AR (1)의 자기 공분산 함수에 대한 증명 식

$ \ gamma ( 1) $ : $$ \ begin {align} \ gamma (1) & = cov (Y_t, Y_ {t -1}) = cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = cov (c, Y_ {t- 1}) + \ phi cov (Y_ {t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = \ phi \ gamma (0) \ end {align} $$

$ cov (c, Y_ {t-1}) = cov 이후 (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) = 0 $ , (즉, 과거 출력은 미래 입력과 독립적입니다).

마찬가지로, $ \ gamma (2) = cov (Y_t, Y_ {t-2}) = cov (\ phi Y_ {t-1} + c + \ epsilon_t, Y_ {t-2}) = \ phi \ gamma (1) = \ phi ^ 2 \ gamma (0) $ .

이 방법을 계속하면 $ cov (Y_t, Y_ {th}) = \ phi \ gamma (h-1) = … \ phi ^ h \ gamma (0) $ , 여기서 $ h \ geq0 $ . 일반화 음수 $ h $ 의 경우 $ \ gamma (h) = \ phi ^ {| h |} \ gamma (0) $ , 여기서 $ \ gamma (0 ) = var (Y_t) $ .

PS 이 모든 분석은 $ \ epsilon_t $ 가 WSS이므로 LTI 필터링 속성에서 $ y_t $ 라고 가정합니다.

댓글

• 첫 번째 줄에 오타가 있습니다. 식별 기호가 잘못 배치되었습니다.
• 첫 번째 줄에서 세 번째 " + " 기호를 " = 기호 : $ cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) = cov (c, Y_ {t-1}) + \ phi cov (Y_ { t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) $
• @Jesper가 주소를 지정한 오타를 편집하는 동안 특정 = 기호를 변환했습니다. + 서명하고 더 잘못 만들었습니다. :). 그 이유는 렌더링 때문이라는 것을 알았습니다. tex 문의 순서는 정확하지만 다른 순서로 표시되었습니다. 어쨌든, 저는 ' align 문을 사용하여 훨씬 더 명확하게했습니다. 희망합니다. ' 괜찮습니다.
• 조건부 자기 공분산에 대한 표현식이 동일합니까? 즉, $ Cov [Y_ {t_0 + n + h}, Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h Var [Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h \ sigma ^ 2 \ frac {1- \ phi ^ {2n}} {1- \ phi ^ 2} $ 보류?

제공 한 것부터 시작 :

$ y_ {t} = c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {1} $

어디서 $ c = (1-\ phi) \ mu $

$ (1) $ as :

\ begin {array} \ y_ {t} & = & c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & (1-\ phi) \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & \ mu-\ phi \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ \ end {array}

그런 다음

$ y_ {t}-\ mu = \ phi (y_ {t-1}-\ mu) + \ epsilon_ {t} \ tag {2} $

$ \ tilde {y_ {t}} = y_ {t}-\ mu $ 로하면 방정식 $ (2) $ 는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$ \ tilde {y} _ {t} = \ phi \ tilde {y} _ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {3} $

분산

$ (3) $ 는 표현식을 제곱하고 기대치를 취하여 얻습니다.

\ begin { 배열} \ \ tilde {y} _ {t} ^ 2 & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1} + \ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1}) ^ 2 + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + (\ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & \ phi ^ {2} \ tilde {y} _ {t-1} ^ {2} + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + \ epsilon_ {t} ^ 2 \ end {array}

이제 기대치 :

$ E (\ tilde {y} _ {t} ^ 2) = \ phi ^ {2} E (\ tilde {y} _ {t-1} ^ {2}) + 2 \ phi E (\ tilde {y } _ {t-1} \ epsilon_ {t}) + E (\ epsilon_ {t} ^ 2) $

그녀 e 우리는 다음과 같이 부를 것입니다 :

• $ \ sigma_ {y} ^ {2} $ 는 고정 된 과정의 분산입니다.
• 방정식의 오른쪽에있는 두 번째 항은 $ \ tilde {y} _ {t-1} $ 및 $ \ epsilon_ {t} $ 는 독립적이며 둘 다 null 기대치를 갖습니다.
• 오른쪽의 마지막 용어는 $ \ sigma ^ {2} $ 로 표시되는 혁신의 분산입니다. 아래 첨자).

마지막으로

$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ phi ^ {2} \ sigma_ { y} ^ {2} + \ sigma ^ {2} $

공정의 분산을 풀면 $ \ sigma_ { y} ^ {2} $ ,

$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2 } {1-\ phi ^ 2} \ tag {4} $

자기 공분산

우리는 $ (3) $ 수식에 사용하는 것과 동일한 트릭을 사용할 것입니다. $ h $ 기간으로 구분 된 관측치 간의 자기 공분산은 다음과 같습니다.

\ begin {array} \ \ gamma_ {h} & = & E [(y_ {t-h}-\ mu) (y_ {t}-\ mu)] \\ & = & E [(\ tilde {y} _ {t-h}) (\ tilde {y } _ {t})] \\ & = & E [\ tilde {y} _ {t-h} (\ phi \ tilde {y} _ {t-1} + \ epsilon_ {t}) \\ \ end {array}

혁신은 시리즈의 과거 값과 상관 관계가 없으며 $ E [\ tilde {y} _ {th} \ epsilon_ {t}] = 0 $ 그리고 남은 것은 다음과 같습니다 :

$ \ gamma_ {h} = \ phi \ gamma_ {h-1} \ tag {5} $

$ h = 1, 2, \ ldots $ 및 $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ 2 $

$ AR (1) $ , 방정식 $ (5) $ 는 다음과 같습니다.

$ \ gamma_ {1} = \ phi \ gamma_ {0} $

그리고 방정식 $ (4) $ 의 결과 사용 : $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1-\ phi ^ 2} $ 결국

$ \ gamma_ {1} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1-\ phi ^ 2} \ phi $

원본 출처 : Andrés M. Alonso & Carolina García-Martos 슬라이드. 여기에서 사용 가능 : http://www.est.uc3m.es/amalonso/esp/TSAtema4petten.pdf