Aquí queremos mostrar que el método Box-Muller genera un par de variables aleatorias gaussianas estándar independientes . ¿Pero no entiendo por qué usamos el determinante? Para mí, cuando tienes dos variables independientes, la función de densidad conjunta es solo el producto de la función de dos densidades. ¿Alguien puede explicarme el significado del determinante aquí? Por favor. >
Comentarios
- Hay un " cambio de variables " involucradas en pasar de X a Y y por lo tanto tienes para multiplicar por el jacobiano de la transformación que es el determinante que ves arriba. Ver por ejemplo la Proposición 8 aquí math.uah.edu/stat/dist/Transformations.html
- Ok, entiendo, gracias Alex por tu respuesta.
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Sea $ Z = \ sqrt {-2 \ ln (X_1)} $, tenemos
\ begin {align} \ mathbb {P} \ left [Z \ leq z \ right] = \ mathbb { P} \ left [-2 \ ln (X_1) \ leq z ^ 2 \ right] = \ mathbb {P} \ left [\ ln (X_ 1) \ geq – \ frac {z ^ 2} {2} \ right] = 1 – \ mathbb {P} \ biggl [X_1 < \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right) \ biggr] \, \ end {align} $ X_1 $ está uniformemente definido en $ [0, 1] $, por lo tanto $$ \ mathbb {P} [Z \ leq z] = 1 – \ int_0 ^ {\ exp (-z ^ 2/2)} \, dt = 1 – \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right). $$ Efectivamente $$ f_Z (z) = \ begin {cases} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \\ 0 \ qquad \ qquad, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ sea $ W = 2 \ pi X_2 $. Por lo tanto, $ X_2 $ se distribuye uniformemente en $ [0,1] $, por lo que $$ f_W (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi}, \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \, \, \, \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Como $ X_1 $ y $ X_2 $ son independientes, $ Z $ y $ W $ deben ser independientes. Tenemos $$ f_ {Z, W} (z, w) = f_ {Z} (z) f_ {W} (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \ quad \ text {y} \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \ qquad \ qquad \ quad \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Definir la función $ q: (0, \ infty) \ times ( 0,2 \ pi] \ to \ mathbb {R} ^ 2 $ tal que $ q (z, w) = (z \ cos (w), z \ sin (w)) $ así $$ \ mathbb {P} _ {Y_1, Y_2} = \ mathbb {P} _ {Z, W} \ circ q ^ {- 1} $$ en otras palabras $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {f_ { Z, W} (q ^ {- 1} (y_1, y_2))} {| \ det (q «(q ^ {- 1} (y_1, y_2))) |} $$ podemos mostrar fácilmente $$ z = \ sqrt {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} $$ luego $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} {2} \ right) $$
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Se puede ver que $ Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2 = -2 \ log {X_2} $ y ese $ Y_2 \ over Y_1 $ $ = \ tan (2 \ pi X_1) $ .
Por lo tanto, $ X_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {\ arctan {Y_2 \ over Y_1}} $ y $ X_2 = \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ over 2} $ .
Tomando diferencial para obtener $ dX_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {{- Y_2dY_1 + Y_1dY_2} \ over {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2}} $ .
De manera similar, $ dX_2 = {\ exp {- {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2} \ over 2} (Y_1 dY_1 + Y_2dY_2)} $ .
Por lo tanto, jacobiano $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ over {Y_1, Y_2}}) $ = $ 1 \ over {2 \ pi} $ $ \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ over 2 } $ .
Para archivos PDF, como $ f_ {X_1, X_2} (x_1, x_2) $ $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ over {Y_1, Y_2}}) = $ $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) $ ,
da $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ over 2} $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ más de 2} $
mostrando que $ Y_1, Y_2 $ son variables aleatorias gaussianas independientes.
Commen ts
- el rango de $ X_1 $ debe ser (0,1), pero $ X_1 = \ frac {1} {2 \ pi} \ arctan {\ frac {Y_2 } {Y_1}} $ es $ (- \ frac {1} {4}, \ frac {1} {4}) $