La transformación de Bogoliubov no es una transformación unitaria, ¿correcto?

Tienes razón, las transformaciones de Bogoliubov no son unitarias en general. Por definición,

Las transformaciones de Bogoliubov son transformaciones lineales de operadores de creación / aniquilación que preservan las relaciones algebraicas entre ellos.

Las relaciones algebraicas son principalmente las relaciones de conmutación / anticonmutación que definen los operadores bosónicos / fermiónicos. En ninguna parte de la definición especificamos que la transformación debería ser unitaria. De hecho, la transformación de Bogoliubov (en su forma más genérica) es simpléctica para bosones y ortogonal para fermiones . En ningún caso la transformación de Bogoliubov es unitaria. La transformación de Bogoliubov de bosones corresponde a la transformación canónica lineal de osciladores en mecánica clásica (porque los bosones son cuantos de osciladores), y sabemos que las transformaciones canónicas lineales son simplécticas debido a la estructura simpléctica del espacio de fase clásico.

Entonces, para ser más específicos, ¿cuáles son las restricciones a las transformaciones de Bogoliubov? Consideremos el caso de $ n $ modos de partícula única de bosones $ b_i $ o fermiones $ f_i $ (donde $ i = 1,2, \ cdots, n $ etiqueta los estados de una sola partícula, como los estados propios de momento). Tanto $ b_i $ como $ f_i $ no son operadores hermitianos, que no son muy convenientes para un tratamiento general (porque no podemos tratar simplemente $ b_i $ y $ b_i ^ \ dagger $ como la base independiente ya que todavía están relacionados por la transformación de agujero de partículas). Por lo tanto, elegimos reescribir los operadores como las siguientes combinaciones lineales (motivados por la idea de descomponer un número complejo en dos números reales como $ z = x + \ mathrm {i} y $): $$ \ begin {split} b_i & = a_i + \ mathrm {i} a_ {n + i} \\ b_i ^ \ dagger & = a_i – \ mathrm {i} a_ {n + i} \ end {split} \ qquad \ begin {split} f_i & = c_i + \ mathrm {i} c_ {n + i} \\ f_i ^ \ dagger & = c_i- \ mathrm {i} c_ {n + i} \ end {split} $$ donde $ a_i = a_i ^ \ dagger $ y $ c_i = c_i ^ \ dagger $ (para $ i = 1,2, \ cdots, 2n $) son operadores hermitianos (análogos a los números reales).Deben heredar las relaciones de conmutación o anticonmutación de los bosones «complejos» $ b_i $ y fermiones $ f_i $: $$ \ begin {split} [b_i, b_j ^ \ dagger] = \ delta_ {ij}, [b_i, b_j] = [b_i ^ \ dagger, b_j ^ \ dagger] = 0 & \ Rightarrow [a_i, a_j] = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ a \\ \ {f_i, f_j ^ \ dagger \} = \ delta_ {ij}, \ {f_i, f_j \} = \ {f_i ^ \ dagger, f_j ^ \ dagger \} = 0 & \ Rightarrow \ {c_i, c_j \} = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ c \ end {split} $$ donde $ g_ {ij} ^ a $ y $ g_ {ij} ^ c Los $ a veces se denominan métrica cuántica para bosones y fermiones respectivamente. En formas matriciales, están dadas por $$ g ^ a = \ mathrm {i} \ left [\ begin {matrix} 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \\ – \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \ end {matrix} \ right] \ qquad g ^ c = \ left [\ begin { matriz} \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \\ 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \ end {matriz} \ right], $$ con $ \ mathbb {1} _ {n \ times n} $ siendo la matriz identidad $ n \ times n $. Entonces, preservar las relaciones algebraicas entre los operadores de creación / aniquilación es preservar la métrica cuántica . Las transformaciones lineales generales de los operadores $ a_i $ y $ c_i $ toman la forma de $$ a_i \ to \ sum_ {j} W_ {ij} ^ a a_j \ qquad c_i \ to \ sum_ {j} W_ {ij} ^ c c_j, $$ donde los elementos de la matriz de transformación $ W_ {ij} ^ a, W_ {ij} ^ c \ in \ mathbb {R} $ deben ser reales, para garantizar que los operadores $ a_i $ y $ c_i $ permanezcan Hermitian después de la transformación. Entonces, preservar la métrica cuántica es requerir $$ W ^ ag ^ a W ^ {a \ intercal} = g ^ a \ qquad W ^ cg ^ c W ^ {c \ intercal} = g ^ c. $$ Entonces, cualquier La transformación lineal real que satisface las condiciones anteriores es una transformación de Bogoliubov en el sentido más general. Luego, dependiendo de la propiedad de la métrica cuántica, la transformación de Bogoliubov es simpléctica u ortogonal. Para la métrica cuántica bosónica, $ g ^ a = -g ^ {a \ intercal} $ es antisimétrica , por lo que la transformación $ W ^ a $ es simpléctica . Para la métrica cuántica fermiónica, $ g ^ c = g ^ {c \ intercal} $ es simétrica , por lo que la transformación $ W ^ c $ es ortogonal .

Comentarios

• ¿Alguien puede recomendar un recurso para aprender más sobre este formalismo, es decir, la descomposición de los operadores de creación / aniquilación como » números complejos » y la preservación de la métrica cuántica?

La unitaridad de una transformación mecánica cuántica no está determinada por cómo se mezclan los operadores de creación y aniquilación. (No importa qué tipo de matriz — ortogonal, simpléctica o unitaria — esté involucrada en la mezcla). debería examinar si la transformación está asociada con un operador unitario que actúa en el espacio de Hilbert.

La transformación de Bogoliubov OP citada se puede representar de la siguiente manera ($ \ textbf {k} $ – se suprime la dependencia): $$ \ hat {a} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {a} ^ {\ prime} = \, \ cosh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ sinh \ lambda \, \ hat {b } ^ {\ dagger}, \\ \ hat {b} ^ {\ dagger} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = \, \ sinh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ cosh \ lambda \, \ hat {b} ^ {\ dagger}, $$ donde $ \ lambda $ es un número real. Esta transformación es unitaria si y solo si existe un operador unitario $ U $ tal que $$ \ hat {a} ^ {\ prime} = U \ hat {a} U ^ {- 1}, \\ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = U \ hat {b} ^ {\ dagger} U ^ {- 1}. $$ De hecho, estas relaciones se cumplen con la siguiente opción: $$ U = \ exp \ Big [\ lambda (\ hat {a} \ hat {b } – \ hat {b} ^ {\ dagger} \ hat {a} ^ {\ dagger}) \ Big], $$ por lo que la transformación es unitaria.

Permítanme trabajar en esta parte de la ecuación matricial $$ H = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin { pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k }} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v_ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix } \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} $$ La parte importante es que la transformación de los campos se puede ver así como una trans. formación de la matriz $$ \ Gamma ~ = ~ \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} ~ \ rightarrow ~ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k } & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \ \\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} ~ = ~ M ^ \ dagger \ Gamma M, $$ donde $ M ^ \ daga ~ = ~ M $. El determinante de esto es $ det (M \ Gamma M) ~ = ~ det (M) det (\ Gamma) det (M) $ $ = ~ det (\ Gamma) $ El determinante de $ M $ entonces da $ u_k ^ 2 ~ – ~ v_k ^ 2 ~ = ~ 1 $. Estos pueden entonces ser representados por $ u_k ~ = ~ sinh (k) $ y $ v_k ~ = ~ cosh (k) $.

Ahora evalúe el conmutador $ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] $ $$ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ + ~ v_k ^ 2 [\ beta ^ \ dagger_k, ~ \ beta_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ – ~ v_k ^ 2 [\ beta_k, ~ \ beta ^ \ dagger_k]. $$ Para los viajeros $ [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ = ~ [\ beta_k, ~ \ beta_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ y luego vemos $ [a_k, ~ a_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $. Lo mismo vale claramente $ [b_k, ~ b_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ Esto significa que cualquier sistema con $ N \ hbar $ unidades de acción es constante. No hay ningún cambio en el volumen del espacio de fase del sistema. esto significa que las transformaciones de Bogoliubov son efectivamente unitarias.

Comentarios

• Entonces, las transformaciones unitarias generales ‘ s las definiciones son más largas $ U ^ {\ dagger} = U ^ {- 1} $ que aprendemos del libro de texto? No ‘ no entiendo ‘ Esto significa que cualquier sistema con Nℏ unidades de acción es constante. No hay ningún cambio en el volumen del espacio de fase del sistema ‘, ¿te gustaría explicarlo?
• Por cierto, ¿hay alguna restricción en la transformación del sistema bosónico (hamiltoniano)?
• @ZJX No ‘ entiendo por qué Lawrence dijo que las transformaciones bosónicas de Bogoliubov son » efectivamente unitario «. Creo que deberían ser simplécticos en general. La restricción proviene de preservar la definición de los operadores bosónicos (de manera que los operadores bosónicos permanecen bosónicos bajo la transformación). No hay restricción proveniente del sistema bosónico (hamiltoniano). Mientras el hamiltoniano sea hermitiano, es un hamiltoniano legítimo. Cualquier transformación simpléctica aplicada al hamiltoniano es una transformación legítima de Bogoliubov.

No, es unitario transformación, pero solo cuando se considera el agujero del electrón & hamiltoniano juntos.

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• Pero aquí, el modelo se trata de giro, ‘ no es el fermión, ¿verdad?