor”\ begin {align} [| \ psi \ rangle] _B = \ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix }. \ end {align} 그리고 이러한 표현을 사용하여 위에서 언급 한 계산을 수행 할 수 있습니다.

댓글

• 감사합니다. 이것은 나를 이해하는 데 크게 도움이되었습니다. 음의 고유 값을 반환하는 고유 상태가 스핀 ‘ 아래로 ‘ 및 양의 스핀 ‘ 위로 ‘? 내 이해를 확인하기 위해 ‘ 위에서 사용한 예제를 계산하려고했습니다. x 차원 (고유 값 hbar)에서 위로 측정 된 spin-1 입자가 정규화 된 상태 < 1/2, sqrt (2) / 2, 1/2 > 및 z 차원의 확률 측정 값은 1/4, 스핀 0은 1/2, 1/4은 감소합니까?
• +1 특히 ” 기계가 마음에 듭니다. “-매우 파인 마니 안 풍미. 나는 수년 동안 ” 이해 ” QM : 수학과 거짓말 이론이 마음에 들었지만 오랜 시간이 걸렸습니다. ” 연산자 ” 연산자뿐만 아니라 ” 측정 기계 “. 슬프게도 ‘ 메시지를 전달한 것이 파인만 강의 였는지 사쿠라이 였는지, 아니면 샤워 할 때나 그 동안 내 생각에서이 두 가지가 혼합 된 것인지 기억할 수 없습니다. 걷기,하지만 지금은 사람들에게 추천합니다.

그룹은 정의 된 추상적 인 수학적 구조입니다. 토폴로지 (연속 (Lie) 그룹의 경우)와 곱셈 연산에 따라 다릅니다.

그러나 추상 그룹에 대해 이야기하는 것은 거의 불가능합니다. 그렇기 때문에 일반적으로 그룹 요소가 벡터 공간 $ V $에 작용하는 선형 연산자에 매핑됩니다.

$$ g \ in G \ rightarrow \ rho (g) \ in \ text {End} (V ), $$

여기서 G는 그룹이고, $ \ text {End} (V) $는 $ V $의 endomorphism (선형 연산자), $ \ rho (g) $는 매핑입니다. .이 매핑이 의미가 있으려면 그룹 곱셈을 올바르게 매핑해야합니다.

$$ \ rho (g_1 \ circ g_2) = \ rho (g1) \ cdot \ rho (g2). $$

역도 매핑됩니다.

$$ \ rho (g ^ {-1}) = \ rho (g) ^ {-1} $$

그리고 그룹 ID는 단지

$$ \ rho (e) = \ text {Id} _V입니다. $$

이를 $ G $ 그룹의 표현이라고합니다. $ V $는 $ G $ 그룹의 $ \ rho $ 표현으로 변환됩니다.

귀하의 경우 관심 그룹은 일반적으로 SO (3)로 표시되는 3 차원 회전 그룹입니다. 우리의 목표는 회전 할 수있는 다른 객체, 즉 SO (3)의 표현 (및 표현 공간)을 찾는 것입니다.

이러한 표현 중 하나는 정의 표현 (SO (3)을 정의하는 데 사용됨)입니다. , 또는 벡터 표현. 이 경우 $ V $는 $ R ^ 3 $이고 $ \ rho (\ text {SO (3)}) $의 행렬은 단위 행렬식이있는 3 $ 행렬의 직교 $ 3 \ times입니다.

$ $ A ^ {T} A = 1; \ quad \ det A = 1 $$

그러므로 벡터는 3 차원으로 회전 할 수 있습니다. $ g \ in \ text {SO (3)} $에 의한 이러한 회전의 결과는 $ \ rho (g) $ 연산자를 사용하여 초기 벡터에 작용하여 결정됩니다.

또 다른 표현은 스피너입니다. 대표. 벡터 공간은 이제 2 차원이며 복잡합니다 . 이 표현의 이미지는 단위 행렬식이있는 단일 $ 2 \ times 2 $로 구성됩니다.

$$ A ^ {\ dagger} A = 1; \ quad \ det A = 1. $$

스피너는 일상 생활에서 일반적으로 볼 수없는 것이기 때문에이 표현은 이전 표현만큼 분명하지 않습니다. 그러나 이러한 표현은 동형이며 따라서 동일한 그룹의 두 가지 표현임을 수학적으로 입증 할 수 있습니다. (실제로, 그것들은 동형이고 스피너 표현은 벡터 표현의 이중 커버입니다.)

이제 Pauli 행렬에 대한 일반적인 원칙이 있습니다 : 각각의 Lie 그룹 $ G $에 상응하는 선형이 존재합니다. Lie 대괄호 (Jacobi 정체성을 충족하는 반 교환 연산)가있는 공간 (Lie 대수)은 $ G $의 그룹 단위의 일부 이웃에 고유하게 매핑됩니다.이 매핑을 지수라고합니다.

그래서 당신은 임의의 (전역 토폴로지 문제를 피할 수있을만큼 충분히 가깝게) 작성할 수 있습니다. $ 2 \ times 2 $ complex matrix fr 스피너 표현 형식

$$ A = \ exp \ left [\ frac {i} {2} \ alpha ^ a \ sigma_a \ right], $$

여기서 $ \ alpha ^ a $는 표현이 $ A $ 인 그룹 요소를 매개 변수화하는 3 개의 숫자이고 $ \ frac {i} {2} \ sigma_a $는 $ \ sigma_a $-3 $ 2 \ times와 함께 거짓말 대수 기저입니다. 2 $ Pauli 행렬. 이 방정식은 임의의 회전에서 스피너가 어떻게 변형되는지를 거의 지정합니다.

벡터 표현에는 3 $ 3 \ x 3 $ 행렬로 구성된 거짓말 대수 기저도 있습니다.

파울리 행렬에 대한 다른 두 가지 해석이 도움이 될 수 있습니다. JoshPhysics의 뛰어난 물리적 설명 . 다음은 ” 펑키 퀴즈 ” (at 적어도 나는 그것들이 흥미 롭다고 생각합니다) 물리적 해석보다는 Pauli 행렬에 대해.

1. $ \ mathfrak {su} (2) $

첫 번째 해석은 (i) 단위 쿼터니언, 모듈로 부호 변경 및 수학자가 정의한 이러한 짐승 , (ii) 거짓말 대수 $ \ mathfrak {su} (2) $ / $ SU (2) $ 행렬 지수를 사용하여 그룹 $ SU (2) = \ exp (\ mathfrak {su} (2)) $ ~ (iii) De Moivre의 정리 .

일반적이고 흔적이없는 $ 2 \ times2 $ 왜곡 Hermitian 행렬 $ H $ 는 다음과 같이 고유하게 분해 될 수 있습니다.

$$ H = \ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z \ tag {1} $$

with $ \ alpha_x, \, \ alpha_y, \, \ alpha_z \ in \ mathbb { R} $ . 이 행렬은 특성 방정식 $ H ^ 2 =-\ frac {\ theta ^ 2} {4} \, \ mathrm {id} $ 을 충족합니다. 여기서 $ \ mathrm {id} $ 는 $ 2 \ times2 $ ID 및 입니다. $ \ frac {\ theta} {2} = \ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2} $ .따라서 범용 수렴 행렬 지수 Taylor 급수를 배포 한 다음 특성 방정식을 사용하여 선형 항보다 높은 $ H $ 의 모든 거듭 제곱을 줄이면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

$$ \ exp \ left (H \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ mathrm {id} + \ hat {H} \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ tag {2} $$

De의 일반화로 보입니다. ” 순수 가상 ” 단위에 대한 Moivre의 공식

$$ \ hat {H} = \ frac {\ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z} {\ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2}} \ tag {3 } $$

및 $ SU (2) $ 의 모든 구성원은 (2)와 같은 지수로 실현 될 수 있습니다. (그러나이 경우 $ SU (2) $ 의 전체가 위도를 제외하고 항상 전체 거짓말 그룹이 아니지만 Lie 대수의 지수는 ter는 (i) 연결되고 (ii) 컴팩트). 따라서 $ SU (2) $ 의 모든 구성원은 파울리 행렬의 ” 단위 길이 중첩으로 분해 될 수 있습니다. 단위 행렬.

$ \ theta / 2 $ 정의에서 요소 2의 이유는 지금까지 신비합니다. 위와 마찬가지로 $ \ theta / 2 $ 를 $ \ theta $ 로 쉽게 대체했을 수 있습니다. 그 이유는 나중에 논의 할 Pauli 행렬과 천구 사이의 관계와 관련이 있습니다. 쿼터니언은 스피너 맵을 통한 회전을 나타냅니다 ( BUT Joshphysics가 조언하는대로이 단어에 너무주의를 산만하지 마십시오). 3 공간의 벡터가 $ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ 형식의 순수 허수 쿼터니언으로 표현되는 경우 , 그런 다음 방향 코사인이있는 축을 중심으로 $ \ theta $ 각도 회전 아래의 이미지 $ \ gamma_x, \, \ gamma_y, \, \ gamma_z $ 는 다음과 같이 지정됩니다.

$$ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z \ mapsto U \, (x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z) \, U ^ \ dagger; \ quad U = \ exp \ left (\ frac {\ theta} {2} (\ gamma_x \, \ sigma_x + \ gamma_y \, \ sigma_y + \ gamma_z \, \ sigma_z) \ right) \ tag {4} $$

이 스피너 맵은 그룹의 예입니다. $ SU (2) $ 는 인접 표현을 통해 자체 Lie 대수로 작동합니다. 다음과 같이 직관적으로 이해할 수 있습니다. 아래 다이어그램에 스케치 된 것처럼 두 회전의 구성을 계산하는 삼각형 규칙. 단위 구의 호는 원점에서 호가 대치 한 각도의 두 배 각도를 통한 회전을 나타냅니다.

예제 1.4 ” $ 2 \ times2 $에서 이에 대해 자세히 설명합니다. 내 웹 페이지 ” $ SU (2) $ ”

일반적인 기계적 설명입니다. 필드와 파동은 쌍곡선 방정식 (파동 방정식)을 따릅니다. 이것은 공간과 시간의 진보를 나타내며, 따라서 “정지되어야하지만 회전 할 수도있는 질량을 나타낼 수 없습니다. 이러한 운동에는 타원 방정식이 필요합니다. 예를 들어 Kline-Gordon 방정식은 쌍곡선이고 Dirac 방정식은 다음과 같습니다. 타원. 유동 유체에 평행 한 예가 있습니다. 소용돌이와 난류는 경계의 도움 없이는 형성 될 수 없습니다. 흐름이 순환 상태로 진행되는 것을 편향시킵니다. 첫 번째 영역은 쌍곡선이고 두 번째 영역은 타원입니다.

이제 필드 (위치에서 움직이는)에서 입자 (회전 에너지)를 생성하려면 필드의 방향을 굴절 / 회전시켜야합니다. 여기에 Pauli 행렬이 도움을 요청하고 필요한 타원도를 제공합니다. 이것이 허수 / 회전이 사용되는 이유입니다. 양에 i를 곱하면 90도 회전합니다. 일반적인 각도의 경우 허 수량의 지수를 사용합니다.

나중에 더 일반적인 모델에서 파동과 입자의 라그랑주를 혼합하면 되돌립니다. Higgs를 사용하여 한 유형의 에너지에서 다른 유형으로 변환하는 동일한 작업을 수행합니다. 즉, 필드에서 입자로, 그 반대입니다.