Para diagonalizar o termo quadrático no modelo antiferromagneto de Heisenberg, podemos introduzir a transformação de Bogoliubov: $ a_k = u_k \ alpha_k + v_k \ beta_k ^ \ dagger $, $ b_k ^ \ dagger = v_k \ alpha_k + u_k \ beta_k ^ \ dagger $. Esta transformação pode diagonalizar o termo quadrático no hamiltoniano:
\ begin {align} H & = \ sum_k (a ^ \ dagger_ka_k + b ^ \ dagger_kb_k + \ gamma_ka ^ \ dagger_kb ^ \ dagger_k + \ gamma_ka_kb_k) \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k }} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatriz} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{ k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma_ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pm atrix} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end { pmatrix} \ begin {pmatrix} \ epsilon_k & 0 \\ 0 & \ epsilon_k \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \ end {align}
com $ \ epsilon_k = \ sqrt {1- \ gamma_k ^ 2}, u_k = \ sqrt {\ frac {1+ \ epsilon_k} {2 \ epsilon_k}}, v_k = – \ frac {\ gamma_k} {\ sqrt {2 \ epsilon_k (1+ \ epsilon_k)}} $ . Mas a transformação U: $ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ { k} \ end {pmatrix} $ não é unitário, porque $ u_k, v_k $ são reais, $ U ^ \ dagger \ neq U ^ {- 1} $.
É o número de bósons não conservados , então a transformação pode não ser unitária? Existe alguma restrição à transformação do bóson?
Comentários
- O que importa é que, após a transformação, as relações de comutação padrão ainda se mantêm.
- related: physics.stackexchange.com/q/53158
Resposta
Você está correto, as transformações de Bogoliubov não são unitárias em geral. Por definição,
As transformações de Bogoliubov são transformações lineares de operadores de criação / aniquilação que preservam as relações algébricas entre eles.
As relações algébricas são principalmente as relações de comutação / anticomutação que definem os operadores bosônicos / fermiônicos. Em nenhum lugar da definição especificamos que a transformação deve ser unitária. Na verdade, a transformação de Bogoliubov (em sua forma mais genérica) é simplética para bósons e ortogonal para fermions . Em nenhum dos casos a transformação de Bogoliubov é unitária. A transformação de Bogoliubov de bósons corresponde à transformação canônica linear de osciladores na mecânica clássica (porque os bósons são quanta de osciladores), e sabemos que as transformações canônicas lineares são simpléticas devido à estrutura simplética do espaço de fase clássico.
Então, para ser mais específico, quais são as restrições às transformações de Bogoliubov? Vamos considerar o caso de $ n $ modos de partícula única de bósons $ b_i $ ou férmions $ f_i $ (onde $ i = 1,2, \ cdots, n $ rotula os estados de partícula única, como autoestados de momento). Ambos $ b_i $ e $ f_i $ não são operadores Hermitianos, o que não é muito conveniente para um tratamento geral (porque não podemos simplesmente tratar $ b_i $ e $ b_i ^ \ dagger $ como a base independente, uma vez que eles ainda estão relacionados por a transformação partícula-buraco). Portanto, escolhemos reescrever os operadores como as seguintes combinações lineares (motivadas pela ideia de decompor um número complexo em dois números reais como $ z = x + \ mathrm {i} y $): $$ \ começar {split} b_i & = a_i + \ mathrm {i} a_ {n + i} \\ b_i ^ \ dagger & = a_i – \ mathrm {i} a_ {n + i} \ end {split} \ qquad \ begin {split} f_i & = c_i + \ mathrm {i} c_ {n + i} \\ f_i ^ \ dagger & = c_i- \ mathrm {i} c_ {n + i} \ end {split} $$ onde $ a_i = a_i ^ \ dagger $ e $ c_i = c_i ^ \ dagger $ (para $ i = 1,2, \ cdots, 2n $) são operadores Hermitianos (análogos aos números reais).Eles devem herdar as relações de comutação ou anticomutação dos bósons “complexos” $ b_i $ e férmions $ f_i $: $$ \ begin {split} [b_i, b_j ^ \ dagger] = \ delta_ {ij}, [b_i, b_j] = [b_i ^ \ dagger, b_j ^ \ dagger] = 0 & \ Rightarrow [a_i, a_j] = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ a \\ \ {f_i, f_j ^ \ dagger \} = \ delta_ {ij}, \ {f_i, f_j \} = \ {f_i ^ \ dagger, f_j ^ \ dagger \} = 0 & \ Rightarrow \ {c_i, c_j \} = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ c \ end {split} $$ onde $ g_ {ij} ^ a $ e $ g_ {ij} ^ c $ às vezes são chamados de métrica quântica para bósons e férmions respectivamente. Em formas de matriz, eles são dados por $$ g ^ a = \ mathrm {i} \ left [\ begin {matrix} 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \\ – \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \ end {matriz} \ direita] \ qquad g ^ c = \ left [\ begin { matriz} \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \\ 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \ end {matrix} \ right], $$ com $ \ mathbb {1} _ {n \ times n} $ sendo a $ n \ times n $ matriz identidade. Portanto, preservar as relações algébricas entre os operadores de criação / aniquilação é preservar a métrica quântica . As transformações lineares gerais dos operadores $ a_i $ e $ c_i $ assumem a forma de $$ a_i \ to \ sum_ {j} W_ {ij} ^ a a_j \ qquad c_i \ to \ sum_ {j} W_ {ij} ^ c c_j, $$ onde os elementos da matriz de transformação $ W_ {ij} ^ a, W_ {ij} ^ c \ in \ mathbb {R} $ devem ser reais, a fim de garantir que os operadores $ a_i $ e $ c_i $ permaneçam Hermitian após a transformação. Então, para preservar a métrica quântica é exigir $$ W ^ ag ^ a W ^ {a \ intercal} = g ^ a \ qquad W ^ cg ^ c W ^ {c \ intercal} = g ^ c. $$ Assim, qualquer A transformação linear real que satisfaz as condições acima é uma transformação de Bogoliubov no sentido mais geral. Então, dependendo da propriedade da métrica quântica, a transformação de Bogoliubov é simplética ou ortogonal. Para a métrica quântica bosônica, $ g ^ a = -g ^ {a \ intercal} $ é antissimétrica , então a transformação $ W ^ a $ é simplética . Para a métrica quântica fermiônica, $ g ^ c = g ^ {c \ intercal} $ é simétrica , então a transformação $ W ^ c $ é ortogonal .
Comentários
- Alguém pode recomendar um recurso para aprender mais sobre este formalismo, ou seja, a decomposição dos operadores de criação / aniquilação como ” números complexos ” e a preservação da métrica quântica?
Resposta
A unidade de uma transformação da mecânica quântica não é determinada por como ela mistura os operadores de criação e aniquilação. (Não importa que tipo de matriz — ortogonal, simplética ou unitária — está envolvida na mistura!) Em vez disso, uma deve examinar se a transformação está associada a um operador unitário agindo no espaço de Hilbert.
A transformação de Bogoliubov OP citada pode ser representada da seguinte forma ($ \ textbf {k} $ – dependência é suprimida): $$ \ hat {a} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {a} ^ {\ prime} = \, \ cosh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ sinh \ lambda \, \ hat {b } ^ {\ dagger}, \\ \ hat {b} ^ {\ dagger} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = \, \ sinh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ cosh \ lambda \, \ hat {b} ^ {\ dagger}, $$ onde $ \ lambda $ é um número real. Esta transformação é unitária se e somente se existir um operador unitário $ U $ tal que $$ \ hat {a} ^ {\ prime} = U \ hat {a} U ^ {- 1}, \\ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = U \ hat {b} ^ {\ dagger} U ^ {- 1}. $$ De fato, essas relações são cumpridas com a seguinte escolha: $$ U = \ exp \ Big [\ lambda (\ hat {a} \ hat {b } – \ hat {b} ^ {\ dagger} \ hat {a} ^ {\ punhal}) \ Big], $$ então a transformação é unitária.
Resposta
Deixe-me trabalhar nesta parte da equação da matriz $$ H = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatriz} \ begin { pmatriz} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatriz} = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatriz} \ alpha _ {\ bf {k }} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v_ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatriz} \ begin {pmatriz} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatriz} \ begin {pmatriz } \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} $$ A parte importante é que a transformação dos campos pode ser vista tanto quanto uma trans formação da matriz $$ \ Gamma ~ = ~ \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} ~ \ rightarrow ~ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k } & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \ \\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} ~ = ~ M ^ \ dagger \ Gamma M, $$ onde $ M ^ \ dagger ~ = ~ M $. O determinante disso é $ det (M \ Gamma M) ~ = ~ det (M) det (\ Gamma) det (M) $ $ = ~ det (\ Gamma) $ O determinante de $ M $ então dá $ u_k ^ 2 ~ – ~ v_k ^ 2 ~ = ~ 1 $. Estes podem ser representados por $ u_k ~ = ~ sinh (k) $ e $ v_k ~ = ~ cosh (k) $.
Agora avalie o comutador $ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] $ $$ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ + ~ v_k ^ 2 [\ beta ^ \ dagger_k, ~ \ beta_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ – ~ v_k ^ 2 [\ beta_k, ~ \ beta ^ \ dagger_k]. $$ Para os comuadores $ [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ = ~ [\ beta_k, ~ \ beta_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ e então vemos $ [a_k, ~ a_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $. O mesmo claramente mantém $ [b_k, ~ b_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ Isso significa que qualquer sistema com $ N \ hbar $ unidades de ação é constante. Não há mudança no volume do espaço de fase do sistema. isso significa que as transformações de Bogoliubov são efetivamente unitárias.
Comentários
- Portanto, as transformações unitárias gerais ‘ s definição são mais $ U ^ {\ dagger} = U ^ {- 1} $ que aprendemos no livro? Eu não ‘ não entendo ‘ Isso significa que qualquer sistema com Nℏ unidades de ação é constante. Não há mudança no volume do espaço de fase do sistema ‘, gostaria de explicá-lo?
- A propósito, há alguma restrição à transformação do sistema bóson (hamiltoniano)?
- @ZJX Não ‘ não entendo por que Lawrence disse que as transformações bosônicas de Bogoliubov são ” efetivamente unitário “. Eu acho que eles deveriam ser simpléticos em geral. A restrição vem de preservar a definição dos operadores bosônicos (de tal forma que os operadores bosônicos permanecem bosônicos sob a transformação). Não há restrição proveniente do sistema bosônico (hamiltoniano). Enquanto o hamiltoniano for hermitiano, é um hamiltoniano legítimo. Qualquer transformação simplética aplicada ao hamiltoniano é uma transformação legítima de Bogoliubov.
Resposta
Não, é unitária transformação, mas apenas quando você considera o buraco do elétron do hamiltoniano &.
Comentários
- Mas aqui, o modelo é sobre spin, ele ‘ não é o fermion, certo?