이상적인 도르래와 이상적인 스트링이있는 다음과 같은 간단한 Atwood 기계 를 고려하십시오.
제 교과서에 따르면 기계를 벽에 고정시키는 클램프의 장력은 $ 2T $입니다. 그 이유를 이해할 수 없습니다. $ m_1 $가 위쪽으로 가속된다고 가정 할 때 문자열에서 $ T $의 장력은 크기가 $ m_1g + m_1a = m_2g-m_2a $와 같습니다.
또한 , atwood 기계에서 질량의 가속도는 다음과 같이 주어집니다.
$$ a = \ frac {(m_2-m_1) g} {m_1 + m_2} $$
, 장력은 다음과 같습니다.
$$ T = m_1g + m_1 \ frac {(m_2-m_1) g} {m_1 + m_2} = m_1g \ left (1 + \ frac {m_2-m_1} {m_2 + m_1} \ right) = \ frac {2m_2m_1g} {m_1 + m_2} $$
제 교과서에 따르면 풀리 클램프의 장력은 다음과 같아야합니다.
$$ 2T = \ frac {4m_1m_2g} {m_1 + m_2} $$
하지만이 모든 힘이 내부 힘이 아닙니까? 전체 atwood 기계를 시스템 (클램프 제외)으로 간주하면, 그것에 작용하는 유일한 힘은 중력 $ (m_1 + m_2) g $와 클램프의 장력 $ T_c $입니다. 시스템이 정지되었으므로
$$ T_c = (m_1 + m_2) g $$
내가 맞습니까, 아니면 내 주장에 결함이 있습니까?
댓글
- $ T $를 찾았고 교과서에는 2 배를 곱한 동일한 방정식이 있습니다. 여기에는 문제가 없습니다.
- 힌트 : 시스템이 정지되지 않았습니다.
- Nick '의 답변은 완전하지만 노력을 보여주기 때문에 질문이 마음에 들었습니다. 계산에서 원칙을 이해합니다. 따라서 ' 시스템이 정지 상태가 아닌 ' 이유를 이해하는 것이 제 생각에 중요합니다.
- 사실, 모든 계산은 수학적으로 확인할뿐만 아니라 물리적 해석도 매우 중요한 부분입니다! 그래서 제가 ' 좋은 일이라고 말하고 계속해서 좋은 일을하고 싶습니다!
- 도움이된다면 센터가 fmass라는 것을 보여줄 수 있습니다. $ m_ {1} $ 및 $ m_ {2} $ 두 질량 중 $ m_ {1} $ 및 $ m_ {2} $가 아래쪽으로 가속하고 있으며 지지대가 바퀴를 안정적으로 잡고있는 것처럼 보이지만 실제로는 이로 인해 바퀴 / 질량 시스템이 아래쪽으로 가속되도록합니다.
답변
두 질량이 동일 할 때 결과가 유지됩니다.이 경우 $ a = 0 $ 및 당신은 그것을 가질 것입니다 :
$ T = m_1 g = m_2 g $.
또는 :
$ 2T = 2m_1 g = 2m_2g = (m_1 + m_2) g $.
질량이 동일하지 않은 경우 두 질량이 모두 가속되고 차례로 적용되어 풀리 시스템 (및 클램프)에 더 낮은 힘을가합니다.
당신의 장력 공식으로 쉽게 확인할 수 있습니다!
$ T = \ frac {2m_1m_2g} {m_1 + m_2}, $
총 질량을 $ M = m_1 + m_2 $로 정의하면 $ T $를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
$ T = \ frac {2m_1 (M-m_1) g} {M} = \ frac {2g} {M} (m_1 (M-m_1)). $
$ T $를 $ m_1 $의 함수로 플로팅했는지 확인할 수 있습니다. $ m_1 = M / 2 $에서 최대 값에 도달합니다. 즉, 두 질량이 같으면 장력이 최대가되고 장력은 다음과 같이됩니다.
$ T = \ frac {Mg} {2} = \ frac {(m_1 + m_2) g} {2} $,
또는 생각했던대로 :
$ 2T = (m_1 + m_2) g $
완전 함을 위해 무 차원 수량에 대한 질량 $ m_1 $ 함수의 장력 플롯.
이 플롯에서 $ m_1 = 0 \ Rightarrow m_2 = M $ 또는 $ m_1 = M \ Rightarrow m_2 = 0 $이면 두 질량 중 하나가 자유로울 것이기 때문에 장력이 없다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 떨어지는. 중간의 경우에는 끈의 양쪽에 “”당김 “”이 있기 때문에 장력이있을 것입니다. $ m_1 $와 $ m_2 $의 질량이 서로 같을수록 움직임이 적고 당김이 더 많이 발생합니다. 문자열.
코멘트
- 내 주장이 틀렸다면 시스템이 정지 상태에 있지 않다는 의미 일 수 있습니다. 그러나 시스템이 정지 상태에 있지 않다고 어떻게 말할 수 있습니까?
- 위의 경우 우리는 무 마찰 끈이있는 마찰없는 풀리를 가지고 있습니다. 시스템이 정지 상태에있을 수있는 유일한 방법은 두 질량이 같을 때입니다 (가속도가 0 인 경우 '가 유일한 경우 임). 이 경우 두 질량은 줄의 양쪽 끝에서 동일한 힘으로 당기고 있습니다. 이것은 ' 시스템이 정지 상태임을 의미하는 것은 아니며 일정한 속도로 움직일 수도 있습니다!
- @Gerard 질량을 추가하려는 경우 풀리에 찌르거나 마찰이 생기면 시스템이 정지 상태가되는 다른 상황이있을 수 있습니다.
- '는 사실이 아닙니다. 그것은 같은 장소에 남아 있습니다.m_1이 위로 가고 m_2가 아래로가더라도 질량이 다르기 때문에 질량 중심이 가속되고 있습니다. 따라서 " 무게 " 글로벌 모션에서. 따라서 m_2 > m_1 및 m_2가 아래로 가속하면 질량 중심이 아래로 내려갑니다.
- @Gerard : 맞습니다. 시스템에 작용하는 총 힘) 휴식 또는 동작은 ' 실제로 찾고있는 것이 아닙니다. 저는 ' 단순히 다음과 같이 엉성하게 말했습니다. " 시스템이 정지되지 않았습니다. " . ' 중요한 것은 총 가속도이며이 경우에는 ' 0과 다릅니다. 속도가 일정한 모션에는 힘이 작용할 필요가 없습니다. 시스템. ' 여기에서 중지하겠습니다. ' 댓글 공간을 약간 오용하고 있기 때문입니다.
답변
시스템이 작동하지 않습니다. 질량과 풀리를 하나의 시스템으로 간주하면 질량 중심의 동작으로 시스템의 동작을 이해할 수 있습니다. 질량이 같지 않으면 시스템의 질량 중심은 정지하지 않습니다.
이렇게 생각하는 것이 유용 할 수 있습니다.-시스템 경계 내 질량 $ m_1 $가 거리를 따라 아래로 이동합니다. 질량 $ m_2 $는 같은 거리만큼 올라갑니다. 따라서 질량 중심이 아래로 이동했습니다 (또는 $ m_1 > m_2 $ 여부에 따라 위로).
그러므로 장력은 다음 방정식으로 주어집니다.
$$ (m_1 + m_2) a_ {cm} = (m_1 + m_2) g-T_c $$
추가로 해결할 수 있습니다.
$ a_ {cm} = a (m_2-m_1) / (m_1 + m_2) $, 여기서 a는 언급 한 질량 $ m_1 $의 가속도 값입니다.
방정식에 대입하고 다음을 찾을 수 있습니다.
$ T_c = \ frac {4m_1m_2} {m_1 + m_2} {g} $
댓글
- 이렇게이 문제를 가르치려고 노력할 것입니다. 감사합니다.
- 4g * mu 형식의 솔루션에 대해 귀하 또는 @Nick이 의견을 제시 할 수있는 기회가 있습니까? 하지만 그런 관계를 발견하면 이해하려고 노력합니다.
답변
저기 요컨대, 풀리 걸쇠의 장력은 모든 것이 평등 할 때 시스템의 전체 중력을 상쇄하는 데만 필요합니다. ibrium 및 가속이 없습니다. 그러나 질량이 불균형하면 하나는 떨어지고 다른 하나는 상승하며 이것이 균형 잡힌 경우와 동일한 값으로 전체 힘을 유지한다는 것은 분명하지 않습니다.
사실, 두 질량이 같을 때 답이 일치하는지 확인할 수 있습니다. 도르래 걸쇠의 올바른 장력은 $$ T_ \ text {clasp} = 2T = \ frac {4m ^ 2} {m입니다. + m} g = 2mg = (m + m) g. $$