Já existe uma pergunta como esta aqui para que minha pergunta possa ser considerada duplicar, mas tentarei deixar claro que esta é uma questão diferente.
Existe uma maneira de derivar a lei de Biot-Savart da “lei da força” de Lorentz ou apenas das equações de Maxwell?
A questão é que normalmente definimos, com base em experimentos, que a força sentida por uma carga em movimento na presença de um campo magnético é $ \ mathbf {F} = q \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} $, mas nesse caso o campo magnético geralmente é deixado para ser definido mais tarde.
Agora, essa lei da força pode ser usada de alguma forma para obter a lei de Biot-Savart como obtemos a equação para o campo elétrico diretamente da lei da força de Coulomb?
Eu queria saiba disso porque, como apontado na questão que mencionei, embora as equações de Maxwell possam ser consideradas mais fundamentais, essas equações são obtidas depois que conhecemos as leis de Coulomb e Biot-Savart, portanto, se começarmos com Maxwell ” s Equações para obter Biot-Savart usando-o para encontrar as Equações de Maxwell, então acho que cairemos em um argumento circular.
Nesse caso, sem recorrer às Equações de Maxwell, o único maneira de obter a lei de Biot-Savart “é através de observações ou pode ser derivada de alguma forma?
Comentários
- Nem Maxwell nem Biot-Savart são fundamentais – todas essas fórmulas seguem de Coulomb e uma definição bem escolhida de $ B $, conforme mencionado tangencialmente neste breve discurso .
- @ ChrisWhite, Maxwell s equações não seguem apenas a lei de Coulomb, relatividade especial e definições. Por exemplo, a lei de Gauss para o movimento não retilíneo de cargas não pode ser derivada sem outras suposições.
- Acho que @Hans de Vries pode fornecer uma resposta elegante.
Resposta
$ \ def \ VA {{\ bf A}} \ def \ VB {{\ bf B}} \ def \ VJ {{\ bf J}} \ def \ VE {{\ bf E}} \ def \ vr {{\ bf r}} $ A lei de Biot-Savart é uma consequência das equações de Maxwell.
Assumimos As equações de Maxwell e escolha o medidor de Coulomb, $ \ nabla \ cdot \ VA = 0 $. Então $$ \ nabla \ times \ VB = \ nabla \ times (\ nabla \ times \ VA) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ VA) – \ nabla ^ 2 \ VA = – \ nabla ^ 2 \ VA. $ $ Mas $$ \ nabla \ times \ VB – \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial \ VE} {\ partial t} = \ mu_0 \ VJ. $$ No estado estacionário isso implica $$ \ nabla ^ 2 \ VA = – \ mu_0 \ VJ. $$ Assim, temos a equação de Poisson para cada componente da equação acima. A solução é $$ \ VA (\ vr) = \ frac {\ mu_0} { 4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr “)} {| \ vr- \ vr” |} d ^ 3 r “. $$ Agora precisamos apenas calcular $ \ VB = \ nabla \ times \ VA $. Mas $$ \ nabla \ times \ frac {\ VJ (\ vr “)} {| \ vr- \ vr” |} = \ frac {\ VJ (\ vr “) \ times (\ vr- \ vr”)} {| \ vr- \ vr “| ^ 3} $$ e assim $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr”) \ vezes (\ vr- \ vr “)} {| \ vr- \ vr” | ^ 3} d ^ 3 r “. $$ Esta é a lei de Biot-Savart para um fio de espessura finita. Para um fio fino, isso se reduz a $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {I d {\ bf l} \ times (\ vr- \ vr “)} {| \ vr- \ vr “| ^ 3}. $$
Adendo : Em matemática e ciências é importante manter em mente a distinção entre o desenvolvimento histórico e lógico de um assunto. Conhecer a história de um assunto pode ser útil para se ter uma noção das personalidades envolvidas e, às vezes, para desenvolver uma intuição sobre o assunto. A apresentação lógica do assunto é o forma como os profissionais pensam sobre ele. Ele encapsula as idéias principais da maneira mais completa e simples. Desse ponto de vista, o eletromagnetismo é o estudo das equações de Maxwell e da lei de força de Lorentz. Todo o resto é secundário, incluindo a lei de Biot-Savart.
Comentários
- Mas como eu ‘ vi isso ser feito, Maxwell ‘ s equações são derivadas da lei Biot-Savart, o que tornaria este circular.
- @JLA: I ‘ adicionei algo a aborde a ” circularidade ” à qual você se refere.
- @JLA, não é possível derivar matematicamente Maxwell ‘ s equações da lei de Biot Savart. O que as pessoas às vezes fazem é inferir (chegar às) equações de Maxwell ‘ s da lei de Biot-Savart para um caso específico como correntes estacionárias e então generalizá-las para todas as situações por palavra.
- Por motivos de clareza, os operadores diferenciais são aplicados em $ {\ bf r} $ e não em $ {\ bf r ‘} $, que ‘ s como eles são trocados por integrais em $ {\ bf r ‘} $.
- @AG Na verdade, tomar a derivada em relação a $ {\ bf r ‘} $ não faz sentido.Temos $ \ nabla = \ sum \ hat e_i \ parcial / \ parcial x_i $, não $ \ sum \ hat e_i \ parcial / \ parcial x ‘ _i $ (para o qual eu escreveria $ \ nabla ‘ $ ou algo parecido).
Resposta
Pode ser verdade que antigamente as pessoas mediam a força resultante de uma corrente filamentar, descobrindo a lei de Biot-Savart, e então usavam isso como inspiração para construir as equações de Maxwell. como isso realmente aconteceu historicamente, tudo bem.
Mas isso é análogo a algum arqueólogo alienígena daqui a 10 milhões de anos encontrando uma mão e um pé esquelético na Terra. Pela mão, o arqueólogo chega a entender o que o animal que tinha aquela mão gostava de fazer com ela: que podia agarrar e usar ferramentas e assim por diante. A partir do pé, o arqueólogo chega a entender que o animal a que pertencia andava sobre duas pernas e que normalmente pesava na idade adulta em torno de 100-300 libras.
Só mais tarde o arqueólogo que a mão e o pé ambos pertenciam ao mesmo animal – um ser humano. Mas a natureza do trabalho significa que o quebra-cabeça do que era um ser humano tem que ser dividido em pedaços que podem ser individualmente compreendidos antes que toda a imagem possa se juntar. Dito isso, seria ao contrário sugerir que a mão e o pé são mais fundamentais do que o próprio ser humano.
As equações de Maxwell foram construídas para serem consistentes com a lei de Biot-Savart e outras informações , como a lei de Coulomb. Assim, você pode derivar Biot-Savart de Maxwell, mas não o contrário, pois Maxwell é mais geral e abrangente.
Se você já sabe a lei de força de Lorentz, você pode inferir a força do campo magnético de um fio apenas disparando partículas de teste carregadas perto do fio e observando seu movimento. Mas isso coloca em questão como você já conhece a lei de força de Lorentz, e assim diante.
Você pode andar em círculos o dia todo sobre o que é ou não fundamental, sobre o que deve ser baseado na observação experimental e o que é meramente construído para ser consistente com essas observações, mas muitas vezes há uma preferência para observações experimentais “simples” sendo consideradas construções fundamentais vs. teóricas t Isso incorpora muitas dessas observações – veja o comentário de Chris White de que as equações de Maxwell podem ser derivadas da lei de Coulomb e outras coisas.
Para mim, isso é bobagem. As equações de Maxwell incorporam a soma total de nossas observações (aquelas que se encaixam no regime clássico, pelo menos). Para mim, é o que sabemos sobre eletromagnetismo clássico. Dizer que você pode derivar Maxwell ” s equação com apenas um resultado mais algumas suposições … bem, ela perde o ponto que essas suposições também tiveram que ser testadas e verificadas em primeiro lugar. Para mim, é muito retrógrado destacar casos especiais (elétricos puros, campos magnéticos puros, estáticos ou dinâmicos) e tratá-los como “fundamentais”.
Editar: mas, na verdade, um físico precisa trabalhar nas duas direções. Para criar uma nova teoria, frequentemente temos casos especiais que não sabemos que estão conectados e devemos uni-los. Isso é construir as equações de Maxwell a partir da lei de Coulomb e de Biot-Savart. Para analisar um problema específico mais facilmente, para o qual não temos certeza se existe uma fórmula de caso especial, devemos recorrer à descrição mais geral (Maxwell) e tentar reduzi-la a algo mais simples e fácil de resolver (no caso não haja corrente e nenhuma dependência do tempo, você pode voltar à lei de Coulomb). Ambas as abordagens são necessárias para ser o mais flexível possível.
Resposta
Partindo de um experimento do tipo Rowland Ring, é possível definir permeabilidade como uma medida do fluxo gerado em uma unidade de volume por ampere-volta. Se, então, assumirmos que esse fluxo se dissipará como uma lei do inverso do quadrado, obteremos a lei do biot savart como um análogo magetic da lei de coulomb com a adição do produto vetorial, cuidando da perpendicularidade da direção do campo e estritamente no entendimento de que é uma hipótese de trabalho validada por sua utilidade, uma vez que um elemento atual não pode existir isolado do resto de seu circuito. Meu conselho – ignore todas as tentações de cair em mais matemática do que o mínimo necessário, que o levará ao entendimento. Espero que isso ajude .
Resposta
Siga o seguinte link. https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Biot e por favor vá para o título “Trabalho”. Diz que a lei foi descoberta experimentalmente no ano de 1820, ou seja, 45 anos antes da publicação das equações de Maxwell. A formulação geral do A lei de Biot-Savart foi dada por P. Laplace. A expressão da Lei de Biot-Savart (a integração) mostra que o O princípio de superposição já está incluído nele.As equações de Maxwell foram desenvolvidas posteriormente e foram projetadas adequadamente para abranger as implicações da lei de Biot-Savart. Talvez seja por isso que podemos derivar as equações de Maxwell da lei de Biot-Savart e vice-versa.
Acesse este link https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force e vá para a seção “Histórico”. Diz que em o ano de 1881, ou seja, 16 anos após a publicação das equações de Maxwell, Thomson primeiro derivou uma forma da lei de força de Lorentz das equações de Maxwell. Finalmente, a forma moderna da lei de força de Lorentz foi derivada por Lorentz em 1892 a partir das equações de Maxwell.
Portanto, a sequência histórica é assim:
Lei de Biot-Savart ==> Equações de Maxwell ==> Lei da força de Lorentz.
Mas nas salas de aula estamos ensinado na seguinte sequência:
Primeiro: A lei da força de Lorentz, para introduzir o conceito de que o campo magnético exerce força sobre uma carga em movimento.
Segundo: A lei de Biot-Savart, para apresentar o conceito de que se movendo rges produzem campo magnético.
Terceiro: As equações de Maxwell; a generalização de todas as observações experimentais no eletromagnetismo.
Portanto, a conclusão é:
(1) A lei de Biot-Savart é uma lei observada experimentalmente. Esta lei também inclui a ideia esse princípio de superposição também é válido em magnetostática. Esta lei forneceu a base para magnetostática.
(2) As equações de Maxwell foram derivadas de forma a abranger as descobertas da lei de Biot-Savart ( juntamente com outras observações experimentais do eletromagnetismo). É uma generalização teórica. As equações de Maxwell são mais fundamentais do que qualquer outra observação experimental porque os experimentos geralmente são feitos sob certas circunstâncias e, portanto, não podem fornecer uma informação generalizada.
(3) A lei da força de Lorentz foi derivada das equações de Maxwell, mas pode ser verificado experimentalmente diretamente.
NOTA
“Observação e depois generalização”: Acho que é assim que a física é desenvolvida. A observação (experimento) sempre estabelece a base. A generalização engloba a observação e estende sua usabilidade a outras configurações, casos e circunstâncias imagináveis. Portanto, é sempre possível derivar generalização da observação e vice-versa [A lei de Biot-Savart pode ser derivada das equações de Maxwell e as equações de Maxwell podem ser derivadas da Lei de Biot-Savart ] .
Aqui é enfatizado que a Lei de Biot-Savart é a observação importante que deu início ao campo da magnetostática. As equações de Maxwell (generalização) e o conceito de potencial vetorial (uma propriedade geral do campo vetorial) podem ser usados derivar a lei de Biot-Savart, mas isso não significa que a lei é apenas uma etapa intermediária no desenvolvimento do conhecimento sobre magnetostática. Que é possível derivar as equações de Maxwell da lei de Biot-Savart e o conceito de potencial vetorial apenas certifica que a generalização nas equações de Maxwell está correta.
Comentários
- Mas o OP não estava perguntando sobre a ordem histórica dos eventos.
Resposta
Temos que olhar para a linha do tempo (a história). A lei de Biot-Savart foi publicada antes da publicação das Equações de Maxwell. Portanto, é a Lei dos Campos Magnéticos de Gauss (a Segunda Equação de Maxwell) que é derivada da Lei de Biot-Savart e não o contrário. A derivação da Lei dos Campos Magnéticos de Gauss (a Segunda Equação de Maxwell ) da Lei de Biot-Savart pode ser lida aqui Lei de Gauss para campos magnéticos
Resposta
O problema da Lei de Biot-Savart “é que teoricamente ela é formulada em termos de elementos $ Idl $ e depois integrados. Mas, na maioria dos livros didáticos, ele é formulado também para encargos POINT, em termos de $ qv $ . O problema aqui é que quando uma carga pontual $ q $ se move com velocidade $ v $ , o campo magnético em espaços próximos MUDAM com o tempo, ou seja, temos um $ \ frac {dB} {dt} $ , e então os efeitos de indução ocorrem e a condição magnetostática é violada. Em contraste, quando $ Idl $ é integrado ao longo de um fio contínuo, o campo $ B $ é constante, (magnetostático ) As duas situações são muito diferentes e, pelo que sei, o campo de carga pontual $ B $ nunca foi medido diretamente. A Força em $ qv $ , sim, mas não o campo produzido por $ qv $ .