Primero, asumo operadores de dimensión finita: de lo contrario, debe verificar ciertas condiciones de delimitación en los operadores. Debido a que la serie CBH está aquí truncada por los conmutadores dobles que desaparecen, las condiciones para los operadores lineales en p. Ej. $ \ mathbf {L} ^ 2 (\ mathbb {R}) $ serán suaves.
Necesita practicar operaciones con $ \ mathrm {Ad} $. Busque lo siguiente. En el grupo de Lie $ \ mathfrak {G} $ con álgebra $ \ mathfrak {g} $ el vector tangente a la ruta:
$$ \ sigma: \ mathbb {R} \ to \ mathfrak {G }; \; \ sigma (\ tau) = e ^ A \, e ^ {\ tau \, B} \, e ^ {- A}; \; A, \, B \ in \ mathfrak {g} \ etiqueta {1} $$
en la identidad es $ \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B = \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B $. Aquí $ \ mathrm {Ad}: \ mathfrak {G} \ to GL (\ mathfrak {g}) $ es la Representación adjunta . Es un homomorfismo de grupo de Lie del grupo de Lie general $ \ mathfrak {G} $ al grupo de Lie de matriz $ GL (\ mathfrak {g}) $. Su núcleo es el centro de $ \ mathfrak {G} $. Como es un homomorfismo, tenemos $ \ mathrm {Ad} (\ gamma \, \ zeta) = \ mathrm {Ad} (\ gamma) \, \ mathrm {Ad} (\ zeta); \, \ forall \ gamma , \, \ zeta \ in \ mathfrak {G} $. Otra identidad útil es:
$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B & = & \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B \\ & = & B + \ mathrm {ad} (A) B + \ frac {\ mathrm {ad} (A) ^ 2} {2!} \, B + \ cdots \\ & = & B + [A, \, B] + \ frac {1} {2!} \, [A, \, [A, \, B]] + \ cdots \ end {array} \ tag {2} $$
y esta serie es universalmente convergente si el operador $ B \ mapsto [A, \, B] $ es adecuadamente acotado ( por ejemplo $ \ left \ | [A, \, B] \ right \ | \ leq K (A) \, \ left \ | B \ right \ | $ por algunos $ K (A ) \ in \ mathbb {R} $ – esto es ciertamente cierto en dimensiones finitas).
Ahora, por (1) y la propiedad de homomorfismo ($ \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \ , A} \, e ^ {\ lambda \, B}) = \ mathrm {Anuncio} (e ^ {\ lambda \, A}) \, \ mathrm {Anuncio} (e ^ {\ lambda \, B}) $), puede encontrar que:
$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {d} _ \ lambda f & = & A \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, A + B)} \\ & = & \ left (A + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {- \ lambda \, A} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, A} \ right) \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} \\ & = & \ left (A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, ( A + B) \ right) \ right) \, f \ end {array} \ tag {3} $$
Todo lo anterior es perfectamente general. Debe especializarlo en su caso truncado. Así que use la serie (2) universalmente convergente (y aquí truncada a dos términos) para expandir $ A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, (A + B) \ right) $ y truncarlo para tu caso especial y creo que deberías hacer algunos avances.
Un fastidio pedante: aunque ambos órdenes para el nombre son bastante comunes, el orden que refleja con precisión la precedencia histórica es «Campbell-Baker-Hausdorff», ya que cada uno de los autores hizo sus contribuciones en 1897/1898 (Campbell), 1905 (Baker) y 1906 (Hausdorff ), respectivamente. Cada uno era consciente del trabajo de sus precursores, pero, como se afirma en el fascículo 16, capítulo 1 de Bourbaki (1960), «cada uno encontró las demostraciones de sus precursores poco convincentes (!)». Esa afirmación siempre me hace reír y me reconforta que «No soy el único con un índice de comprensión del 5% en lectura de literatura técnica (creo que necesito leer un artículo unas 20 veces en promedio para» entenderlo «). Un hecho curioso es que ninguno de estos tres realmente resolvió la serie. En cambio, establecieron el teorema de que la serie era convergente dentro de alguna vecindad de $ \ mathbf {0} $ en el álgebra de Lie y comprende operaciones lineales y de corchetes de Lie solamente. ¡La fórmula en sí se debe a Dynkin y se desarrolló por completo en 1947!
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