자기 상관 함수 계산

무작위 프로세스의 샘플은 다음과 같습니다.

$$ x (t) = A \ cos (2 \ pi f_0t) + Bw (t) $$

여기서 $ w (t) $는 평균이 $ 0 $이고 전력 스펙트럼 밀도가 $ \ frac 인 백색 잡음 프로세스입니다 {N_0} {2 } $ 및 $ f_0 $, $ A $ 및 $ B $는 상수입니다. 자동 상관 함수를 찾으세요.

솔루션 시도는 다음과 같습니다.

Let $ a = 2 \ pi f_0t $, $ b = 2 \ pi f_0 (t + \ tau) $

\ begin {align} \ text {Autocorrelation of} x (t) & = E \ left \ {x (t) x ( t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {\ left (A \ cos (a) + Bw (t) \ right) \ left (A \ cos (b) + Bw (t + \ tau) \ right) \ right \} \\ & = E \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) + AB \ cos (a) w (t + \ tau) + AB \ cos (b) (wt) \\ & \ quad + B ^ 2w (t) w (t + \ 타우) \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + E \ left \ {AB \ cos (a) w (t + \ tau) \ right \} + E \ left \ {AB \ cos (b) (wt) \ right \} \\ & \ quad + E \ left \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ 오른쪽 \} + E \ left \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (R_w (\ tau) \ right) \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) ( \ delta (\ tau)) \\ \ end {align}

노이즈에 대한 기대 항은 모두 $ 0 $와 같습니다 (마지막은 백색 노이즈의 자동 상관입니다 … 따라서 단순화 위. 삼각법 ID 사용 : $$ \ cos (a) \ cos (b) = \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (a-b) \ right] $$

우리는 :

\ begin {align} \ text {Autocorrelation of} x (t) & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a ) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = E \ left \ {\ left (A ^ 2 \ right) \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (ab) \ right] \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = \ left (\ frac {A ^ 2} {2} \ right) \ left [E \ {\ cos (a + b) \} + E \ {\ cos (ab) \} \ right] + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ \ end {align}

우리는 상수항을 다루고 있으므로 기대 항은 사라지고 초기 조건에서는 다음과 같은 결과를 얻습니다. $$ \ frac {A ^ 2} 2 \ left [\ cos (2 \ pi f_o (2t + \ tau) + \ cos (2 \ pi f_o \ tau) \ right] + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) $$

어떤 이유에서인지 “내가 도와 줄 수는 없지만 자기 상관을 잘못 계산했다고 느낍니다 … $ \ tau $의 함수로 가정하지만 $ t $가 거기에 있습니다. 누군가가 저를 올바른 방향으로 안내해 주거나 제가 엉망으로 만든 것을 설명해 주시면 대단히 감사하겠습니다. 그게 중요한지는 모르겠지만이 수업에서는 넓은 의미의 고정 프로세스 만 다룹니다.

댓글

• 랜덤 프로세스 $ x (t) $가 WSS인지 확인하고, ACF가 $ \ tau $ 단독 함수일 것으로 기 대해서는 안됩니다. 따라서 여기에 $ t $ 기간을 포함하는 것이 옳은 것 같습니다. 하지만 $ x (t) $ 내부의 코사인 용어는 입력하는 것을 잊은 임의의 진폭이나 임의의 위상을 포함 할 수 있다고 생각합니다. 그러면 너무 많이 원하면 시간 요소 $ t $를 제거 할 수 있습니다. 그래서 …
• 프로세스 $ \ {A \ cos (2 \ pi f_0t) \} $는 사이클로 정지 프로세스입니다 (시간 오프셋에 대한 정상 성 요구 사항을 충족합니다. $ (2 \ pi f_0) ^ {-1} $)의 배수이며 WSS 프로세스가 아닙니다. 예를 들어, 평균 함수 $ E [x (t)] $조차도 WSS 프로세스의 경우처럼 상수가 아닙니다. @ Fat32가 (+1)이라고 말했듯이 $ x (t) $ 정의에 $ \ Theta $ 임의 단계를 포함하는 것을 잊었을 수 있습니다 (WS 정상성에 필요한 속성은 $ E [\ cos (2 \ Theta)입니다. ] = E [\ sin (2 \ Theta)] = 0 $ $ \ Theta \ sim U (0,2 \ pi) $ 또는 $ P \ {\ Theta = n \ pi / 2 \} = \ frac $ n = 0,1,2,3 $에 14 $).