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무한한 무수한 숫자에 의문을 제기하는 것은 당신뿐이 아닙니다. 사실, 무한한 수의 스펙트럼을 탐구하는 전체 사고 학파, 무한한 스펙트럼 너머의 초한 수를 탐구하는 사고 학파 전체, 그리고 무한이 존재하지 않는 곳에서 수학을 수행하는 방법을 탐구하는 사고 학파 전체가 있습니다. 생각)!
무한 수에 대한 논의의 기본은 Peano 산술의 개념입니다. Giuseppe Peano는 비공식적으로 시퀀스 0, 1, 2, 3, 4로 정의되는 소위 “자연수”에 대한 축 세트를 개발했습니다. .. 공리는 다음과 같습니다.
- 0은 자연수입니다 (존재한다고 선언하고 상수입니다).
- 모든 자연수에 대해
x, x = x (반사 : 모두”같음 “자체)
- 모든 자연 수용
x 및 y, x = y이면 y = x (동등 대칭 속성)
- 모든 자연수
x, y, z (x = y 및 y = z 다음에 x = z (동등의 전이 속성)
-
b가 자연수이고 iv id = “인 경우 모든 a 및 b 47e1f60da0 “>
a는 자연수입니다 (같음은 “닫힘”).
그런 다음 함수를 정의해야합니다. S, 후속 함수로 알려져 있으므로 0보다 큰 숫자를 가질 수 있습니다. 비공식적으로는 S(0)=1, S(1) = 2 등 on.
- 모든 자연수
n에 대해 S(n)도 자연수입니다.
- 모든 자연수
m 및 n, m = n S(m) = S(n) (S는 주입)
- 모든 자연수에 대해
n, S(n) = 0는 false입니다 (숫자의 후속 숫자는 절대 0이 아닙니다 … 일명 0은 “첫 번째”자연 수임)
이제 질문을 매우 흥미롭게 만드는 공리가 필요합니다. 귀납 공리 :
- if
f가 t f(0)는 true이고 모든 자연수 n에 대해 f(n)가 true이면 f(S(n))가 참이면 f(n)가 모든 자연수에 참입니다.
마지막 공리는 매우 흥미로운 행동을 일으키는 원인이됩니다. 그것은 무한대에 도달하려고 시도하고 그것을 파악할 수있는 방법을 제공한다고 주장하는 것이다. 그리고 모든 공리와 마찬가지로, 그것은 “옳다”라고 반드시 명시하지 않고 단지 경계 내에서 진실이라고 선언했다. (Peano에 의해 정의 된) 산술 규칙의.
대부분의 산술은 “집합 이론”으로 공식화되었습니다. 이것은 우리 수학의 기초가되는 것입니다. 우주가 어떻게 구성되는지에 대한 기본적인 것으로 보입니다. 집합은 {0, 1, 2, 3, 4}.Peano 산술은 다음 구성을 사용하여 집합 이론에 가장 일반적으로 매핑됩니다.
- 빈 집합
{}은 상수
- 후속 함수
S(n)는`S (n) = {{}, {n }} (어떤 숫자의 후속 숫자는 빈 집합과 이전 숫자를 포함하는 집합의 합집합으로 정의됩니다.)
그 정의는 약간 둔한 것처럼 들리지만 다른 모든 Peano 공리를이 두 정의에 쉽게 매핑 할 수 있습니다.이를 통해 집합 이론 공리를 사용하여 매우 강력하고 근본적인 방법으로 “숫자”를 조작 할 수 있습니다.이 중 가장 중요한 것 중 하나는 집합의 카디널리티입니다. 이것은 집합에있는 사물의 “수”입니다. 비공식적으로 {1, 2, 3}, {3, 4, 5} 및 {apple, orange, orangutan}은 모두 카디널리티가 3입니다. 3 개의 요소가 있지만 {2, 4, 6, 8}의 카디널리티는 4입니다.
이것은 “모든 자연수의 집합”이 유효한 집합이며 일반적으로 대문자 N로 표시되므로 까다로울 수 있습니다. 따라서 “의 카디널리티는 무엇입니까?” 모든 자연수의 집합? “대답은”무한 “이며 그 진술은 정의로 만들어집니다. N의 카디널리티를 영어 이름 “countable infinity”가 부여 된 ℵ₀라는 특정 숫자로 정의합니다. 네, 수학자들에게 무한대는 셀 수 있습니다. 왜냐하면 당신은 이론적으로 0에서 시작해서 1, 2, 3, 4, 5까지 셀 수 있고, 귀납 공리에 따라 “도달”ℵ₀을 할 수 있기 때문입니다. 연속체의 카디널리티 또는 실수의 수로 알려진 ℵ₁과 같은 셀 수없는 무한도 있습니다 (연속체 가설이 사실이라고 가정하면 … 이것에 대해 다른 의견도 있습니다). “I double dog dare you infinity plus one times!”와 같은 문구를 처리 할 수있는 “초한”숫자를 생각했습니다.
수학에서 무한의 토끼 구멍에 오신 것을 환영합니다. 우리는 여기서 단어를 의미하는 것으로 정의했습니다. 이것은 일련의 공리와 관련하여 정의됩니다. 이러한 공리가 “실제 생활”에 적용됩니까? 대부분의 수학자들은 자신이 그렇게 가정하는 것이 편리하다고 생각합니다. 오늘이 컴퓨터를 읽고 있습니다. 미적분학의 많은 모델을 사용하여 개발되었으며 미적분학의 뿌리는 무한한 깊이에서 발견됩니다 (특히 “한계”라는 개념). 지금까지 그 가정은 우리에게 꽤 좋은 결과를 가져 왔습니다. 그 가정은 “진실입니까?”더 복잡합니다. 질문. 자연수의 수가 유한하다는 가정에서 시작하는 유한주의 사상 학교가 있으며 일반적으로 인간의 마음이나 우주의 유한 한 능력과 관련이 있습니다. 시간이 유한하고 계산이 유한하다면 이론적으로 컴퓨터 “무한”을 할 수 없기 때문에 그들은 “무한”이라고 주장합니다. 그들이 옳습니까? 음, 예 … 그들의 정의에 따르면 반대 주장이 사실 인 것처럼 Peano 공리와 집합 이론의 정의입니다. 둘 다 “무한대”라는 단어를 조금씩 다른 의미로 정의하기 때문에 사실 일 수 있습니다.
마지막으로, 언어학을 다룰 가치가 있습니다. 선택 : “그렇다면 숫자는 무한하다고 말할까요?”우리는 많은 것을 말할 수 있습니다. 이러한 것들이 진실성의 이상 (공식적으로 설명하기에는 매우 어려운 단어)을 충족하는지 여부는 다음에 대한 개인의 의미에 크게 좌우됩니다. 말. 주류 수학에 의해 주어진 “무한”에 대한 정의를 받아 들인다면, 문자 그대로 주류 수학이 “무한”을 그 자체로 정의하기 때문에 “숫자는 무한하다”가 참입니다. 유한 주의자들에 의해 주어진 정의를 받아 들인다면, “숫자는 무한하다”는 거짓입니다. 그 이유는 유한 주의자들이 “무한”을 그렇게 정의하기 때문입니다. 자신의 정의를 선택할 수 있습니다. 심지어 문맥적일 수도 있습니다 (종교 내에서 “무한”을 정의하는 것과 수학 내에서 정의하는 것과 약간 다르게 정의하는 기독교 수학자를 찾는 것은 드문 일이 아닙니다. 두 개의 매우 유사한 개념이 어휘에 동일한 단어가 할당되는 것 외에는 나쁜 영향이 없습니다) .
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