Estoy viendo un modelo GARCH multivariante BEKK.
En un modelo GARCH estándar, generalmente esperamos
$$ h_t = \ omega + \ alpha u_ {t-1} ^ 2 + \ beta \ sigma_ {t-1} ^ 2 $$
El coeficiente alpha ( $ \ alpha $ ) debe ser considerablemente menor que el coeficiente beta ( $ \ beta $ ), consulte, por ejemplo, la «Guía del capítulo de la econometría moderna sobre GARCH» de Verbeeks, con alrededor de 0,1 alfa y 0,8 beta.
Ahora me estoy moviendo a un entorno multivariante, a un BEKK (1 ),
$$ \ left [\ begin {matrix} h_ {11, t} & h_ {12 , t} \\ h_ {21, t} & h_ {22, t} \\\ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin {matrix} k_ { 11} & k_ {12} \\ k_ {21} & k_ {22} \\\ end {matrix} \ right] + \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22 } \\\ end {ma trix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matriz} \ right] ^ \ prime \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime $$
es decir un MV-ARCH (1),
¿Alguien podría conocer los parámetros adecuados para la matriz $ A_ {ij} $ , con una referencia? Y también el BEKK (1,1) con el término GARCH,
$$ H_t = C ^ \ ast {C ^ \ ast} ^ \ prime + A_ {11} \ varepsilon_ {t-1} \ varepsilon_ {t-1} ^ \ prime A_ {11} ^ \ prime + B_ {11} H_ {t-1} B_ {11} ^ \ prime $$
Necesito valores de parámetro adecuados (como en lo que esperaríamos) para A y B . Entiendo que esto cambiará considerablemente entre conjuntos de datos, etc. Pero, en general, ¿algún valor que podamos esperar?
Respuesta
Desafortunadamente, hay no hay comprobaciones directas en los $ a_ {ij} $ «sy $ b_ {ij} $ » Los coeficientes s en el caso de BEKK, como $ \ alpha + \ beta < 1 $ aseguran la estacionariedad y una dependencia temporal débil en GARCH (1,1) caso. Las condiciones son un poco más complicadas en el caso BEKK.
El proceso es estacionario y débilmente dependiente del tiempo (en el sentido de que es «una cadena de Markov recurrente de Harris geométricamente ergódica), si todos los valores propios del $ k ^ 2 \ times k ^ 2 $ matriz $ A_ {11} \ otimes A_ {11} + B_ {11} \ otimes B_ {11} $ son menos de 1 y $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ es positivo definido, pero ese siempre será el caso con $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ , ya que es positivo definido por construcción. El $ \ otimes $ denota el producto Kronecker .
Teorema 2 en Comte y Lieberman (2003) dicen que esta condición asegura que el estimador de máxima verosimilitud sea consistente, y si además asumimos que el proceso tiene un momento finito de sexto orden, eso es $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ , luego el teorema 3 en Hafner y Preminger (2009) establece una normalidad asintótica de el MLE.
Hasta donde yo sé, la literatura no da restricciones de parámetros directas, lo que garantiza momentos finitos de sexto orden del proceso BEKK. El teorema C.1 en el apéndice de Pedersen y Rahbek (2014) proporciona condiciones suficientes para la versión ARCH del proceso BEKK gaussiano ( $ B_ {11} = 0 $ ), para tener $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ . Esta condición es que todos los valores propios de $ A_ {11} ⊗ A_ {11} $ deben ser menores que $ 15 ^ {- 1/3} \ approx 0.4055 $ .
- F. Comte y O. Lieberman. Teoría asintótica para procesos GARCH multivariados. Journal of Multivariate Analysis, 84 (1): 61 – 84, 2003.
- C. M. Hafner y A. Preminger. Sobre la teoría asintótica para modelos GARCH multivariados. Journal of Multivariate Analysis, 100 (9): 2044 – 2054, 2009.
- R. S. Pedersen y A. Rahbek. Orientación de varianza multivariante en el modelo bekk -garch. The Econometrics Journal, 17 (1): 24–55, 2014.
Comentarios
- No estoy seguro de si esto se aplica a la forma particular de BEKK estudiada aquí, pero McAleer " Lo que no le dijeron sobre la (no) existencia algebraica, la (ir-) regularidad matemática y las propiedades (no) asintóticas del condicional dinámico BEKK completo El modelo de covarianza " (2019) muestra que es posible que BEKK ni siquiera exista excepto en condiciones restrictivas, tirando de la alfombra de menos de 4500 artículos que citan a BEKK.
- @Duffau es una gran respuesta, pero ¿tienes alguna idea sobre cuál debería ser la brecha entre A y B?
- ¡Gracias @FrancisOrigi! Así que recuerde que A y B son matrices, por lo que no hay una noción clara de " gap ". En los sistemas dinámicos donde el proceso se define mediante matrices, a menudo algún tipo de valor propio determina la estabilidad del sistema. Al igual que para el BEKK, la estabilidad (estacionariedad y dependencia débil) se rige por los valores propios de las matrices transformadas que describí anteriormente. Si desea obtener más información, buscaría las autorregresiones vectoriales lineales, son el tipo más simple con dinámica multivariante. Son el equivalente a los modelos AR en el mundo univariante.