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Definiendo el símbolo $ k $ en la ley de Coulomb, $$ F = k \ frac {q_1q_2} {r ^ 2}, $$ sea $ k = 1/4 \ pi \ epsilon_0 $, está perfectamente permitido cuando uno lo entiende simplemente como definición de $ \ epsilon_0 $. La motivación de esta definición es que cuando calculas las fuerzas entre dos placas de carga opuesta del área $ A $ y cobras $ Q $ a una distancia de $ d $, como $ F = \ frac {2 \ pi kQ ^ 2} {d} = \ frac {Q ^ 2} {2 \ epsilon_0 d} $, donde el factor de $ 4 \ pi $ proviene de la aplicación juiciosa de Gauss ley.
Cuando desarrollas esto más en una teoría de capacitancia, encuentras que implica que el voltaje entre las placas es $ V = Q / C $, donde $ C = \ epsilon_0 A / d $. Además, si desea insertar un dieléctrico entre las placas (como lo hace a menudo), entonces la capacitancia cambia a $$ C = \ epsilon A / d $$ donde $ \ epsilon $ se conoce como la permitividad eléctrica del dieléctrico. . $ \ epsilon_0 $ se entiende entonces naturalmente como «la permitividad del espacio libre» (que por supuesto simplemente define lo que queremos decir con permitividad).
La pregunta es, por supuesto, ¿por qué se «unidad, $ \ epsilon_0 $, ¿tratada como más» fundamental «que los $ k $ originales? La respuesta es que no lo es porque son equivalentes, pero la permitividad del espacio libre es mucho más fácil de medir (y ciertamente lo era durante finales del siglo XIX y principios del XX, cuando la investigación eléctrica estaba muy orientada hacia las tecnologías basadas en circuitos), resultó ser el ganador, y ¿por qué tener dos símbolos para cantidades equivalentes?
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La unidad del segundo que se define es la duración de un cierto número de períodos de radiación emitidos por una parte tipo icular de transición de electrones entre niveles de energía en un isotipo de cesio (ver aquí ).
Es una suposición que la luz viaja en un velocidad constante $ c $ independiente del sistema de referencia de uno, así que ahora que hemos fijado una unidad de tiempo, podemos definir una unidad de longitud: el metro es la distancia que recorre la luz en $ 1/299792548 \, \ mathrm {s} $.
También definimos la unidad SI de corriente (el amperio) de modo que la permeabilidad del espacio libre tome un valor deseado en Unidades SI ($ 4 \ pi \ multiplicado por 10 ^ {- 7} $).
Entonces podemos definir $$ \ varepsilon _0 = \ frac {1} {\ mu _0c ^ 2} $$ también como $$ k = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _0}. $$
Ahora, tenga en cuenta que no tiene que arreglar un sistema de unidades para hacer esto (como hice antes). Como las anteriores son definiciones , se mantendrán en cualquier sistema de unidades. Sin embargo, para ver que estas definiciones no terminan siendo circulares, ayuda ver que podemos definir $ \ mu _0 $ y $ c $ en términos de fenómenos puramente físicos. En otras palabras, para que las definiciones anteriores tuvieran sentido, teníamos que saber que podíamos definir $ c $ y $ \ mu _0 $ independientemente de $ \ varepsilon _0 $ y $ k $ primero. La definición anterior de unidades SI le ayuda a ver que esto se puede hacer.
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Si la pregunta es por qué el «$ 4 \ pi $» en la constante de Coulomb (k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $), entonces una pregunta igualmente válida podría ser por qué el «4 $ \ pi $» en la permeabilidad magnética del vacío, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $?
Quizás se pueda encontrar una pista en la ecuación de Maxwell para la velocidad de la onda electromagnética (luz) en el vacío, $ c = \ frac {1} {\ sqrt {\ epsilon_ {0} \ mu_ {0}}} $.
Por supuesto, Maxwell derivó esta relación mucho más tarde que Coulomb.
Maxwell relaciona la permitividad eléctrica a la permeabilidad magnética en el vacío, $ \ mu_ {0} = \ frac {1} {\ epsilon_ {0} c ^ {2}} $ que tiene un valor de $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $ en unidades SI.
La «razón» por la que «$ 4 \ pi $» aparece aquí y en la constante de Coulomb (lo crea o no) así que que las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir sin ningún factor de $ 4 \ pi $ «!
Para entender esto, considere cómo los fenómenos electrostáticos se expresan en la ley de Coulomb como» campo intensidad a una distancia al cuadrado «, en comparación con la ley (equivalente) de Gauss», que describe el «flujo a través de una superficie cerrada que encierra la carga».
El flujo total es la densidad de flujo multiplicada por el área de la superficie , que para una esfera de radio $ r $ viene dada por $ S = 4 \ pi r ^ {2} $, entonces la razón $ S / r ^ {2} $ = $ 4 \ pi $ es simplemente el resultado de la geometría de espacio y simetría esférica.
Se dice que el sistema SI de unidades (a diferencia de las unidades de Gauss) está «racionalizado» porque permite la expresión de las ecuaciones de Maxwell sin los factores $ 4 \ pi $. Para hacer esto, el factor $ 4 \ pi $ simplemente se ha «integrado» en la definición (unidad SI) de la constante universal para la permeabilidad del vacío, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $, del cual podemos expresar la constante de Coulomb como k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $.