De acuerdo, estoy teniendo problemas reales para distinguir entre el concepto de estado estable y la trayectoria de crecimiento equilibrado en este modelo :
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$
Se me pidió que derivara los valores del estado estacionario para el capital por trabajador efectivo :
$$ k ^ * = \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
Además de la relación de estado estacionario de capital a producción (K / Y):
$$ \ frac {K ^ {SS}} {Y ^ {SS}} = \ frac {s} {n + g + \ delta} $$
Encontré ambos bien, pero también se me pidió que encontrara el «valor de estado estacionario del producto marginal del capital, dY / dK «. Esto es lo que hice:
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$ $$ MPK = \ frac {dY} {dK} = \ beta K ^ {\ beta -1} (AL) ^ {1- \ beta} $$
Sustituyendo K en el estado estacionario (calculado al calcular el estado estacionario para la relación K / Y anterior):
$$ K ^ {SS} = AL \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta (AL) ^ {1- \ beta} \ left [AL \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} \ right] ^ {\ beta -1} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {\ beta -1} {1- \ beta}} $$
En primer lugar, necesito saber si este cálculo para el valor de estado estable de MPK es ¿Correcto?
En segundo lugar, me han pedido que esboce las trayectorias temporales de la relación capital-producto y el producto marginal del capital, para una economía que converge a su trayectoria de crecimiento equilibrado «desde abajo».
Tengo problemas para comprender exactamente cuál es la ruta de crecimiento equilibrado, en contraposición al estado estable, y cómo usar mis cálculos para averiguar cómo deberían verse estos gráficos.
Lo siento por la publicación de mamut, cualquier ayuda es muy apreciada! Gracias de antemano.
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Aquí es cuando el intento de precisión crea confusión y malentendidos.
En el pasado, los modelos de crecimiento no incorporaban el progreso tecnológico y condujeron a un equilibrio a largo plazo caracterizado por magnitudes constantes per cápita. Verbalmente, el término «estado estable» parecía apropiado para describir tal situación.
Luego aparecieron Romer y los modelos de crecimiento endógeno, lo que también empujó a los modelos más antiguos a comenzar a incluir como característica rutinaria factores de crecimiento exógenos (además de la población). Y «de repente», los términos per cápita no fueron constantes en el equilibrio de largo plazo, sino que crecieron a una tasa constante . Inicialmente, la literatura describió tal situación como «estado estacionario en las tasas de crecimiento».
Entonces parece que la profesión pensó algo como «es inexacto usar la palabra» estable «aquí porque las magnitudes per cápita están creciendo. Lo que sucede es que todas las magnitudes crecen en un Tasa equilibrada (es decir, a la misma tasa, por lo que sus ratios se mantienen constantes) .Y como crecen, siguen un camino … «¡Eureka !: el término» camino de crecimiento equilibrado «nació.
… Para frustración de los estudiantes (al menos), que ahora deben recordar que, por ejemplo, la «ruta de la silla de montar» es de hecho una ruta en el diagrama de fase, ¡pero la «senda de crecimiento equilibrado» es sólo un punto! (porque para realmente dibujar un diagrama de fase y obtener un buen equilibrio a largo plazo, expresamos magnitudes por trabajador efectivo, y estas magnitudes tienen un estado estable tradicional. Pero seguimos llamándolo «camino de crecimiento equilibrado», porque las magnitudes per cápita, que es lo que nos interesa, en nuestro enfoque individualista), continúan creciendo).
Entonces «camino de crecimiento equilibrado» = «estado estable de magnitudes por unidad de eficiencia de trabajo», y supongo que puedes averiguar el resto de tu diagrama de fase.
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Después de la conversación con el usuario @denesp en el comentarios de mi respuesta anterior, tengo que aclarar lo siguiente: el dispositivo gráfico habitual que usamos relacionado con el modelo de crecimiento básico de Solow (ver por ejemplo aquí , figura 2 ) no es un diagrama de fase, ya que razonablemente llamamos «diagramas de fase» a aquellos que contienen loci de cambio cero, identificamos los puntos de cruce de los mismos como puntos fijos de una dinámica. l sistema y examine sus propiedades de estabilidad. Y esto no es lo que hacemos con el modelo de Solow. Así que fue un uso descuidado de la terminología de mi parte.
Sin embargo, podemos dibujar un «diagrama de semifase» para el modelo de crecimiento de Solow, en el espacio $ (y, k) $. Entendiendo los símbolos como «por unidad de eficiencia de trabajo» tenemos el sistema de ecuaciones diferenciales (mientras que $ y = f (k) $)
$$ \ dot k = sy – (n + \ delta + g ) k $$
$$ \ dot y = f «_k (k) \ cdot \ dot k $$ Escribiendo la ecuación de cambio cero como una desigualdad débil para mostrar también las tendencias dinámicas, tenemos
$$ \ dot k \ geq 0 \ implica y \ geq \ frac {n + \ delta + g} {s} k $$
$$ \ dot y \ geq 0 \ implica \ dot k \ geq 0 $$
Así que este sistema da un único locus de cambio cero, una línea recta Sin puntos de cruce para identificar un punto fijo ¿Qué podemos hacer?Dibuje también la función de producción en el diagrama, ya que, en realidad, el espacio $ (y, k) $ es unidimensional, no un área, sino una línea. Luego obtenemos
La Las flechas verticales / horizontales que indican las tendencias dinámicas provienen correctamente de las débiles desigualdades anteriores (tanto $ y $ como $ k $ tienden a crecer cuando están por encima del locus de cambio cero). Entonces, dado que $ y $ y $ k $ están obligados a moverse sobre la línea de puntos (que es la función de producción), se sigue que se mueven hacia su punto fijo, sin importar por dónde empecemos. Aquí, el gráfico de la función de producción representa esencialmente el camino hacia el equilibrio a largo plazo, ya que la convergencia es monótona.