물리학에서 Atiyah-Singer 지수 정리는 어디에 사용됩니까?

운동 방정식, 즉석 방정식, 솔리톤, 아인슈타인 방정식 또는 물리학의 거의 모든 방정식은 미분 방정식입니다. 많은 경우, 우리는 미분 방정식의 해의 공간 에 관심이 있습니다. 관심있는 총 (비선형) 미분 방정식을 $ L (u) = 0, $로 쓰면 $ u_0, $ 해 근처에서 선형화 할 수 있습니다. 즉, $ u = u_0 + v $ 및 $ L (u_0 + v) = 0 + L ' | _ {u_0} (v) + … = : D (v) $를 확장하여 $ D 선형 방정식 생성 (v) = 0 $ in the 변위 $ v. $

선형 미분 방정식은 행렬 방정식과 같습니다. $ n \ times m $ 행렬 $ M $은 $ R ^ n $에서 $ R ^ m $까지의 맵이고 $ dim (ker (M))-dim (ker (M ^ *)) = nm , $는 특정 행렬 (또는 선형 변환,보다 일반적으로)과 무관합니다. 이 번호를 “색인”이라고합니다. 무한 차원에서 이러한 숫자는 일반적으로 유한하지 않지만 종종 (특히 타원 미분 방정식의 경우), 그 숫자가 작용하는 공간에 대한 특정 “전역”정보에만 의존합니다.

인덱스 정리 선형 미분 연산자 (위의 $ D, $)의 인덱스가 무엇인지 알려줍니다. 이를 사용하여 방정식 $ L (u) = 0. $에 대한 해 공간의 차원 을 계산할 수 있습니다 (해 공간이 다양체 [다른 이야기] 인 경우 차원은 차원입니다. $ D (v) = 0 $ 방정식이 설명하는 접선 공간의.) 실제 솔루션 공간이 무엇인지 알아주지 않습니다 . 이것은 어려운 비선형 질문입니다.

댓글

• 그것이 ' 좋은 수학적 대답입니다. ' 지수 정리의 진술을 아직 모르는 물리학 자들을위한 것입니다. 그러나 실제 물리적 예를 보지 못합니다. 유감스럽게도 Eric이 많은 것을 알고 있어야한다고 확신합니다. . 사람들이 끈 이론에서 항상 그것을 사용한다는 것을 알고 있습니다.하지만 저는 ' 내 답을 제공 할만큼 충분히 알지 못합니다.
• 색인 정리는 다음과 같습니다. 매우 일반적이며 내가 인용 한 모든 예 (인스 턴턴, 솔리톤, 아인슈타인 ' s 방정식)에 적용됩니다. 예를 들어 4 개의 인스턴스에서 $ SU (2) $ 인스턴스의 모듈 리 공간 -sphere $ S ^ 4 $ (무한대에서 일정한 동작으로 $ R ^ 4 $) 인스턴스 번호 $ k $는 인덱스 정리에 의해 $ 8k-3 $와 같습니다.
• 음, " 내 일상과 직접 모순되는 물리학의 모든 방정식 " 관찰 🙂 내가 바라던 것은 스티브가 준 것과 같은 구체적인 예였다. 또는 귀하의 인스턴트 예제와 같은 것 (하지만 $ S ^ 3 $을 의미한다고 생각합니까?). 특히 물리적 해석과 관련하여 더 많은 것을보고 싶습니다. 미리 감사드립니다 🙂
• 물리학의 모든 방정식이 미분 방정식이라는 것은 사실입니다. 그러나 모든 것이 색인 문제로 이어지는 것은 아닙니다. (S ^ 4를 의미했습니다. Instantons는 시간에 따른 필드 구성입니다.) Feynman 다이어그램이 2 차원 QFT 진폭 인 스트링 이론의 예입니다. 이 2 차원 장 이론은 표면에서 시공간까지의지도를 설명하며, 그 이론의 인스턴스는 홀로 모픽지도입니다. 이러한지도의 공간 차원은 색인 공식으로 찾을 수 있습니다. CY의 경우이 차원은 0입니다. 즉, 솔루션을 계산할 수 있습니다 (위상 문자열 이론과 관련됨).
• 인스턴스에 대한 좋은 답변과 언급에 +1. 하지만 실제로 아인슈타인 ' 방정식에 적용 할 수 있습니까? AFAIK 색인 정리는 선형 타원 연산자에 적용 할 수 있습니다 …

Eric과 다른 사람들이 좋은 결과를 얻었습니다. 인덱스 정리가 다양한 물리적 시스템에서 발생할 것으로 예상하는 이유에 대한 답변입니다. 가장 초기의 가장 중요한 응용 프로그램 중 하나는 $ U (1) $ 문제에 대한 “t Hooft”의 해결 방법입니다. 이것은 QCD에서 키랄 대칭 파괴에서 순진하게 기대할 수있는 아홉 번째 가상 금석 보손 (파이온과 카온과 같은)이 없다는 것을 나타냅니다. 해상도에는 두 부분이 있습니다. 첫 번째는 키랄 $ U (1) $가 변칙적이라는 사실입니다. 두 번째는 $ U (1) $ 축 전류의 발산을 포함하는 상관 함수에 기여하는 유한 동작 (인스 턴턴)의 구성이 있다는 것을 깨닫는 것입니다. 분석은 QCD의 $ SU (3) $ 게이지 필드와 결합 된 Dirac 연산자에 대한 인덱스 정리에 크게 의존합니다. 더 자세한 설명은 S. Coleman의 Erice 강의 “The uses of instantons.”단극 모듈 리 공간에서 Dirac 연산자에 대한 인덱스 정리를 포함하는 $ N = 4 $ SYM의 S- 이중성에 대한 중요한 응용 프로그램도 있습니다.

댓글

• Jeff, 줄을 서세요! Physics Stack Exchange가 Math Overflow만큼 광범위하고 현명하게 사용된다면 물리학 커뮤니티에 도움이 될 수 있다고 생각합니다. 예를 들어 여러분과 같은 사람들로부터!
• Eric에게 감사합니다. 방금 다시 시작했으면합니다. 제대로 작동하기를 바랍니다. MO 품질이되기 전에 몇 가지 방법이 있습니다.
• 그렇습니다. 그럴 것 같습니다. '는 현재 개발중인 사이트 (이론 물리학 스택 교환)로 Math Overflow와 더 비슷해 지지만이 사이트는 존재한다는 장점이 있습니다.

먼저 문제의 색인 이 무엇을 의미하는지 설명하겠습니다. . 수학이 전문 용어로 너무 가득 차면 댓글로 알려주세요.

물리학에서 우리는 종종 우리가 관심을 갖는 일부 매니 폴드에 대한 다양한 연산자의 스펙트럼. 예 : 3 + 1 시공간의 Dirac 연산자. 특히 저에너지 장거리 물리는 제로 모드 (지상 상태)에 포함되어 있습니다.

이제 Dirac 연산자 $ D $와 주어진 매니 폴드 $ M $에 대해 “인덱스”가 측정하는 것은 왼손잡이 제로 모드 수와 오른 손잡이 제로 모드 수의 차이입니다. 더 기술적으로 :

$$ ind \, D = dim \, ker \, D-dim \, ker \, D ^ {+} $$

여기서 $ D $는 문제의 운영자; $ ker \, D $는 $ D $의 커널-$ D $에 의해 소멸되는 상태 집합입니다. $ ker \, D ^ {+} $는 인접 커널입니다. 그런 다음 보시다시피 $ ind \, D $는이 두 공간의 차원 차이를 계산합니다. 이 숫자는 $ M $의 토폴로지에만 의존합니다.

요컨대, ASI 정리는 매니 폴드 $ M $의 토폴로지를 작동하는 차동 연산자 $ D $의 제로 모드 또는 접지 상태와 관련시킵니다. $ M $. 이것은 분명히 물리학 자들과 관련된 정보입니다.

다른 사람이 물리적 측면에 대해 더 자세히 설명 할 수 있습니다.

제 생각에는이 주제와 다른 수학적 물리학 주제에 대한 가장 좋은 참고 자료는 다음과 같습니다. 나카하라 .

Dirac 연산자, 인덱스는 하나의 카 이랄 성 w / r / t 다른 카 이랄 성 진공 모드 공간의 (서명 된) 초과 차원입니다. 즉, 키랄 장 이론에서 변칙적 인 “유령”상태의 수입니다.

고전적 / 양자 대칭 대응이 재 정규화 (renormalization) 하에서 분해 될 때 이상이 발생합니다 (전역 이상이 QCD에서 쿼크 질량을 담당 할 수 있습니다 .SM에서 로컬 키랄 이상을 해결하면 쿼크와 렙톤이 설명됩니다. 슈퍼 스트링 이론에서이를 해결하면 게이지가 수정됩니다. 그룹 [SO (32) 또는 E8 x E8로], 등각 변칙의 해상도는 시공간의 차원과 페르미온 함량을 수정합니다). 끈 이론을 실제 물리학으로 바꾸려고 할 때

• 3 세대의 키랄 페르미온을 설명 할 수 있습니까?
• 양성자 붕괴에 대한 실험 결과를 설명 할 수 있습니까?
• 전자 질량의 작은 정도를 설명 할 수 있습니까?
• [우주 상수에 대한 것]을 설명 할 수 있습니까?

그리고 AST가 이러한 질문에 답하는 데 도움이됩니다.