Modelo / fórmula para rebotar una pelota

Dice que está ignorando la fricción del aire, pero asumir una colisión parcialmente inelástica. Eso significa que podemos dividir el problema en dos partes:

1. Mientras la pelota no está en contacto con el suelo, la altura en el momento $ t $ después del último rebote en $ t_0 $ viene dada por $$ h (t + t_0) = v_0 t – \ frac12 gt ^ 2 $$ donde $ v_0 $ es la velocidad inmediatamente después del rebote. Esta velocidad cambiará de un rebote al siguiente.
2. Durante el impacto, la pelota se deformará y habrá fricción. La forma exacta de la pelota durante el impacto es difícil de capturar en una ecuación simple porque depende de la composición de la pelota y el piso. Como suposición simplificadora, considere que la bola es una «masa en un resorte ligeramente con pérdidas con una constante $ k $»; entonces la pelota exhibirá (aproximadamente) un movimiento armónico simple amortiguado durante el impacto: esto significa que el tiempo del impacto será independiente de la velocidad del impacto (!)

El coeficiente de restitución es un parámetro de una pelota / superficie y refleja la fracción de velocidad justo después del rebote dividida por la velocidad justo antes. Para una pelota de golf, esto puede llegar hasta 0,8; para una pelota de tenis es alrededor de 0,75.

Usando $ \ rho = 0,75 $, si dejas caer una pelota desde una altura de 5 m (y colocas $ g = 10 ~ m / s ^ 2 $ por conveniencia) aterrizaría después de 1 segundo con una velocidad de 10 m / s, y después del rebote (poco tiempo $ \ Delta t $) volvería a subir con una velocidad más baja $ v_1 = 7.5 m / s $. El tiempo en el aire hasta el siguiente rebote viene dado por $$ t_1 = 2 \ frac {v_1} {g} = 2 \ rho \ frac {v_0} {g} $$

Mientras la pelota está en contacto con el suelo, podemos considerar que su centro se mueve de forma aproximadamente sinusoidal; como dije, lo importante es que el tiempo de contacto es independiente de la altura de caída (en el supuesto de una constante de resorte lineal). En realidad, a medida que la bola se deforma más, la constante del resorte aumentará, lo que en realidad acortará el tiempo de contacto a medida que la velocidad del impacto sea mayor. Pero para su simulación es poco probable que eso importe.

Para pasar de lo anterior a un «modelo matemático», es posible que desee modificar este código de Python según sus necesidades:

from math import sqrt import matplotlib.pyplot as plt h0 = 5 # m/s v = 0 # m/s, current velocity g = 10 # m/s/s t = 0 # starting time dt = 0.001 # time step rho = 0.75 # coefficient of restitution tau = 0.10 # contact time for bounce hmax = h0 # keep track of the maximum height h = h0 hstop = 0.01 # stop when bounce is less than 1 cm freefall = True # state: freefall or in contact t_last = -sqrt(2*h0/g) # time we would have launched to get to h0 at t=0 vmax = sqrt(2 * hmax * g) H = [] T = [] while(hmax > hstop): if(freefall): hnew = h + v*dt - 0.5*g*dt*dt if(hnew<0): t = t_last + 2*sqrt(2*hmax/g) freefall = False t_last = t + tau h = 0 else: t = t + dt v = v - g*dt h = hnew else: t = t + tau vmax = vmax * rho v = vmax freefall = True h = 0 hmax = 0.5*vmax*vmax/g H.append(h) T.append(t) print("stopped bouncing at t=%.3f\n"%(t)) plt.figure() plt.plot(T, H) plt.xlabel("time") plt.ylabel("height") plt.title("bouncing ball") 

Este código produce el siguiente gráfico:

Bueno, la dificultad es cuando la pelota entra en contacto con la pared. Pocas cosas que puedes considerar.

• impacto elástico. En este caso, puede tratar la bola como un resorte elástico. Cuando impacta la pared con una velocidad, la energía cinética se convertirá en energía potencial del resorte. Y luego, después de que alcance la deformación máxima, la bola regresará al espacio. La dirección de deformación es normal a la pared.
• Impacto inelástico. Es similar al anterior excepto que la pelota recupera solo una fracción de la energía cinética. Esto se acerca más a la realidad. La pérdida generalmente se describe usando el coeficiente de restitución.
• Impacto inelástico con fricción. Cuando la pelota golpea una pared con un ángulo, la pelota puede deslizarse sobre la superficie. Esto se vuelve más cercano a la realidad.
• arrastre de aire. Cuando la pelota se mueve en el espacio, hay una fuerza de arrastre de aire para frenarla.

Comentarios

• Lo siento, supongo que no ' t lo suficientemente claro. ' hablo de un impacto parcialmente inelástico. De mi publicación original " … cuánta energía se pierde durante el rebote … ". Además, mencioné en la publicación original, ' ignoro la resistencia del aire (" … I ' m asumiendo una pérdida insignificante en la resistencia del aire … "), y ' no estoy tratando de modelar el impulso lateral (" impacto inelástico con fricción "). Solo quiero modelar la compresión, desaceleración, descompresión y aceleración que ocurren durante el impacto con el suelo, y la pérdida de energía inherente a todo el proceso.

Visual Solutions (ahora Altair) fabrica VisSim Software. Aquí hay un diagrama de bloques de demostración que han usado para simular una pelota que rebota:

Los bloques $ 1 / s $ son bloques integradores de la biblioteca VisSim.

A continuación se muestra el gráfico de la pelota que rebota con estos parámetros.

Si está interesado en ejecutar esto, la demostración viene con la instalación y puede descargar una prueba gratuita de 60 días aquí