Tengo una viga continua a través de una columna central (no estoy seguro de si la he dibujado correctamente o no)
El diagrama de desplazamiento y fuerza es como se muestra:
El primer diagrama es el momento flector, el segundo la fuerza axial, el tercero es el desplazamiento.
Ahora, ¿cuál es la condición de contorno en $ R_A $, $ R_B $ y $ R_C $?
Por lo que puedo inferir, parece ser
$ w (0) = w (L) = w ( 2L) = 0 $ (corresponde a la desviación en los tres apoyos)
$ M (0) = M (2L) = 0 $, o $ \ frac {d ^ 2w (0)} {dx ^ 2} = \ frac {d ^ 2w (2L)} {dx ^ 2} = 0 $ (corresponde al momento).
Pero sospecho que todavía me faltan algunas condiciones de contorno para derivar el diagrama completo de desplazamiento / fuerza para el continuo rayo. ¿Hay alguna condición de límite que me haya pasado por alto?
Respuesta
Bueno, se está perdiendo la compatibilidad de pendientes en el soporte medio :
$$ \ frac {dw (L ^ -)} {dx} = \ frac {dw (L ^ +)} {dx} $$
En el caso de geometría simétrica & carga, la pendiente de la viga en el soporte medio será cero.
Dado que el momento flector no tiene derivada en x = L, Necesito derivar las deflexiones de las dos mitades por separado y «unirlas» con compatibilidad.
Actualización: derivación de la fórmula de deflexión de la viga:
A partir de la ecuación de la viga de Euler-Bernoulli (asumiendo EI constante), y tomando x del exterior apoyos hacia el centro: $$ q = EI \ frac {dw ^ 4} {dx ^ 4} $$
Integrando cuatro veces:
$$ EI \ frac {d ^ 3 w} {dx ^ 3} = qx + A $$ $$ EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = q \ frac {x ^ 2} {2} + Ax + B $$ $$ EI \ frac {dw} {dx} = q \ frac {x ^ 3} {6} + A \ frac {x ^ 2} {2} + Bx + C $$ $$ EI w = q \ frac {x ^ 4} {24} + A \ frac {x ^ 3} {6} + B \ frac {x ^ 2} {2} + Cx + D $$
Al notar que el problema es simétrico, las condiciones de contorno son: $$ w (0) = w (L) = 0 $$ $$ \ frac {dw (L)} {dx} = 0 $$ $$ \ frac {d ^ 2 w (0)} {dx ^ 2} = 0 $$
Por lo tanto, inmediatamente podemos ver que: $ B = D = 0 $
Ahora tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas (A, C). Resolviendo encontramos: $$ A = – \ frac {3 L q} {8} $$ $$ C = \ frac {L ^ 3 q} {48} $$
Ahora podemos sustituir todo las constantes de nuevo en la ecuación para w. Simplificando los resultados en:
$$ w = \ frac {qx} {48EI} (Lx) ^ 2 (L + 2 x) $$
Que es idéntico al resultado referenciado aquí (tenga en cuenta que su sistema de coordenadas tiene x = 0 en el centro). También observe cómo este es exactamente el mismo resultado que un voladizo apoyado . Esto se debe a la simetría, lo que significa que la pendiente de la viga en el centro es cero (que es la misma condición de contorno que un soporte en voladizo).
También puede sustituir en la ecuación del momento flector:
$$ M = EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = \ frac {1} {8} qx (4 x-3 L) $$
Comentarios
- a) la compatibilidad de la condición de pendiente solo es útil si se puede modelar la viga continua como dos vigas de luz. ¿Cómo es de ayuda en este caso? b) ¿Por qué dice que el momento flector es discontinuo en $ L $? el diagrama de momentos en mi pregunta muestra claramente que es continuo.
- Le agradecería si pudiera elaborar un poco y si pudiera mostrar cómo sus condiciones de contorno pueden llevar al diagrama de desplazamiento / momento flector para viga continua .
- @Graviton, a) Actualizaré la pregunta con la derivación. b) tienes razón, estaba un poco flojo con mi terminología matemática. Lo que quiero decir es que el momento flector no tiene derivada en x = L.