저는 BEKK 다 변수 GARCH 모델을보고 있습니다.
표준 GARCH 모델에서는 일반적으로 다음을 기대합니다.
$$ h_t = \ omega + \ alpha u_ {t-1} ^ 2 + \ beta \ sigma_ {t-1} ^ 2 $$
알파 ( $ \ alpha $ ) 계수가 베타 ( $ \ beta)보다 상당히 작습니다. $ ), 예를 들어 Verbeeks “GARCH에 대한 현대 계량 경제학 장에 대한 가이드”를 참조하십시오. 약 0.1 알파 및 0.8 베타가 있습니다.
이제 다변량 설정 인 BEKK (1 ),
$$ \ left [\ begin {matrix} h_ {11, t} & h_ {12 , t} \\ h_ {21, t} & h_ {22, t} \\\ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin {matrix} k_ { 11} & k_ {12} \\ k_ {21} & k_ {22} \\\ end {matrix} \ right] + \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22 } \\\ end {ma trix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime $$
ie an MV-ARCH (1),
$ A_ {ij} $ 매트릭스에 적합한 매개 변수를 참조와 함께 아는 사람이 있습니까? 또한 GARCH 용어가있는 BEKK (1,1),
$$ H_t = C ^ \ ast {C ^ \ ast} ^ \ prime + A_ {11} \ varepsilon_ {t-1} \ varepsilon_ {t-1} ^ \ prime A_ {11} ^ \ prime + B_ {11} H_ {t-1} B_ {11} ^ \ prime $$
A와 B에 적절한 매개 변수 값 (예상대로)이 필요합니다. . 데이터 세트간에 크게 변경된다는 점을 이해합니다.하지만 일반적으로 예상 할 수있는 값이 있나요?
Answer
안타깝게도 $ a_ {ij} $ “및 $ b_ {ij} $ “에 대한 직접적인 확인 없음 $ \ alpha + \ beta < 1 $ 와 같은 BEKK 케이스의 계수는 GARCH에서 정상 성과 약한 시간 의존성을 보장합니다. (1,1) 케이스. 조건은 BEKK 케이스에서 좀 더 복잡합니다.
$ k ^의 모든 고유 값이있는 경우 프로세스는 고정적이고 약한 시간 의존적입니다 ( “기하학적으로 에르 고딕 해리스 반복 마르코프 체인이라는 의미에서). 2 \ times k ^ 2 $ 행렬 $ A_ {11} \ otimes A_ {11} + B_ {11} \ otimes B_ {11} $ 1 미만이고 $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ 는 양의 정부 호이지만 항상 $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ , 이는 구성에 의해 양수로 정의되기 때문입니다. $ \ otimes $ 는 Kronecker 제품 을 나타냅니다.
Theorem 2 in Comte and Lieberman (2003) 은이 조건이 최대 우도 추정기가 일관된 것을 보장하며 프로세스에 유한 한 6 차 모멘트가 있다고 추가로 가정하면 $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ , Hafner and Preminger (2009) 의 Theorem 3은 다음의 점근 적 정규성을 설정합니다. MLE.
내가 아는 한 문헌은 BEKK 프로세스의 유한 한 6 차 모멘트를 보장하는 직접적인 매개 변수 제한을 제공하지 않습니다. Pedersen 및 Rahbek (2014) 부록의 정리 C.1은 가우스 BEKK 프로세스의 ARCH 버전에 대한 충분한 조건을 제공합니다 ( $ B_ {11} = 0 $ ), $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ . 이 조건은 $ A_ {11} ⊗ A_ {11} $ 의 모든 고유 값이 $ 15 ^ {−보다 작아야한다는 것입니다. 1/3} \ 약 0.4055 $ .
- F. Comte와 O. Lieberman. 다변량 GARCH 프로세스에 대한 점근 이론. Journal of Multivariate Analysis, 84 (1) : 61 – 84, 2003.
- C. M. Hafner 및 A. Preminger. 다변량 GARCH 모델에 대한 점근 이론. Journal of Multivariate Analysis, 100 (9) : 2044 – 2054, 2009.
- R. S. Pedersen 및 A. Rahbek. bekk -garch 모델의 다변량 분산 타겟팅. 계량 경제학 저널, 17 (1) : 24–55, 2014.
댓글
- 여기에서 연구 한 특정 BEKK 형식에 적용되는지 확실하지 않지만 McAleer " 전체 BEKK 동적 조건부의 대수 (비) 존재, 수학적 (ir-) 규칙 성 및 (비) 점근 속성에 대해 말하지 않은 내용 공분산 모델 " (2019)은 BEKK를 인용하는 4500 개 이상의 논문에서 깔개를 가져 오는 제한적인 조건을 제외하고는 BEKK가 존재하지 않을 수도 있음을 보여줍니다.
- @Duffau 좋은 대답이지만 A와 B 사이의 차이에 대한 아이디어가 있습니까?
- @FrancisOrigi에게 감사합니다! 따라서 A와 B는 행렬이므로 " 갭 "에 대한 명확한 개념이 없습니다. 프로세스가 행렬에 의해 정의되는 동적 시스템에서는 종종 일종의 고유 값이 시스템의 안정성을 결정합니다. BEKK와 마찬가지로 안정성 (정상 성 및 약한 의존성)은 위에서 설명한 변환 된 행렬의 고유 값에 의해 결정됩니다. 더 자세히 알고 싶다면 선형 벡터 자기 회귀를 살펴 보겠습니다. 다변량 역학을 사용하는 가장 단순한 유형입니다. 일 변량 세계의 AR 모델과 동일합니다.