La siguiente es una pregunta de la entrevista de Mark Joshi et al. Entrevista de trabajo cuantitativo.
Pregunta: ¿Por qué es útil el movimiento browniano en finanzas?
Soy de un doctorado en Matemáticas Puras (análisis funcional, en particular, teoría espacial de Banach). Me gustaría incursionar en la industria de las finanzas cuantitativas después de mi doctorado.
Por lo tanto, no tengo idea de cómo responder la pregunta anterior, ya que parece que la mayoría de los libros de cálculo estocástico implican hablar sobre el movimiento browniano pero nunca dan motivaciones.
Comentarios
- Hola: Una razón es que ' es una martingala y algunos están de acuerdo con ver los precios de los troncos como una martingala. Por lo tanto, BW puede ser un proceso razonable de usar para modelar cambios en los precios de las trozas. De hecho, todo el marco de Scholes negro se basa en esa suposición.
- ¿Movimiento browniano estándar o movimiento browniano geométrico?
- ¿Supongo que puede responder a ambos?
- La principal utilidad de BM e Ito Calculus en comparación con cosas como caminatas aleatorias discretas es la capacidad de una cartera de derivados en un universo de este tipo para estar cubierta continuamente.
Respuesta
El movimiento browniano es simplemente el límite de una caminata aleatoria escalada (tiempo discreto) y, por lo tanto, un candidato natural para usar. Es muy intuitivo y posiblemente uno de los procesos estocásticos continuos en el tiempo más simples y mejor entendidos. Además, no olvide que obtiene muchos más procesos estocásticos como funciones de un movimiento browniano (con cambio de tiempo). En muchos libros sobre cálculo estocástico, primero define la integral Ito con respecto a un movimiento browniano antes de extenderlo a general semimartingales. Suponiendo que los retornos logarítmicos siguen un movimiento browniano (con deriva), puede derivar fácilmente soluciones de forma cerrada para los precios de las opciones. El movimiento browniano es además markoviano y una martingala que representan propiedades clave en las finanzas.
El movimiento browniano fue introducido por primera vez por Bachelier en 1900. Samuelson luego usó la exponencial de un movimiento browniano (movimiento browniano geométrico) para evitar la negatividad de un modelo de precio de acciones. Basado en este trabajo, Black y Scholes encontraron su famosa fórmula en 1973.
Comentarios
- Parece que esta es la respuesta que quieren que des en una entrevista. Una advertencia, ya que tienes experiencia pura en matemáticas. Todos estos modelos hacer suposiciones de que varias cantidades son e Gaussiano normalmente distribuido. Los datos de la vida real no lo son. Si los modelos siguen siendo útiles o no es exactamente la pregunta para la que deberían querer contratar a un doctorado en matemáticas puras.
- Pero, ¿por qué una caminata aleatoria es un candidato natural para modelar activos? La respuesta es una pregunta económica más que una pregunta matemática (si los rendimientos pudieran " predecir ", entonces el comercio se produciría de tal manera que los rendimientos ya no ser " predecible ")
Responder
Los objetos físicos se mueven de acuerdo con curvas suaves simples que pueden ser representadas por polinomios de bajo orden: una línea recta, una parábola, una elipse, etc.
Los precios del mercado financiero se mueven de una manera completamente diferente, como se puede ver al mirar cualquier gráfico de precios de acciones, tasas de interés, etc.en un periódico: hay fluctuaciones constantes y erráticas, a veces en una dirección, a veces en la otra, a veces pequeñas y a veces grandes, que dan a la curva un aspecto aleatorio y tosco. El movimiento browniano es un modelo adecuado para este tipo de curva.