Estaba haciendo esta pregunta sobre el cálculo del campo eléctrico en un cierto punto en una esfera (longitud $ r $ del centro), donde la densidad de carga viene dado por una ecuación. Cuando verifiqué la solución a esta pregunta, me dijo que calculara la carga elemental $ dQ $ para el volumen elemental de la esfera $ dV $, usando la ecuación de densidad de carga. Dice que el volumen entre dos capas concéntricas dentro de la esfera, a distancias $ r $ y $ r + dr $ es
$$ dV = \ frac {4 \ pi (r + dr) ^ 3} {3} – \ frac {4 \ pi (r) ^ 3} {3} = \ frac {4 \ pi (3r ^ 2dr + 3rdr ^ 2 + dr ^ 3))} {3}. $$
Ahora, ¿por qué es esto igual a $ 4 \ pi r ^ 2dr $?
Comentarios
- La heurística empleada en este cálculo es que , dado que $ dr $ es muy pequeño, al cuadrarlo o al cubo lo hace mucho más pequeño. Por lo tanto, los términos $ 3rdr ^ 2 $ y $ dr ^ 3 $ son insignificantes y pueden simplemente descartarse.
- ¡Esto no tiene absolutamente nada que ver con la física! Pregunte en un sitio web de matemáticas q &. En realidad, @sourisse te dio la respuesta correcta.
- Creo que esto es bastante relevante para la física en realidad, es una aproximación / método / herramienta que se usa mucho mucho en física, p. Ej. electrostática, gravitación, estado sólido, etc., etc.
- Por cierto, también puede pensar en $ 4 \ pi r ^ 2 dr $ como el volumen de una capa esférica con radio $ r $ y espesor $ dr $ – solo superficie área multiplicada por el grosor
- @FraSchelle Creo que si preguntaras esto en math.stackexchange, serías dirigido aquí …
Responder
El comentario de Sourisse responde a su pregunta, pero sólo para que conste, lo ampliaré aquí como una respuesta Wiki. Tenga en cuenta que esta es la respuesta de un físico: cualquier matemático presente haría bien en apartar la mirada ahora.
Recuerde que cuando decimos que el elemento de volumen es:
$$ dV = 4 \ pi r ^ 2 dr \ tag {1} $$
Estamos hablando del límite en el que $ dr \ rightarrow 0 $. Si $ dr $ es extremadamente pequeño, $ dr ^ 2 $ es extremadamente pequeño y $ dr ^ 3 $ es extremadamente extremadamente pequeño. Por lo tanto, en el límite de $ dr \ rightarrow 0 $ podemos simplemente ignorar las potencias superiores y la ecuación completa se convierte en la ecuación (1).
Comentarios
- Señor, esto es lo mismo que nos enseñaron, pero ¿hay alguna forma de usar los términos de $ (dr) ^ 2 $ o superior? ¿Poder en el cálculo o la integración? ¡Muchas gracias!
Respuesta
$ v = \ dfrac {4} { 3} \ pi r ^ 3 $
Diferenciando con respecto a $ r $
$ \ dfrac {dv} {dr} = 4 \ pi r ^ 2 $
$ dv = 4 \ pi r ^ 2 dr $
Comentarios
- ¡Justo! este es el tipo de elemento entary " truco " olvidado con demasiada frecuencia. Lástima que no pueda ' obtener el factor $ \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi $ de $ 4 \ pi $ de esta manera.