¿Por qué la energía potencial gravitacional es negativa y qué significa eso?

Acerca de las energías negativas: no plantean ningún problema:

En este contexto, solo las diferencias de energía tienen importancia. La energía negativa aparece porque cuando has hecho la integración, has establecido un punto en el que estableces tu energía a 0. En este caso, ha elegido que $ PE_1 = 0 $ para $ r = \ infty $. Si ha establecido $ PE_1 = 1000 $ en $ r = \ infty $, la energía fue positiva para algunos r .

Sin embargo, el signo menos es importante, ya que le indica que la partícula de prueba está perdiendo energía potencial cuando se mueve a $ r = 0 $, esto es cierto porque se está acelerando, lo que provoca un aumento en $ KE $:

calculemos el $ \ Delta PE_1 $ para una partícula que se mueve en la dirección de $ r = 0 $: $ r_i = 10 $ y $ r_f = 1 $:

$ \ Delta PE_1 = PE_f – PE_i = Gm (-1 – (-0.1)) = -Gm \ times0 .9 < 0 $

como se esperaba: perdemos $ PE $ y ganamos $ KE $.

Segunda viñeta: sí, tú tienen razón. Sin embargo, solo es cierto SI son partículas puntuales: si normalmente tienen un radio definido, chocan cuando $ r = r_1 + r_2 $, provocando una colisión elástica o inelástica.

Tercera viñeta : tiene razón con $ PE_2 = mgh $, sin embargo, nuevamente, está eligiendo un referencial dado: está asumiendo $ PE_2 = 0 $ para $ y = 0 $, lo que, en la notación anterior, significa que estaba estableciendo $ PE_1 = 0 $ por $ r = r_ {earth} $.

La mayoría de i Una diferencia importante ahora es que estás diciendo que un aumento en h es moviéndose más lejos en r (si estás más alto, estás más lejos del centro de la Tierra).

Haciendo la analogía con el problema anterior, imagina que quieres obtener $ \ Delta PE_2 $. En este caso, comienza en $ h_i = 10 $ y desea moverse a $ h_f = 1 $ (moviéndose en dirección al centro de la Tierra, como $ \ Delta PE_1 $:

$ \ Delta PE_2 = PE_ {f} – PE_ {i} = 1 mg – 10 mg = -9 mg < 0 $.

Como era de esperar, debido a que estamos cayendo, estamos perdiendo $ PE $ y ganando $ KE $, el mismo resultado tiene $ PE_1 $

Cuarta viñeta: ambos representan lo mismo. La diferencia es que $ gh $ es el primer término en el Serie de Taylor de la expansión de $ PE_1 $ cerca de $ r = r_ {Earth} $. Como ejercicio, intente expandir $ PE_1 (r) $ en una serie de Taylor y demuestre que el término lineal es:

$ PE_1 = a + \ frac {Gm (r-r_ {tierra})} {r_ {tierra} ^ 2} $.

Ellos calculan numéricamente $ Gm / r_ {earth} ^ 2 $ (recuerde que $ m = m_ {earth} $). Si aún no lo ha hecho, supongo que se sorprenderá.

Por lo que entendido, su lógica es totalmente correcta, aparte de dos puntos clave:

• la energía se define aparte de un valor constante.

• en th e $ PE_1 $, aumentar r significa disminuir $ 1 / r $, lo que significa aumentar $ PE_2 = -Gm / r $. En $ PE_2 $, aumentar h significa aumentar $ PE_2 = mgh $.

Comentarios

• Ah, ya veo, el truco es que ‘ es un valor relativo: sigo pensando en la energía como algo absoluto (aunque supongo que incluso la energía cinética cambia, dependiendo de su marco de referencia) . Supongo que ‘ d me gusta establecer PE = 0 cuando r = 0, pero desafortunadamente, según la ecuación, se necesitaría energía infinita para tirar de las partículas. ¡aparte! Entonces supongo que PE = 0 cuando r = ∞ es la única otra opción razonable. Todo tiene sentido ahora, ¡gracias!
• Además, la fórmula cambia dentro de una masa no puntual, por lo que el límite de $ r \ a 0 $ es finito.

Primero (1) resumiré las diferencias entre las definiciones de PE1 y PE2 y luego (2) equipararé las dos.

(1) Primero, como esta respuesta a «¿Por qué la energía gravitacional es negativa?» dice , PE1 define la energía potencial de un cuerpo de masa m en el campo gravitacional de una masa M como la energía (trabajo) requerida para tomarla de su posición actual $ r $ hasta el infinito. PE1 asume que $ r = \ infty $ es $ PE = 0 $ $$ PE1 = \ frac {−GMm} {r} $$

PE2, por otro lado, se define como el negativo de la trabajo realizado por la gravedad para levantar un cuerpo de masa m desde la superficie de un planeta hasta una altura h sobre el planeta.

$$ PE2 = -W = -Fdcos \ theta = mgh $$

PE2 tiene un marco de referencia diferente al de PE1 , ya que asume $ PE = 0 $ en $ r = R $, o en la superficie del planeta. Además, y lo que es más importante, PE2 solo se usa cuando un objeto está cerca de la superficie de un planeta , cuando $ h < < < R $ (R es el radio del planeta) y g se puede suponer que es constante:

$$ g = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} \ approx \ frac {GM} {R ^ 2} $$

(2) Bien, ahora vamos a equiparar los dos. Aunque los marcos de referencia para PE1 y PE2 son diferentes, $ | \ Delta PE | $ entre dos puntos seguramente debería ser el mismo. Por el bien de ejemplo, digamos que los dos puntos son la superficie del planeta y la altura h sobre el planeta.

PE1 dice $ | \ Delta PE | = mgh -mg (0) = mgh $

PE2 dice $ | \ Delta PE | = \ frac {-GMm} {R + h} – \ frac {-GMm} {R} = GMm \ left ( \ frac {1} {R} – \ frac {1} {R + h} \ right) = GMm \ left (\ frac {h + RR} {(R) (h + R)} \ right) = \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} $

y porque $ h < < < R $, $ \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} \ approx \ frac {GMmh} {R ^ 2} = mgh $

Y así, PE1 y PE2 representan la misma forma de energía, pero debemos tener en cuenta los marcos de referencia y las condiciones de uso cuando los usamos.

Espero que esto ayude !! Paz.

Esto se debe a que la fuerza gravitacional es atractiva y el trabajo lo realiza la propia fuerza gravitacional. Cuando el sistema funciona, la energía es se toma como negativo y cuando el trabajo es realizado por una agencia externa sobre la energía del sistema se toma como positivo.

Creo que es solo una preferencia.

Podríamos ver la energía potencial gravitacional como positiva , que representa la energía «invertida» en nuestra posición en relación con un objeto masivo. Podemos «recuperar» esa energía (aumentar la energía cinética) acercándonos al objeto, momento en el que hemos reducido la cantidad de energía que podríamos ganar moviéndonos más lejos.Entonces, la energía potencial disminuye a medida que nos acercamos (acercándonos a la energía cero a una distancia cero), aumenta a medida que nos alejamos, y la suma de PE y KE es constante.

Pero, ¿qué valor es la constante? Cuando estamos muy, muy lejos del objeto masivo, deberíamos tener una energía potencial muy grande. Pero incluso cuando estamos bastante cerca del objeto masivo, estamos muy, muy lejos de todos los demás objetos masivos del universo y, por lo tanto, deberíamos tener energías potenciales gravitacionales muy grandes en relación con todos esos objetos. Podemos calcular aproximadamente un valor para KE + PE considerando solo los objetos más relevantes (los más cercanos y / o más grandes), pero nuestro valor aproximado solo crece y crece y crece a medida que intentamos obtener aproximaciones más precisas al incluir más pequeños y más -objetos distantes en nuestra categoría de objetos «relevantes». Entonces, nuestra constante KE + PE es un valor increíblemente grande que nunca podemos calcular o estimar realmente como un valor específico. De alguna manera, no importa que nunca podamos reclamar un valor, ya que las diferencias de energías son todo lo que realmente necesitamos para trabajar, y aún podemos calcular esos (asumiendo que nuestra PE relativa a todo lo demás en el universo solo ha cambiado insignificantemente cuando nos movemos cerca del objeto masivo que estamos considerando). Pero parece insatisfactorio.

Por otro lado, en cambio de considerar PE como una cantidad positiva de energía «invertida» en nuestra posición (energía que «ya hemos» gastado «si nos estuviéramos alejando del objeto masivo, que podríamos ganar acercándonos), podemos considerarlo en cambio negativo cantidad de energía que «debemos» debido a nuestra posición (energía que «hemos ganado» gratis «si nos acercáramos al objeto desde el infinito, que tendríamos que» gastar «para escapar al infinito nuevamente).

Todos los cálculos de diferencias de energía funcionan igual de todos modos. Pero ahora nuestra PE relativa a un objeto va a cero a medida que nos alejamos mucho de el objeto. Esto significa que como podemos calcular una aproximación de nuestra constante KE + PE considerando solo los objetos más relevantes, y mientras tratamos de obtener mejores aproximaciones al incluir objetos más pequeños y más distantes en nuestro cálculo, los efectos de esos objetos adicionales se acercan. y más cerca de cero. Así que obtenemos un número real que podemos decir con razón que es el valor de nuestra constante KE + PE.

El El hecho de que la energía potencial gravitacional como todas las energías potenciales de las fuerzas de atracción sean negativas se basa en el hecho de que queremos suponer que cuando las partículas están en el infinito entre sí y en reposo el sistema tiene energía total cero. Imagínese que si este no fuera el caso y se considerara que un sistema de dos partículas con separación infinita en reposo tiene una energía neta, entonces surgiría cierta confusión en cuanto a la energía asociada con la masa en reposo. La energía total del sistema no sería entonces $ E = Mc.c $ donde $ M $ es la suma de dos masas. ¿De dónde vendría entonces esta energía extra?

Es incorrecto considerar que la energía potencial gravitacional es negativa, aunque común.

El gran error está en asignar el PE en infinito = 0. Esto es claramente incorrecto – P.E. es claramente 0 a 0 de separación y grande a grandes separaciones. El PE. de objetos alejados unos de otros tendría que ser la suma de la P.E. para el primero digamos 100 «de separación más el P.E. para el segundo 100» de separación más — el P.E. por cada 100 «hasta que se haya tenido en cuenta la separación completa. (Expresaré esto como una integral después de repasar mi cálculo). Es decir, PE AUMENTA a medida que aumenta la separación, comenzando en 0 sin separación.

¡Muchas personas están cometiendo un gran error al considerar que la energía potencial gravitacional es negativa!

Comentarios

• Con el campo de una fuente puntual obedeciendo a la inversa – ley del cuadrado, la fuerza es proporcional a $ r ^ {- 2} $ y el potencial (y la energía potencial) es por lo tanto proporcional a $ r ^ {- 1} $. El $ P = mgh $ lineal es solo una aproximación para pequeños cambios en la distancia.
• @ HDE226868 ¿Quisiste comentar sobre una respuesta diferente?
• @diracula No, debería haberme aclarado. Estaba mostrando matemáticamente por qué el potencial la energía se desvanece en el infinito en lugar de crecer hasta el infinito; como $ r \ to \ infty $, $ r ^ {- 1} $ va a $ 0 $.