면적은 어떻게 벡터가 될 수 있습니까?

이것은 수학 문제에 더 가깝습니다. . 이것은 3 차원 공간에 관한 특이한 점입니다. 3 차원에서 평면과 같은 영역은 2 차원 부분 공간입니다. 한 장의 종이에는 점을 명확하게 나타 내기 위해 두 개의 숫자 만 필요합니다.

이제 종이 위에 서 있다고 상상해보세요. 머리가 가리키는 방향은 항상이 평면의 방향을 알 수있는 방법이 될 것입니다. 우주에서. 이것을이 평면에 대한 “법선”벡터라고하며 평면에 직각을 이룹니다.

이제이 법선 벡터의 길이가이 표면의 면적과 같도록 규칙을 선택한 경우 , 2 차원 평면, 3 차원 공간에서의 방향 (벡터 부분) 및이 평면의 크기 (이 벡터의 길이)에 대한 완전한 설명을 얻을 수 있습니다.

수학적으로 이것을 표현할 수 있습니다. 크기가 $ | c |로 정의되는 “교차 곱”$$ \ vec c = \ vec a \ times \ vec b $$ = | a || b | sin \ theta $ 이는 벡터 (실제로 평면을 정의하는) 범위에 해당하는 평행 사변형의 면적과 같습니다. 교차 곱에 대한 위키 백과의 기사에서이 사진을 훔치려면 :

처음에 말씀 드린대로 이것은 3 차원에서 매우 특별한 것입니다. 더 높은 차원에서는 여러 가지 이유로 깔끔하게 작동하지 않습니다. 이 주제에 대해 자세히 알아 보려면 키워드는 “exterior algebra”입니다.

업데이트 :

이 개념의 물리적 중요성과 관련하여 눈에 띄는 예는 표면을 통해 흐르는 벡터 장입니다. 원형 와이어를 사용하십시오. 이 원은 3D에서 다양한 방향으로 배치 될 수 있습니다. 외부 자기장이있는 경우, 이것이 원을 통해 흐르는 양의 변화율에 비례하여 전류를 유도 할 수 있음을 알 수 있습니다 (화살표가 영역을 천공하는 양으로 생각하십시오). 자기장 벡터가 원에 평행하면 (따라서 해당 법선 벡터에 직교하는) 영역을 전혀 “천공”하지 않으므로이 영역을 통과하는 흐름은 0입니다.반면에 필드 벡터가 평면에 직교하면 (즉, 법선에 평행) 최대로이 영역을 “천공”하고 흐름이 최대가됩니다.

그 사이의 방향을 변경하는 경우 전류를 얻을 수있는 두 가지 상태입니다.

설명

• 자기장에 대한 언급은 +1입니다. 물리학에 사용되는 모든 표면 벡터가 미분은 아닙니다.
• 감사합니다. 몇 가지 설명이 있습니다. 종이 위에 서있는 사람이 & 머리의 방향을 법선 벡터로 간주한다고 상상해 보라고했습니다. 하지만이 사람이 정반대의 얼굴에 서 있었는데 ' 종이의 방향이 여전히 동일하게 유지되지 않았다고 가정 해 보겠습니다. 그러나 이제 벡터의 방향은 반대 방향입니다. 명확히 해주세요.
• 둘째,이 개념은 더 높은 차원에서 ' 잘 작동하지 않는다고 말했습니다. 그렇다면 구형 ' 영역의 방향에 대한 질문이 유효하지 않다는 의미입니까? 그렇다면 면적은 벡터로 간주하여 공간에서 방향을 지정할 수 없기 때문에이 특별한 경우에 스칼라입니다.
• 어떤 '가 만족스럽지 못하도록하는 것입니다. ?
• ' 만족스럽지 않습니다. axb가 벡터이지만 | axb |, 즉 면적이 스칼라이므로 해당 면적이 벡터입니다.

주요 사용 방식은 면적이 극도로 작을 때입니다. 적분에서 사용하십시오. 이 경우 우리는 그것이 평평하다는 것을 쉽게 알 수 있고 모양은 실제로 중요하지 않습니다. 어떤 경우에는 정보를 (스칼라) 영역을 나타내는 크기와 함께 벡터로 인코딩 할 수 있습니다. 주어진 측면에서 지적하는 것은 정확히 — 선택 —하지만 일관되게 만들 수있는 것입니다. 우리는 이것을 무한이 아닌 평면으로 확장 할 수 있지만 곡면에서는 잘 작동하지 않습니다.

정확하게 말하면 실제로 원하는 것은 공동 벡터 입니다. 이것은 벡터를 취하고 스칼라를 뱉어내는 추상 가제트입니다. 평면의 경우, 이것이 평면을 통과하는 벡터의 “양”을 나타내기를 원합니다. 따라서 벡터에서 선형이어야하며 (벡터를 두 배로 늘리면 출력이 두 배가 됨) 각도를 고려해야합니다. 벡터가 그것을 적중합니다 ($ \ cos $의 요소를 부여합니다). 이제 우리는이 추상적 인 공동 벡터를 어떻게 표현 할지에 대한 질문을 할 수 있습니다. 그리고 벡터가 좋은 생각이라는 것이 밝혀졌습니다! 특히, 우리는 선형성과 코사인을 자연스럽게 인코딩하는 내적을 취하는 것으로 행동을 나타낼 수 있습니다. 이제 일반적으로 이것은 적절한 벡터와 동일한 수의 차원을 가지지 만 이것은 3D에서 영역 (2D 표면) 만 인코딩합니다 .— 2D에서는 선을, 4D에서는 볼륨 (예! 4- 벡터는 한 지점에서 볼륨과 교차합니다!).

이런 종류의 것에 대해 더 많이 배우고 싶다면, 미분 기하학을 조사하고 싶을 것입니다. 해당 입력란의 양식 ). 읽기 쉬운 참조는 Gauge Fields, Knots 및 Gravity 로 수학의 기본 개요에서 시작하여 물리적 사용을 위해 개발합니다.

의견

• 전자기 같은 장 이론의 맥락에서 " 벡터의 양 (장 ) 평면 세그먼트를 통과하는 "에는 flux 라는 이름이 지정됩니다. 따라서 영역을 벡터 (또는 벡터 필드)를 해당 영역을 통과하는 벡터 (필드)의 플럭스에 매핑하는 함수로 특성화되는 것으로 생각할 수 있습니다.
• @luksen 그가 언급 한 책은 좋습니다. 수학적 및 물리적 지식의 수준은 어느 정도입니까? 다시 말하면 책을 효율적으로 따르기위한 전제 조건은 무엇입니까? 그리고 대학원 또는 학부 책입니까?

힘은 압력 시간 영역 ($ F = P \ cdot A $)입니다. 압력은 스칼라이고 (관련된 방향이 없음) 힘은 벡터 (축을 따라 작용 함)입니다. 이것이 압력에 대해 의미하는 바입니다.

작은 영역을 취해 압력으로 인한 전체 힘에 대한 기여도를 확인하십시오.

$$ {\ rm d} F = P ( x, y, z) \, {\ rm d} A $$

힘의 방향은 영역에 수직이고 그 크기는 영역의 크기에 비례합니다. 무한소 영역 $ {\ rm d} A $는 벡터가 될 수 있습니다. (벡터) = (스칼라) * (벡터)를 생각하면 편리합니다.

단면 영역에 적용되는 3 차원의 피 타고르 법칙의 그림 같은 예가 특히 있습니다. (여기서 “단순”은 3 개의 직교로 경계가 지정된 공간 섹션을 의미한다고 생각합니다. 비행기와 하나의 임의의 비행기.) 세 개의 작은면의 제곱 (영역)의 합은 사면 영역의 제곱과 같습니다. 여기에 게시 된 다른 답변에 제시된 압력 / 흐름 유형 인수와 방해받지 않는 유체가 자체 평형에 있다는 명백한 물리적 조건으로 쉽게 설명됩니다.