¿Por qué la tensión en la polea en una máquina Atwood no es igual a $ (m_1 + m_2) g $?

Su resultado se mantiene cuando las dos masas son iguales, en ese caso $ a = 0 $ y tendrías eso:

$ T = m_1 g = m_2 g $.

O:

$ 2T = 2m_1 g = 2m_2g = (m_1 + m_2) g $.

En el caso de que las masas no sean las mismas, entonces ambas masas están acelerando, lo que a su vez aplica produce una fuerza menor en el sistema de poleas (y en la abrazadera).

¡Esto se puede comprobar fácilmente con la fórmula de la tensión!

$ T = \ frac {2m_1m_2g} {m_1 + m_2}, $

Si yo si definiera la masa total como: $ M = m_1 + m_2 $, entonces podría expresar $ T $ como:

$ T = \ frac {2m_1 (M-m_1) g} {M} = \ frac {2g} {M} (m_1 (M-m_1)). $

Puede comprobar si «trazó $ T $ en función de $ m_1 $, que alcanza un máximo en $ m_1 = M / 2 $, lo que significa que la tensión se vuelve máxima si las dos masas son iguales, entonces la tensión se convierte en:

$ T = \ frac {Mg} {2} = \ frac {(m_1 + m_2) g} {2} $,

o como estabas pensando:

$ 2T = (m_1 + m_2) g $

Para completar la gráfica de la tensión en función de la masa $ m_1 $ en términos de cantidades adimensionales.

En esta gráfica, puede ver fácilmente que si $ m_1 = 0 \ Rightarrow m_2 = M $ o $ m_1 = M \ Rightarrow m_2 = 0 $, no habría tensión ya que una de las dos masas estaría libre descendente. En los casos intermedios habría tensión ya que hay un «» tirón «» en ambos lados de la cuerda, cuanto más iguales las masas $ m_1 $ y $ m_2 $ entre sí, menos movimiento hay y más tirón hay en la cadena.

Comentarios

• Entonces, si mi argumento era incorrecto, solo puede significar que el sistema no está en reposo. Pero, ¿cómo se puede decir que el sistema no está en reposo?
• En el caso anterior tenemos una polea sin fricción, con una cuerda sin masa. La única forma en que el sistema puede estar en reposo es cuando las dos masas son iguales (en su cálculo, ' es el único caso en el que la aceleración es igual a cero). Cuando este es el caso, ambas masas tiran con la misma fuerza en ambos extremos de la cuerda. Tenga en cuenta que esto no ' t necesariamente implica que el sistema está en reposo, ¡también puede moverse con una velocidad constante!
• @Gerard Si tuviera que agregar masa a el pinchazo y / o la fricción en la polea, entonces podría haber otras situaciones en las que el sistema esté / se quede en reposo.
• No es ' cierto que permanece en el mismo lugar.Su centro de masa se está acelerando porque incluso si m_1 va hacia arriba y m_2 hacia abajo, las masas son diferentes, por lo que tienen un " peso " diferente. en el movimiento global. Entonces, si m_2 > m_1 y m_2 está acelerando hacia abajo, entonces el centro de masa está yendo hacia abajo.
• @Gerard: Bien, observe que para su propósito (es decir fuerza total que actúa sobre el sistema) el descanso o el movimiento no es lo que ' está buscando en realidad. ' he sido descuidado simplemente diciéndote: " el sistema no está en reposo " . Lo ' importante es la aceleración total y, en este caso, es ' diferente de 0. Un movimiento con velocidad constante no necesita ninguna fuerza que actúe sobre el sistema. ' me detendré aquí porque ' estamos haciendo un poco mal uso del espacio para comentarios.

El sistema no está en reposo. Si considera que las masas y la polea son un sistema, puede comprender el comportamiento del sistema por el comportamiento de su centro de masa. A menos que las masas sean iguales, el centro de masa del sistema no está en reposo.

Puede ser útil pensar en ello de esta manera: dentro del límite del sistema, la masa $ m_1 $ se mueve hacia abajo a través de una distancia mientras que la masa $ m_2 $ sube la misma distancia. Entonces, el centro de masa se ha movido hacia abajo (o hacia arriba dependiendo de si $ m_1 > m_2 $).

Entonces, la tensión estaría dada por la ecuación:

$$ (m_1 + m_2) a_ {cm} = (m_1 + m_2) g – T_c $$

Puede seguir trabajando en eso

$ a_ {cm} = a (m_2-m_1) / (m_1 + m_2) $, donde a es el valor de la aceleración de la masa $ m_1 $ que ha mencionado.

Inserte la ecuación y encontrará que:

$ T_c = \ frac {4m_1m_2} {m_1 + m_2} {g} $

Comentarios

• Así es como intentaré enseñar este problema. Gracias.
• ¿Alguna posibilidad de que tú o @Nick puedan comentar sobre la solución en la forma 4g * mu? Sé que puede estar más allá del alcance del problema, pero cuando veo conexiones como esa, trato de entenderlas.

Hay es de hecho una falla en su argumento. En resumen, la tensión en el broche de la polea solo se requiere para cancelar la fuerza gravitacional total en el sistema cuando todo está en equilibrio ibrio y no hay aceleración. Sin embargo, si las masas están desequilibradas, una de ellas caerá y la otra aumentará, y no está claro que esto mantendrá la fuerza total en el mismo valor que en el caso equilibrado.

De hecho, puedes comprobar que cuando las dos masas son iguales entonces las respuestas coinciden: la tensión correcta en el broche de la polea es $$ T_ \ text {clasp} = 2T = \ frac {4m ^ 2} {m + m} g = 2 mg = (m + m) g. $$