어떻게 64 = 65 일 수 있습니까?

이것은 피보나치 시리즈 .

제시된 질문에 답하기 위해 문제는 두 개의 슬로프가 다르다는 것입니다 ( $ \ frac25 $ 대 $ \ frac38 $ ). 이러한 모든 숫자는 피보나치 시리즈 ( $ 1,1,2,3,5,8,13,21, \ ldots $ )에 있습니다.

연속 분수는 위와 아래를 번갈아 가며 $ \ varphi $ 에 더 가까운 근사치입니다. 이와 같은 다이어그램은 피보나치 수열 (이 질문 8에서)의 수와 변이 같은 정사각형을 만든 다음 선택한 첫 번째 피보나치 수를 구성하는 두 개의 피보나치 수 (3 및 3)의 너비를 가진 두 개의 직사각형으로 분할하여 생성 할 수 있습니다. 5).

더 작은 것을 대각선 아래로 자르고 큰 것을 대각선에서 가운데 아래로 잘라 대각선 절단의 너비가 다음으로 작은 숫자 (이 경우 2)가되도록합니다. 이렇게하면 작은 평행 크기가 원래의 작은 직사각형의 작은 변 (이 경우 3)과 일치하고 더 큰 평행 크기가 원래 큰 직사각형의 작은 변 (이 경우 5)과 일치하는 사다리꼴이 남습니다.

$ \ frac25 \ approx \ frac38 $ 이후, 위의 구성에서 조각을 직사각형으로 재배치 할 수 있습니다 (그림 참조). 그 지역은 항상 원래 광장에서 하나 떨어져 있지만 경사가 거의 일치하기 때문에 거의 정확 해 보일 것입니다.

편집 :이 답변은 많은 찬성 투표를 받았기 때문에 (감사합니다!), 저는 사람들이 매우 관심을 갖고 있다고 가정 해 보겠습니다. 그래서 저는 “몇 장의 이미지를 그릴 것입니다!

1,1,2,3 : $ 3 \ times3 = 9 = 10 = 2 \ times5 $

1,2, 3,5 : $ 5 \ times5 = 25 = 24 = 3 \ times8 $

2,3,5,8 : $ 8 \ times8 = 64 = 65 = 5 \ times13 $ (OP의 예)

3,5,8,13 : $ 13 \ times13 = 169 = 168 = 8 \ times21 $

5,8,13,21 : $ 21 \ times21 = 441 = 442 = 13 \ times34 $

@EricJ의 댓글 . 여기에서 언급 할 가치가있는 토론이 촉발되었습니다.

이러한 모든 퍼즐이 피보나치 시리즈를 기반으로한다고 주장하는 것은 아닙니다. 모든 피보나치 숫자가 이러한 다이어그램을 생성 할 수 있다는 것입니다. 피보나치에는 몇 가지 특성이 있습니다. 이 작업을 수행하는 숫자입니다.

1. 첫 번째는 피보나치 수의 제곱이 양쪽에있는 숫자의 곱보다 하나 더 많고 하나 더 적습니다.
2. 이미 언급 한 경사가 있습니다. 이는 우리의 구조가 거의 동일한 두 개의 경사를 제공한다는 것을 의미합니다. 그리고
3. 각 숫자가 이전 두 숫자의 합을 기반으로 전체 구성이 완료 될 수 있다는 주장이 있습니다.

후자의 두 점이 가장 좋을 수 있습니다. 구조를 자세히 연구하여 이해합니다. 첫 번째 요점은 다음과 같은 귀납법으로 증명할 수 있습니다.

RTP : $ k \ geq1 $에 대한 $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ pm1 $

$ f_0 = 0 $ 및 $ f_1 =가되도록 색인을 생성합니다. 1 $ .

1 단계 : $ k = 1 $ : $ f_1 ^ 2 = f_0f_2 + 1 $ 은 대체로 확인할 수 있습니다.

2 단계 : $ k $ 에 해당한다고 가정합니다. 따라서 $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1 $ . ( $ \ mp1 $ 를 사용하고 있습니다. 번갈아 가며 3 단계에서 $ \ pm1 $ 에 대해 증명하겠습니다.

3 단계 : $ f_ {k + 1} ^ 2 = f_ { k} f_ {k + 2} \ pm1 $ . 여기에 있습니다.

\ begin {eqnarray} f_ {k} f_ {k + 2} \ pm1 & = & f_ {k} (f_ {k} + f_ {k + 1}) \ pm1 \\ & = & f_ {k} ^ 2 + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & (f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1) + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k-1} + f_ {k}) \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k + 1}) \\ & = & f_ {k + 1} ^ 2 \ end {eqnarray}

피보나치 수열의 정의를 두 번 사용했습니다 ( $ f_ {k + 2} = f_k + f_ {k + 1} $ 및 $ f_ {k-1} + f_k = f_ {k + 1} $ ) 및 2 단계 가정

즉, 위의 건설을 할 때 면적이 항상 1 만 차이가납니다 (매번 위와 아래가 번갈아 표시됨).

댓글

• Exc ellent 대답! 저는 '이 퍼즐에 익숙하지만 피보나치 연결에 대해 들어 본 적이 없습니다. 사실 저는 ' 이러한 모양을 생성하는 알고리즘이 있다는 사실조차 깨닫지 못했습니다.
• 이것이 제가 " math.stackexchange.com 의 데모 " 사진으로 증명되었습니다.
• 이 질문을 본 후 저는 저의 Faster-Than-Light Time-Travelling Ferrari 488이 '이 아주 작동하지 않는 이유를 깨달았습니다 (즉, ' 가벼운 것보다 빠르게 시간을 거슬러 올라갑니다 Just Fine-하지만 Ford Fiesta로 계속 돌아 왔습니다!) 그리고 저는 ' d 방금 완료했습니다. 이 멍청한 대답을 읽었을 때 그것을 고치고 테스트 실행을 시작했습니다! 그리고 페라리가 돌아 왔습니다. 그러나 이번에는 공룡이 타고있는 자전거로 돌아 왔습니다! 그래서 저는 디노 (이름 ' s Fred, BTW-좋은 사람입니다. 웃긴 ol ' 물건, 인생 .. .) 프라이팬을 사용하여 이제 ' FTL 엔진을 다시 수정합니다. 그래서 ' 감사합니다. ' !! 🙂
• 저는 ' 그가 불가능한 일을하고 있었으며 이제는 ' t 더 이상 ' 불가능하다는 것이 입증 되었기 때문입니다. 내가 얻지 못하는 것은 ' 왜 그렇게 많은 찬성표를 얻었습니까? 내 말은 내가 영리하다고 생각했지만 그게 영리하지 않다는 뜻이야!
• 아, 그래? 잘! 나는 단지 100을 만들기 위해 당신의 대답을 찬성했습니다! 그래서 거기 !!!! 🙂 (그리고 @ghosts_in_the_code를 제외하고-저는 '이 대답이 어리 석다고 말하지 않았습니다. " 어리석은 " 아이러니 한 의미로 " 답이 틀 렸습니다! 정말 어리석은 대답 이군요! "-즉, 저는 ' 여기서 진짜 더미입니다. ' 이제 모두 괜찮 았으면합니다 …) . 내 의견은 실제로 Back To The Future, ET 및 Caddyshack의 세 영화에 대한 경의입니다. 그리고 Hitchiker ' 은하계 가이드 3 부작-5 권 모두. 🙂

다이어그램이 잘못되었습니다. , 두 번째 구성 중간에 틈새를 숨 깁니다.

문제의 모양을 다시 정렬하면 실제로 얻을 수있는 것입니다. 대각선이 약간 “활”하여 모양 사이에 여분의 공간이 남습니다. 여기에 추가 영역 단위가 들어갑니다.

하지만 원본 그림을 그린 사람보다 더 이상 저를 믿지 마세요!

여기에서 볼 수 있듯이 그림은 오해의 소지가 있습니다. 따라서 제 다이어그램은 원래 다이어그램이 잘못되었습니다. 이것은 여분의 공간이 어디에서 왔는지 직관적으로 알려줍니다.

적절한 증명을 위해 그라디언트를 고려하십시오.

• 파란색 사다리꼴의 그라디언트는 $ 5 / 2 = 2.5 $입니다.
• 빨간색 삼각형은 $ 8 / 3 = 2.666 … $

그래디언트가 일치하지 않기 때문에 이들 사이에 공백이 없으면 이렇게 나란히 배열 할 수 없습니다. . 하지만 가까이 있기 때문에 눈이 하나의 연속적인 선을 형성한다고 생각하도록 속일 수 있으며 삼각형의 기울기가 중간 아래로 변하는 것을 알아 차리지 못합니다.

댓글

• 나는이 퍼즐을 좋아합니다. ' 물건이 제시 될 때 받아들이지 않는 ' 좋은 철학적 도덕이 있습니다.

오른쪽 치트 의 이미지 : 조각 실제로 완벽하게 맞지 않고 그 사이에 간격이 있습니다. 이를 증명하기 위해 삼각형의 크기를 계산하여 다음과 같이 형성하여 간격의 크기를 계산할 수 있습니다.

• 노란색 삼각형의 가장 긴 변 : $ a = \ sqrt {3 ^ 2 + 8 ^ 2} $
• 사다리꼴의 경사면 : $ b = \ sqrt {2 ^ 2 + 5 ^ 2} $
• 사다리꼴의 대각선 right : $ c = \ sqrt {5 ^ 2 + 13 ^ 2} $

이 삼각형의 면적은 Heron의 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

$ $ A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} $$

여기서

$$ s = \ frac {1} {2} (a + b + c) $$

값을 수식에 대입하면 $ A $에 정확히 0.5가됩니다. 이러한 삼각형이 두 개 있으므로 “총 1 = 예상 불일치입니다.

이것은 오해의 소지가있는 다이어그램입니다. 실제로 각도가 일치하지 않습니다. 주황색 삼각형의 내부 각도가 더 클수록 약 69.5 도입니다. 회색 사각형의 경우 68.2입니다. (여기에서 삼각 함수를 잘못 떼어 내면 정정 해주세요.) 65 영역이있는 다이어그램에서 주황색 영역은 실제로 사각형입니다. 자세히 살펴보면 다른 주황색과 만나는 부분이 약간 굴절되어 있음을 알 수 있습니다. 따라서 추가 영역은 약간 확장하여 발생합니다.

삼각형은 동일한 기울기를 갖지 않습니다. ; “더 큰”직사각형을 통과하는 큰 대각선이 구부러지는 것을 볼 수 있습니다. 삼각형 주변의 굵은 선으로 덮여 있지만 전체 면적이 하나의 정사각형 인 매우 얇은 구멍이 있습니다.이 정사각형은 “아무데도 나타나지 않는”것으로 추정됩니다.

이미지를 확대하면 참조 답변.

간단한 답변 :

그림 오른쪽에있는 모양 (주황색)은 전혀 삼각형이 아닙니다! 두 개의 사변형입니다. 따라서 시각적으로 예상했던 것보다 더 큰 면적을 갖게됩니다. 그래서 여기에는 공평이 없습니다. 그것들은 다르기 때문에 총 면적이 다릅니다.

아래 직사각형의 그림은 사람들을 속이기 때문에 오해의 소지가 있습니다. 삼각형의 너비를 정확히 3 단위로 잘못 가정합니다.

실제 너비는 쉽게 계산할 수 있습니다. “대각선에있는 점의 높이로 정의되는 전체 너비의 일부입니다. 정확히 8/13/5, 즉 3.076923077 (3이 아님), qed

Comments

• 퍼즐 문에 따르면 두 다이어그램 모두 동일하며 삼각형의 모양은 8×8 구성에서 정확히 3 개 x 8 개 단위로 정의 됩니다. 오류는 alexwlchan

  의 답변 및 다른 여러 부분에서 수학적으로 설명 됨 : 조각은 실제로 5×13 구성에서 서로 맞지 않습니다 '. ' 둘 사이의 얇은 사다리꼴 틈새, 원래의 5×13 그림에서 그려진 두껍고 검은 색의 직선이 아닌 대각선으로 숨겨져 있습니다.