먼저 유한 차원 연산자를 가정합니다. 그렇지 않으면 연산자에 대한 특정 경계 조건을 확인해야합니다. 여기서 CBH 계열은 소멸 이중 정류자에 의해 잘 리기 때문에 예 $ \ mathbf {L} ^ 2 (\ mathbb {R}) $의 선형 연산자에 대한 조건은 온화합니다.
$ \ mathrm {Ad} $로 작업을 연습해야합니다. 다음을 찾으십시오. 거짓말 그룹 $ \ mathfrak {G} $에서 대수 $ \ mathfrak {g} $ 경로에 대한 접선 벡터 :
$$ \ sigma : \ mathbb {R} \ to \ mathfrak {G }; \; \ sigma (\ tau) = e ^ A \, e ^ {\ tau \, B} \, e ^ {-A}; \; A, \, B \ in \ mathfrak {g} \ tag {1} $$
$ \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B = \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B $입니다. 여기서 $ \ mathrm {Ad} : \ mathfrak {G} \ to GL (\ mathfrak {g}) $는 인접 표현 입니다. 일반 Lie 그룹 $ \ mathfrak {G} $에서 매트릭스 Lie 그룹 $ GL (\ mathfrak {g}) $까지의 Lie 그룹 동형입니다. 커널은 $ \ mathfrak {G} $의 중심입니다. 동형이기 때문에 $ \ mathrm {Ad} (\ gamma \, \ zeta) = \ mathrm {Ad} (\ gamma) \, \ mathrm {Ad} (\ zeta); \, \ forall \ gamma , \, \ zeta \ in \ mathfrak {G} $. 또 다른 유용한 ID는 다음과 같습니다.
$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B & = & \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B \\ & = & B + \ mathrm {ad} (A) B + \ frac {\ mathrm {ad} (A) ^ 2} {2!} \, B + \ cdots \\ & = & B + [A, \, B] + \ frac {1} {2!} \, [A, \, [A, \, B]] + \ cdots \ end {array} \ tag {2} $$
그리고이 계열은 연산자 $ B \ mapsto [A, \, B] $가 적절하다면 범용 수렴 입니다. 경계 ( 예 $ \ left \ | [A, \, B] \ right \ | \ leq K (A) \, \ left \ | B \ right \ | $ 일부 $ K (A ) \ in \ mathbb {R} $-이것은 유한 차원에서 확실히 사실입니다).
이제 (1)과 동형 속성 ($ \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \)에 의해 , A} \, e ^ {\ lambda \, B}) = \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \, \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) $), 다음을 찾을 수 있습니다.
$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {d} _ \ lambda f & = & A \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {-\ lambda \, (A + B)} + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {-\ lambda \, (A + B)}-e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {-\ lambda \, A + B)} \\ & = & \ left (A + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {-\ lambda \, A}-e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {-\ lambda \, B} \, e ^ {-\ lambda \, A} \ right) \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {-\ lambda \, (A + B)} \\ & = & \ left (A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, ( A + B) \ right) \ right) \, f \ end {array} \ tag {3} $$
위의 모든 내용은 완벽하게 일반적입니다. 잘린 케이스에 전문화해야합니다. 따라서 범용 수렴 (여기서는 두 용어로 잘림) 시리즈 (2)를 사용하여 $ A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, (A + B) \ right) $ 당신의 특별한 경우를 위해 그것을 잘라 내고 나는 당신이 약간의 진전을 가져야한다고 생각합니다.
현학적 인 오해 : 이름에 대한 두 가지 순서는 매우 일반적이지만 역사적 우선 순위를 정확하게 반영하는 순서는 각 저자가 1897/1898 (Campbell), 1905 (Baker) 및 1906 (Hausdorff)에 기여한대로 “Campbell-Baker-Hausdorff”입니다. )입니다. 각각은 자신의 선구자 “작업을 알고 있었지만, Bourbaki (1960)의 Fascicule 16 Ch 1에서 언급했듯이”각각 자신의 선구자의 시위가 설득력이 없다는 것을 발견했습니다 (!) “. “기술 문헌을 읽는 데있어 약 5 %의 이해도를 가진 유일한 사람은 아닙니다. (저는 논문을”얻기 “위해 평균적으로 약 20 번의 논문을 읽어야한다고 생각합니다). 흥미로운 사실은이 세 사람 중 실제로 시리즈를 완성한 사람이 아무도 없다는 것입니다. 대신 그들은 시리즈가 거짓말 대수에서 $ \ mathbf {0} $의 일부 근방 내에서 수렴하고 선형 및 거짓말 대괄호 연산으로 만 구성된다는 정리를 확립했습니다. 공식 자체는 Dynkin에 의해 만들어졌으며 1947 년에 완전히 완성되었습니다!
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